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P,o,w,e,r,B,a,r,中国专业PPT设计交流论坛,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,近世代数课程是当代数学基础,既是中学代数继续发展，也是高等代数课程继续和发展,同时它又同拓扑学、实变函数与泛函分析组成当代数学三大基石，是进入数学王国必由之路，是数学与应用数学专业学生必修主要基础课。,同学应该具备有初等代数，高等代数背景，另外还有初等数论等方面知识背景。,近 世 代 数,1/187,高度抽象是近世代数显著特点，它基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象概念，所以，在本课程学习中，大家要多注意实例,以加深对概念正确了解。,近世代数习题，因抽象也都有一定难度，但习题也是巩固和加深了解不可缺乏步骤，所以，应适当做一些习题，为克服做习题困难，应注意教材内容和方法以及习题课内容。,2/187,主要参考书,1BL瓦德瓦尔登著：代数学、卷，科学出版社,，,1964年版2N贾柯勃逊著：抽象代数1、2、3卷，科学出版社,，,1987年出版,3,.，,张禾瑞,，高等教育出版，1978年修订本。,4,刘绍学著：近世代数基础，高等教育出版社,，,1999年出版,3/187,5,石生明著：近世代数初步、高等教育出版社,，,年出版,6,.近世代数，吴品山，人民教育出版社，1979。,7,.抽象代数学，谢邦杰，上海科学技术出版社，1982。,8,.,抽象代数基础，刘云英，北京师范大学出版 社，1990年。,4/187,近世代数理论三个起源,代数方程解,(2)Hamilton,四元数发,(3)Kummer,理想数发觉,5/187,（,1,）代数方程解,两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开 方法解二次方程,ax,2,+bx+c=,0,。16世纪初欧洲文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数学研究一个中心问题。1545年意大利数学家 G.Cardano(1501-1576)在他著作大术（Ars Magna）中给出了三、四,次,多项式求根公式，今后快要三个世纪中人们力图发觉五次方程普通求解方法，不过都失败了。,6/187,直到,1824,年一位年青挪威数学家,N.Abel(1802-1829),才证实五次和五次以上普通代数方程没有求根公式。不过人们依然不知道什么条件之下一个已知多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及开方方法求出它全部根,什么条件之下不能求根。,最终处理这一问题是一位法国年青数学家,E.Galois(18111832),，,Galois,引入了扩域以及群概念，并采取了一个全新理论方法发觉了高次代数方程可解法则。在,Galois,之后群与域理论逐步成为当代化数学研究主要领域，这是近世代数产生一个最主要起源。,7/187,加罗华,阿贝尔,被誉为天才数学家伽罗瓦（1811-1832,）是近世代数创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足本质条件，他提出,“,伽罗瓦域,”,、,“,伽罗瓦群,”,和,“,伽罗瓦理论,”,都是近世代数所研究最主要课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最出色数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全方面而透彻解答，处理了困扰数学家们长达数百年之久问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图普通判别法，圆满处理了三等分任意角或倍立方体问题都是不可解。最主要是，群论开辟了全新研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究思维方式转变为用结构观念研究思维方式，并把数学运算归类，使群论快速发展成为一门崭新数学分支，对近世代数形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学产生和发展都发生了巨大影响。,8/187,(2)Hamilton,四元数发觉,长久以来人们对于虚数意义存在不一样看法，以后发觉能够把复数看成二元数,(,a,b,),=a+bi,，其中,i,2,=-,1,。二元数按,(,a,b,)(,c,d,)=(,a,c,b,d,),，,(,a,b,)(,c,d,)=(,ad+bc,ac-bd,),法则进行代数运算，二元数含有直观几何意义；与平面上点一一对应。这是数学家高斯提出复数几何理论。二元数理论产生一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三元数努力失败了。不过爱尔兰数学家,W.Hamilton(1805-1865),于,1843,年成功地发觉了四元数。四元数系与实数系、复数系一样能够作加减乘除四则运算，但与以前数系相比，四元数是一个乘法不交换数系。从这点来说四元数发觉使人们对于数系代数性质认识提升了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究一个新起点，它是近世代数另一个主要理论起源。,9/187,（,3,）,Kummer,理想数发觉,17,世纪初法国数学家费马,(P.Fermat 1601-1665,）研究整数方程时发觉,当,n,3,时，方程,x,n,+y,n,=z,n,没有正整数解,，费马认为他能够证实这个定理，不过其后三百多年中人们研究发觉这是一个非常困难问题，这一问题被以后研究者称为费马问题或费马大定理，此定理直到,1995,年才被英国数学家,A.Wiles,证实。对费马问题研究在三个半世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对此作出过主要贡献。但最重大一个进展是由,E.Kummer,作出。,10/187,Kummer,想法是：假如上面方程有正整数解，假定,是一个,n,次本原单位根，那么,x,n,+y,n,=z,n,等式两边能够作因子分解,z,n,=,(,x+y,)(,x+y,),(,x+,n,-1,y,),象整数中因子分解一样，假如等式右边,n,个因子两两互素，那么每个因子都应是另外一个“复整数”,n,次方幂,进行适当变换之后有可能得到更小整数,x,1,y,1,z,1,使,x,n,+y,n,=z,n,成立，从而造成矛盾。假如上面等式右边,n,个因子有公因式，那么同除这个公因式再进行上面一样讨论。,11/187,Kummer方法前提是形如,a+b,复整数也象整数一样含有唯一素因子分解，其中,a,与,b,是通常整数。并不是对于每个整数,n,复整数,a+b,都含有唯一分解性，Kummer把这种复整数因子分解称为理想数分解。,用这种方法 Kummer证实了,n,100,时费马大定理成立,理想数方法不但能用于费马问题研,实际上是代数数论主要研究内容，其后德国数学家R.Dedekind(1831-1916)把理想数概念推广为普通理想论，使它成为近世代数一个主要研究领域。,12/187,近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来数学分支。,1930年荷兰数学家范德瓦尔登（B.Lvan der Wearden 1930-1996）依据该学科领域几位创始人演讲汇报,综合了当初近世代数研究结果,编著了近世代数学(Moderne Algebra）一书,这是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代数教科书。,13/187,14/187,诺特,1882,年,3,月,23,日生于德国埃尔朗根，,1900,年入埃朗根大学，,1907,年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。,1916,年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。,1920,年，她已引入左模、右模概念。,1921,年写出,是交换代数发展里程碑。建立了交换诺特环理论，证实了准素分解定理。,1926,年发表,，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理充分必要条件。,诺特这套理论也就是当代数学中,“,环,”,和,“,理想,”,系统理论，普通认为抽象代数形式时间就是,1926,年，从此代数学研究对象从研究代数方程根计算与分布，进入到研究数字、文字和更普通元素代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数本质转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数奠基人之一。,15/187,第一章 基本概念,1,集,合,2,映射,与变换,3 代数运算,4 运算率,5 同态与同构,6 等价关系与集合分类,16/187,1,集,合,表示一定事物集体，我们把它们称为集合或集，如“一队”、“一班”、“一筐”.组成集合东西叫这个集合元素.,我们惯用大写拉丁字母,A,，,B,，,C,，表示集合，用小写拉丁字母,a,，,b,，,c,，表示元素.假如,a,是集合,A,元素，就说,a,属于,A,，记,作,；假如,a,不是集合,A,元素，就说,a,不属于,A,，记作,；,比如，设,A,是一切偶数所成集合，那么,4,A,，,而,.,17/187,一个集合可能只含有有限多个元素，这么集合叫做,有限集合,.如，学校全体学生集合；一本书里面全部汉字集合等等这些都是有限集合.,假如一个集合是由无限多个元素组成，就叫做,无限集合,.如，全体自然数集合；全体实数集合.,不含任何元素集合叫空集.表示为：,18/187,枚举法,:,比如,我们把一个含有,n,个元素,集合有限集合表示成：,.前五个正整数集合就能够记作,.,拟枚举,：,自然数集合能够记作,拟枚举能够用来表示能够排列出来集合,像自然数、整数,描述法,:,假如一个集,A,是由一切含有某一性质元素所组成，那么就用记号,来表示,.,19/187,表示一切大于,-1,且小于,1,实数所组成集合,.,惯用数集：,全体整数集合，表示为,Z,全体有理数集合，表示为,Q,全体实数集合，表示为,R,全体复数集合，表示为,C,20/187,设A，B是两个集合，假如,A,每一元素都是,B,元素，那么就说,是,子集,，,记作,，或记,作,.依据这个定义，,是,子集,当且仅当,对于每一个元素,x,，如,果,，就有,.,A,是,B,子集，,记作：,21/187,假如集合,A,与,B,由完全相同元素组成部分，就说,A,与,B,相等，记作：,A=B,.,即,以集合A全部子集为元素集合，称为A,幂集,，记为P(A).,22/187,并运算,设,A,，,B,是两个集合.由,A,一切元素和,B,一切元素所成集合叫做,A,与,B,并集,（简称并），记作 .如图1所表示.,A,B,23/187,交运算,由集合,A,与,B,公共元素所组成集合叫做,A,与,B,交集,(简称交)，记作：，如图2所表示.,显然，,，,比如，,A,=1，2，3，4，,B,=2，3，4，5，则,我们有,24/187,运算性质:,交换律:,;,分配律:,结合律:,;,幂等率,:,;,25/187,两个集并与交概念能够推广到任意,n,个集合上去，设,是给定集合.由 一切元素所成集合叫做,并；,由,一切公共元素所成集合叫做,交.,并和交分别记为：,和,.我们有,26/187,差运算：,设,A,，,B,是两个集合，令,也就是说，是由一切属于,A,但不属于,B,元素所组成，称为,A,与,B,差,.,注意：并没有要求,B,是,A,子集,.,比如，,积运算：,设,A,，,B,是两个集合，令,称,为,A,与,B,笛卡儿积（简称为积）.是一切元素对（,a,b,）所成集合，其中第一个位置元素,a,取自,A,，第二个位置元素,b,取自,B,.,能够定义多个集合,笛卡儿积,27/187,2 映射,与变换,定义1,设,A,，,B,是两个非空集合，,A,到,B,一个映射指是一个对应法则，经过这个法则，,对于集合,A,中每一个元素 x，有集合,B,中一个,惟,一确定元素,y,与它对应,.,用字母,f,，,g,，表示映射.用记号 表示,f,是,A,到,B,一个映射.,假如经过映射,f,，与,A,中元素,x,对应B中元素是,y,，那么就写作,这时,y,叫做,x,在,f,之下象，记作,.,28/187,例,1,设,这是A到B一个映射.,例,2,设A是一切非负数集合，B是一切实数集合.对于每一,，令,与它对应.f 不是A到B映射，因为当,时，,不能由x唯一确定.,29/187,定义2,设,f,是,A,到,B,一个映射，假如Imf=B，那么说,称f,是,A,到,B,上,一个映射，这里也称,f,是一个,满射,。,设,是一个映射.对于,，x,像,.一切这么象作成B一个子集，用,表示：,，,叫做A在f之下象，或者叫做映射f象.,30/187,定义3,设,是一个映射，假如对于,A,中任意两个元素,和,，只要,，就有,，那么就称,f,是,A,到,B,一个,单射,.,或A到B一一映射,假如既是满射，又是单射，即假如,f,满足下面两个条件，,就称,f,是,A,到,B,一个,双射,.,或A到B上一一映射,31/187,32/187,33/187,34/187,例,3,令,那么 .,设,，,都是A到B映射，假如对于每一,，都有,，那么就说映射f与g是相等.记作,35/187,定义4,：,设,是,A,到,B,一个映射，,是,B,到,C,一个映射.那么对于每一个,，,是C中一个元素.所以，对于每一,，就有,C,中唯一确实定元素,与它对应，这么就得到,A,到,C,一个映射，这映射是由,和 所决定，称为,f,与,g,合成（乘积）,，记作,.于是有,对于一切,f,与,g,合成能够用下面图示意：,f,g,A,B,C,（交换图）,36/187,例,4,设,那么,例,5,设,A=1，2，3,那么,37/187,映射,，,，,，,有,.,不过，普通情况下,.,设A是非空集合,称为设A上 恒等映射。,设,A,，,B,是两个非空集合，用,和,表示,A,和,B,恒等映射.设,是,A到,B,一个映射.显然有：，,.,38/187,例6,：,f,是,集合A到B,一个双射,充要条件是,存在B到A一个映射g，使得,，,且,映射g是由f 唯一确定,称为f 逆,映射,表示为,证,:,(必要性),因为,f,是满射，所以对于,B,中,每一个,y,，有,，使得,又因为,f,是单射，所以这个,x,是由y唯一确定：即假如还有 使得,，那么,.,则,g,是,B,到,A,一个映射,.,我们要求,39/187,任意,而,.我们有,任,，而,.那么,故,#,所以,（充分性),任意,令,.因为,，,所以,即,f,是,满射,.,40/187,设 而,因为 ，所以,这说证实了,f,是单射,.,所以，,f,是,A,到,B,双射,.,最终，令,和,都含有性质:,，,41/187,有,所以,g,是由,f,唯一确定.,#,，,设,f,是A,到,B,一个映射，我们把满足,例6条件映射,叫做,f,逆映射,.一个映射不一定有逆映射，然而假如映射,有逆映射话，逆映射是由,f,唯一确定，以后把,f,逆映射记作,.有,所以，,也是一个双射，而且,f,就是,逆映射，即 .,42/187,例,7:,设A是一切非负实数所成集合；,f,是,A,到,B,一个映射，,因为当,时，,，而且是由,x,唯一确定.证实，,f,是一个双射.,证：,任意,.取,因为,，所以,，,且,，所,以,.,且,有,（f满）,43/187,设 而,.,那么,由此 ，所以,f,是单射,.,于是由,例6,，,f,有逆映射.易验证，,普通地，设,A,是一个非空集合，把,AA,到,A,一个映射叫做集合,A,一个代数运算,.,44/187,定义5,：集合X到本身映射，叫做集合X一个,变换,。,单射变换、满射变换、双射变换、恒等变换,45/187,46/187,47/187,3.代数运算,注(1)为何叫运算？不妨设,是映射，若,，我们能够说,a,和,b,在,法则下运算得到,d,(2)一个代数运算能够用,表示，并将,(a,b),在,像记作,下,48/187,普通映射描述,:,作为运算记号:,.,简记:,49/187,例,A全部,正,整数,，以下运算是不是A代数运算?,?A=Z,?A=Q,?A=R,50/187,例4,：,Aa,b,c要求A两个不一样代,数运算,51/187,T(M)表示非空集合M全体变换作成集合。,S(M)表示非空集合M全体双射变换作成集合。,显然变换合成（乘法）是T(M)和S(M),一个代数运算。,52/187,对有限集合代数运算，常直观地列成一个表,（乘法表）,53/187,？S(M)乘法表,54/187,一、,结合率,4运算律,55/187,56/187,假如用一个加括号步骤，当然也会得到一个结果加括号,步骤自然不止一个，但因为是一个有限整数，这种步骤,个数总是一个有限整数假定它是，我们把由这个步骤所得,结果用,来表示。这么得来N个 ,当然未必相等,但,是它们也可能都相等。我们要求:,57/187,假如对于 个固定元 来,说,全部 都相等,我们就唯一,结果,用 来表示,.,问题,:,什么条件下,全部 都,相等,?,定理,:,假如一个集合 代数运算适合结合律,那么对于 任意,个元,来说,全部,都相等；所以符号,也就总有意义,58/187,证实,对,n,用数学归纳法,(,第二型,),(I)n=2,3,，定理是正确,(II),假定个数 ，定理是正确在这个假定之下，假如,我们能够证实,:,对于一个任意 来说,(,一个固定结果,),定理也就证实了,.,这一个 是经过一个加括号步骤所得来结,果,这个步骤最终一步总是对两个元进行运算,:,这里,是前面若干个,假定是 个元,，经过一个加括号步骤所得,结果,是其余 个元 ，经过一个加括号,步骤所得结果。因为,59/187,和 都,由归纳法假定,情况,1,假定,那么上式就是要证实,情况,2,假定 ，那么,即（）式依然成立证完。,结合律成立，确保了能够应用 个符号。结合律主要也就在此,60/187,二、,交换率,61/187,62/187,三、,分配率,63/187,64/187,65/187,66/187,5,同态与同构,怎样比较两个代数系统,?,回想两个三角形全等定义,:,经过运动,顶点能够重合,.,这里包括两个步骤,:,第一,点间有一个对应,(,映射,);,第二,对应后能够重合,.,我们比较两个代数系统 和 .,第一,我们需要一个映射 ;,第二,这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.详细说,假如 和 是 两个元,那么 和 都有意义,都是元.保持运算即下面等式成立:,67/187,上面等式即:,换一个表示，假定在 之下像，,68/187,全部整数,代数运算是普通加法.,代数运算是普通乘法.,定义1,一个 到 映射 称为对于代数运算 和,同态映射,假如,都有:,定义与例子,69/187,例1 证实,(是 任一元),是一个到同态映射.,证实,例2 :,若是偶数,若是奇数,证实:是一个 到 满射同态映射.,证实:显然,是 到 满射.对于 任意两个整数 和 来说,分三种情况:,(1)若 ,都是偶数,那么 也是偶数,所以,(2)若 ,都是奇数,(3)若 和 奇偶性相反,.,70/187,例3,:(是 任一元),当然是一个 到 映射,但不是同态映射.因为,对于任意 和 来说,71/187,性质1,（1）反身性:,（2）传递性:,注:对称性不成立,定义,和 是两个代数系统,假如,存在,一个 到,同态满射,就称 和,同态,.,记号:,72/187,定理1,假定,对于代数运算 和 来说,到 同态.那么,（1）若 适合结合律,也适合结合律；,（2）若 适合交换律,也适合交换律.,73/187,于是,证实,我们用 来表示 到 同态满射.,（1）假定 是 任意三个元.因为 是同态满射,我们在 里最少找得出三个元 ,来,使得在 之下,(2)证实,类似,.,注:,这种经过同态映射过渡方法在证实含有普通性,74/187,定理2,假定,都是集合 代数运算,都是集合 代数运算,而且存在一个 到 满射 ,使得 与 对于代数运算 来说同态,对于代数运算 来说也同态.那么,(1)若 适合第一分配律,也适合第一分配律.,(2)若 适合第二分配律,也适合第二分配律.,证实,注:,由 性质能够推出 含有一样性质;反过来不成立.,75/187,定义,（同构映射）,定义,和,是两个代数系统,假如,存在,一个 到,同构映射,就称 和,同构,.,记号:,自同态、自同构概念能够自然给出,76/187,同构代数系统意味什么,例,0,1,2,0 1 2,1 2 0,2 0 1,3 4 5,3,4,5,3 4 5,4 5 3,5 3 4,0 1 2,与,代数运算,与 表,请比较两个运算表异同之处?,77/187,在A运算表,进行变换:,变成了什么?,它们能够统一成为一个运算表.,78/187,79/187,（矛盾）,80/187,小结,现在我们看两个任意，对于代数运算 和 来说是同构集合 和 我们能够假定，,而且在 与 间同构映射 之下，,，,因为同构映射性质，我们知道，,抽象地来看，,与 这两个代数系统，没有任何区分（只有命名上不一样而已）.,81/187,6 等价关系与集合分类,82/187,83/187,84/187,85/187,86/187,87/187,88/187,89/187,第二章 群,1,群定义和初步性质,2,群中元素阶,3 子群,4 循环群,5 变换群,6 置换群,7,陪集、指数和Lagrange定理,90/187,1,群定义和初步性质,定义,（,第一定义,）,：,称G关于该运算作成一个,群,。,91/187,定义（,第二定义,）,：,称G关于该运算作成一个,群,。,92/187,定义（,第三定义,）,：,称G关于该运算作成一个,群,。,93/187,94/187,95/187,定义：,96/187,定义,：,一个群叫做,有限群,，假如这个群元个数是一个有限数不然话，这个群叫做,无限群,定义,：,一个群叫做,交换群,（Abel群）,，假如,对于 任何两个元 ，都成立,97/187,例1：,例3：,98/187,例5：,例6：,99/187,100/187,推论1,群,中,消去律,成立,若,，那么,；,若,，那么 ,101/187,102/187,#,103/187,104/187,1,群中元素阶,105/187,定义,1,：,群 一个元,素,使得,最小正整数 叫做,阶,若是这么,一个 不存在，我们说，是无限阶,阶用符号,表示,106/187,注,(1)当,为加群时,其运算记为加法,单位元为0,则,最小正整数,为,元素a阶。,(3),群阶和元素阶不是一回事.,.,(2),107/187,例1,：,例2,：,108/187,109/187,110/187,111/187,112/187,113/187,114/187,（反例P43）,115/187,116/187,117/187,3,子,群,讨论子对象是一个惯用代数方法.我们看一个群 假如由 里取出一个非空子集 来，那么利用 乘法能够把 两个元相乘对于这个乘法来说，很可能也作成一个群,定义,1,一个群 一个非空子集,叫做 一个,子群,，假如 对于 乘法来说作成一个群,用符号,表示,群,，,则,最少有两个子群：,；,只包含单位元,子集,（平凡子群）,118/187,定理,2：,一个群 一个,非,空子集 作成 一个子群充分而且必要条件是：,（）,（）,119/187,证实,充分性：,1）,因为（），是闭；,2）,结合律在 中成立，在中自然成立；,3）,因为 最少有一个元 ，由（），也有,元 ，所以由（），,4）,由（），对于 任意元 来说，有,元 ，使得,必要性显然成立,120/187,定理,3,:,一个群 一个,非,空子集 作成 一个子群充,要,条件是：,（）,证实,I.我们先证实，（）和（）成立，（）就也成立,假定 ，属于 ，由（），由（），,II.现在我们反过来证实，由（）能够得到（）和（）,假定 由（），于是,（）成立,121/187,假定 ，由刚证实，；由（），,即(i)成立,#,例1,：,一个群 一个,非空,有限,子集 作成 一个子群充,要,条件是：,122/187,123/187,124/187,125/187,轻易证实:,定义3,：,设A，B是群G两个非空子集,要求,126/187,证实:,设H是G子群,那么,(?),另首先,所以 ,而,:,所以,.,反过来,组成 一个子群.,127/187,推论2,：,一个群 一个不空子集 作成 一个子群充分而且必要条件是：,推论2,一个群 一个,非空,有限子集 作成 一个子群充分而且必要条件是：,128/187,定理,5：,设H,K是G两个子群,那么HK是子群,充要条件是,HK=KH,证实:假如HK是子群,那么,由推论1：,(HK),-1,=HK,同时,(HK),-1,=K,-1,H,-1,=KH,所以,HK=KH,反过来,假如HK=KH,，则,(HK)(HK),-1,=HKK,-1,H,-1,=,HK,KH=HK,H=HHK=HK,129/187,130/187,131/187,（群G不可能是两,个真子群并）,132/187,4,循环群,133/187,134/187,135/187,136/187,137/187,138/187,139/187,（同构）,140/187,141/187,142/187,143/187,变换群,例,，,：,，,：,，,：,，,：,，,，组成群,（双射变换群）,144/187,145/187,146/187,147/187,148/187,149/187,150/187,定理,：,任何一个群都同一个,双射,变换群,同构,(Cayley定理）,151/187,152/187,153/187,6.置换群,定义1,:,定义,2:,一个把变成 变到 ，变到 ，,变到 ，而使得其余元，假如还有话,，保持,不变置换，叫做一个,循环置换,这么一个置换我们用符号,，,，或,来表示2-循环称为,对换,.,154/187,例,1,：,我们看 ，这里,155/187,156/187,证：1）,归纳法,1,.当 不使任何元变动时候，就是当 是 恒等置换时候，定理是正确,157/187,2,.,假定对于最多变动 个元 定理是正确现在我们看一个变动 个元 我们任意取一个被 变动元 ，从 出发我们找 象 ，象 ，这么找下去，直到我们第一次找到一个 为止，这个 象不再是一个新元，而是我们已经得到过一个元:因为我们一共只有,个元，这么 是一定存在我们说 因为 已经是 象，不能再是 象这么，我们得到,158/187,因为 只使 个元变动，假如,，,本身已经是一个循环置换，我们用不着再证实,什么假如,，由公式（1），,159/187,但 只使得 个元变动，照归纳法假定，能够写成不相连循环置换乘积：,在这些 里 不会出现.不然话,那么 同 不会再在其余 中出现,也必使,但我们知道,使得 不动,这是一个矛盾.这么,是不相连循环置换乘积:,证完,160/187,例,2,：,全体元用循环置换方法写出来是,，；,161/187,162/187,163/187,164/187,165/187,166/187,167/187,168/187,169/187,170/187,171/187,7,.陪集,、指数和Lagrange定理,172/187,173/187,174/187,175/187,176/187,定义,2,：,一个群,G,一个子群,H互异左,陪集（或,右,陪集）个数叫做,H,在,G,里,指数,记,为：,(G:H),177/187,178/187,179/187,(?),180/187,181/187,182/187,(?),183/187,184/187,185/187,186/187,187/187,
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