牛顿(Newton)插值多项式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,构造拉格朗日插值多项式,其形式具有对称性，即便于记忆，,必须全部重新计算。,插商与牛顿,(Newton),插值多项式,由于公式中的,都依赖于全部插值节点在增加或减少节点时，,又便于应用与编制程序。,这种形式的插值多项式称为,n,次牛顿插值多项式。,，即,其中系数,可由插值条件,记为,为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式,确定。,定义,1,设函数,f,(,x,),在点,为,f,(,x,),在点,处的一阶差商，记为,，即,称一阶差商的差商,（,为,f,(,x,),在,处的二阶差商，记为,上的值依次为,称,互异）,为此我们引入差商概念：,一般地，称,m,-1,阶差商的差商,为,f,(,x,),在点,特别地，规定零阶差商,处的,m,阶差商。,即,为便于应用，通常采用差商表，例如,一阶差商,二阶差商,三阶差商,性质,1,k,阶差商,是由函数值,线性组合而成的，即,性质,2,差商具有对称性，即在,k,阶差商,中任意调换,2,个节点,和,差商有如下性质：,的顺序，其值不变。,性质,3,k,阶差商,和,k,阶导数,之间有如下重要关系：,有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商,来表示牛顿差值多项式,中的系数。,由插值条件,，可得,由插值条件,，可得,由插值条件,，可得,一般地，可以证明有,于是，满足插值条件,的,n,次牛顿插值多项式为,例,3,已知函数表,100,121,144,169,10,11,12,13,试用牛顿线性插值与抛物线插值求,的近似值，并估计截断误差。,解：先构造差商表，取,一阶差商,二阶差商,三阶差商,100,10,0.047619,121,11,-0.00009411,0.043478,0.0000003138,144,12,-0.00007246,0.040000,169,13,由差商表，牛顿插值多项式的系数依次为,牛顿线性插值多项式为,牛顿抛物线插值多项式为,所求近似值为,所求近似值为,可知近似值,与,的截断误差分别为,，,由插值余项公式,在实际计算中，特别是在函数,f,(,x,),的高阶导数比较复杂或,f,(,x,),的表达式没有给出时，由性质,3,，我们可以用差商表示的余项公式,实际计算中，当,n,+1,阶差商变化不激烈时，可用,近似代替,取,来估计截断误差。,例,3,中，若用此方法估计截断误差，则有,与实际误差,相当接近。,练习：,给定数据如下：,x,1 1.5 0 2,f(x),1.25 2.50 1.00 5.50,用牛顿二次、三次插值多项式近似计算,f,(1.46),的值，,并估计牛顿二次插值多项式近似计算的截断误差，说明牛顿二次多项式近似计算结果的有效数字。,