5.3-留数在定积分计算中的应用培训讲学.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.,3,留数在定积分计算中的应用,1,0,.,一般性陈述,在高等数学以及实际问题中，常常需要计算一些定积分或广义积分，而这些积分中被积函数的原函数，往往不能用初等函数表示出来；有的即使可以求出原函数，但计算也往往比较复杂。,利用留数定理，要计算某些类型的定积分或广义积分，只须计算某些解析函数在孤立奇点的留数,！,（,1,）,被积函数与某一个解析函数相关联,（,2,）,积分线可化成沿着某个闭路的积分。,关键：,如何把,计算积分的问题,转化成,计算留数的问题。,2,利用留数定理计算定积分或广义积分没有普遍适用的方法，我们只考虑,几种特殊类型的积分,：,1,.,几种特殊类型的积分,3,（,1,）,被积函数与某一个解析函数相关联,.,（,2,）,积分线可化成沿着某个闭路的积分,.,要求：,1,.,圆周无奇点,.,2,.,圆内只有有限个孤立奇点,.,4,例,1,解：,5,6,（,1,）,被积函数与某一个解析函数相关联,.,（,2,）,积分线可化成沿着某个闭路的积分,.,(1),(2),R,-R,要求！,7,0,8,R,-R,9,例,2,解：,10,（,1,）,被积函数与某一个解析函数相关联,.,（,2,）,积分线可化成沿着某个闭路的积分,.,R,-R,(2),(1),0,Jordan,引理,3.1,见下页,12,Jordan,引理,3.1,13,sinc,函数介绍,14,sinc(,x,),x,15,Jordan,引理,3.1,的证明：,16,注意,:,Jordan,不等式,17,例,3,解：,18,2,.,综合举例,例,4,解：,（,1,）,被积函数与某一个解析函数相关联,.,（,2,）,积分线可化成沿着某个闭路的积分,.,R,-R,-r,r,挖洞,!,变换,记为,I,1,记为,I,2,R,-R,-r,r,20,R,-R,-r,r,21,例,5,解：,（,1,）,被积函数与某一个解析函数相关联,.,（,2,）,积分线可化成沿着某个闭路的积分,.,22,23,例,5,解：,课后习题,5.10,，见,P94,24,25,(4),(1),(2),(3),26,27,28,