离散时间信号和系统理论知识介绍.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,天津师范大学计算机与信息工程学院,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,天津师范大学计算机与信息工程学院,*,1.1,离散时间信号序列,1.2,线性移不变,系统,1.3,常系数线性差分方程,1.4,连续,时间信号抽样,第1章 离散时间信号和系统,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第1页,1.1 离散时间信号序列,1.1.1,序列定义,1.1.2,序列基本运算,1.1.3,惯用基本序列,1.1.4,序列,周期性,1.1.5,用单位脉冲表示任意序列,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第2页,1.1.1 序列定义,信号在数学上定义为一个函数，这个函 数表示一个信息，通常是关于一个物理系统状态或特征。信号函数表示是关于一个或几个独立变量，关于一个独立变量信号称为一维信号，关于多个独立变量信号称为多维信号。,在本书中，主要讨论信号是一维信号,x,(,t,),普通情况下,x,(,t,)为随时间改变信号，简称时间信号或时域信号。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第3页,若,t,是定义在时间上连续变量，称,x,(,t,)为连续时间信号，也就是模拟信号；若,t,仅在时间离散点上取值，称,x,(,t,)为离散时间信号或时域离散信号。离散时间信号能够经过对连续时间信号采样得到,这种情况下把信号记为,x,(,nT,)，,T,表示是采样点之间时间间隔，,n,是一个整数。,离散时间信号能够表示成以下形式：,x,(,nT,),n,=0,1,2,3,.,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第4页,在大多数DSP系统中，,x,(,nT,)存放是按,n,下标来放置，不一样,x,(,nT,)只要靠,n,就可区分。所以，将,x,(,nT,)表示为,x,(,n,)，这是一个数学抽象。所以一个离散时间信号定义为：,x,(,n,),n,=0,1,2,3,.,x,(,n,)定义在,n,等于整数点上，在,n,不等于整数点上，,x,(,n,)没有定义，但并不表示信号值为零。,从数学角度看，,上面定义式,表示一个序列，所以也把离散时间信号称作离散时间序列，,经常简化为,x,(,n,),。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第5页,序列除了数学表示式外，还经常采取图形方式来表示，如图1.1所表示。即使横坐标画成一条连续直线，但,x,(,n,)仅仅对于整数,n,值才有意义。,图1.1 离散时间信号图形表示,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第6页,离散时间信号在幅度上定义成连续，假如将幅度进行量化，普通为等间隔量化。在时间和幅度上都取离散值信号称为“数字信号”。所以，离散时间信号并不等于数字信号，但因为数字信号是幅度量化得到，在数学表示和推导中不如序列形式方便和轻易，所以普通都采取离散时间信号来讨论数字信号处理理论和算法。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第7页,1.1.2 序列基本运算,和,积,移位,标乘,翻转,累加,差分,时间尺度变换,序列能量,卷积和,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第8页,基本运算,序列和,设序列为,x,(,n,)和,y,(,n,)，则序列,z,(,n,),=x,(,n,),+y,(,n,),表示两个序列和，定义为,同序号,序列值,逐项对应,相加。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第9页,例：,序列和,例1.1.1,设序列,计算序列和,x,(,n,)+,y,(,n,)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第10页,例：,序列求和图示,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第11页,基本运算,序列积,设序列为,x,(,n,)和,y,(,n,)，则序列,z,(,n,),=x,(,n,),y,(,n,),表示两个序列积，定义为,同序号,序列值,逐项对应,相乘。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第12页,例：,序列积,例1.1.2,设序列,计算序列积,x,(,n,),y,(,n,)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第13页,例：,序列求积图示,x,(,n,),天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第14页,基本运算,序列移位,设序列为,x,(,n,)，则序列,y,(,n,)=,x,(,n,-,m,),表示将序列,x,(,n,)进行移位。,m,为正时,x,(,n,-,m,)：,x,(,n,)逐项依次,延时(右移),m,位,x,(,n,+,m,)：,x,(,n,)逐项依次,超前(左移),m,位,m,为负时，则,相反,。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第15页,例：,序列移位,例1.1.3,设序列,计算序列移位序列,x,(,n,+1)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第16页,例：,序列移位图示,x,(,n,),天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第17页,基本运算,序列标乘,设序列为,x,(,n,)，a为常数(a 0)，则序列,y,(,n,)=a,x,(,n,),表示将序列,x,(,n,)标乘，定义为,各序列值,均乘以a，使新序列,幅度,为原序列a倍。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第18页,例：,序列标乘,例1.1.4,设序列,计算序列4,x,(,n,)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第19页,基本运算,序列翻转,设序列为,x,(,n,)，则序列,y,(,n,)=,x,(-,n,),表示以,n,=0,纵轴为对称轴,将序列,x,(,n,)加以翻转。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第20页,例：,序列翻转,例1.1.5,设序列,计算序列,x,(-,n,)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第21页,基本运算,序列累加,设序列为,x,(,n,)，则序列,定义为对,x,(,n,)累加，表示将,n,以前,全部,x,(,n,)值求和。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第22页,例:,序列累加,设序列为,则其累加序列,即,y(0)=x(0)=1,y(1)=x(0)+x(1)=y(0)+x(1)=3,y(2)=y(1)+x(2)=7,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第23页,基本运算,序列差分,前向差分：将序列,先,进行,左移,，再相减,x(n)=x(n+1)-x(n),后向差分：将序列,先,进行,右移,，再相减,x(n)=x(n)-x(n-1),由此轻易得出,x(n)=x(n-1),天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第24页,多阶差分运算,二阶前向差分,二阶后向差分,单位延迟算子,D,，有,Dy,(,n,)=,y,(,n-,1),y,(,n,)=,y,(,n,)-,y,(,n-,1)=,y,(,n,)-,Dy,(,n,)=(1-,D,),y,(,n,),=1-,D,k,阶后向差分,(按二项式定理展开),二阶后向差分,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第25页,例:差分运算,例1.1.6,设序列,求,x(n)和x(n)。,解：,前向差分,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第26页,例:差分运算,后向差分,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第27页,基本运算时间尺度(百分比)变换,设序列为,x,(,n,)，,m,为正整数，则序列,抽取序列：,y,(,n,)=,x,(,mn,),x,(,mn,)和,x,(,n/m,)定义为对x(n)时间尺度变换。,插值序列：,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第28页,抽取序列,x,(,mn,)：对,x,(,n,)进行抽取运算,不是简单在时间轴上按百分比增加到,m,倍,以1/,m,倍取样频率,每隔,m,-1个点,抽取1点。,保留,x,(0),天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第29页,插值序列,x,(,n/m,)：对,x,(,n,)进行插值运算,表示在原序列,x,(,n,),相邻两点,之间插入,m,-1个零值点,保留,x,(0),天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第30页,基本运算,序列能量,设序列为,x,(,n,)，则序列,定义为序列能量，表示序列各取样值,平方,之和；,若为复序列，取,模值,后再求平方和。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第31页,基本运算,序列卷积和,设序列为,x,(,n,)和,z,(,n,)，则序列,定义为序列,x,(,n,)和,z,(,n,),卷积和,。,卷积和又称为,离散卷积,或,线性卷积,，是,很主要,公式。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第32页,卷积和计算四个步骤,翻转,：,x,(,m,)，,z,(,m,),z,(-,m,),移位,：,z,(-,m,),z,(,n,-,m,),n,为正数时，右移,n,位,n,为负数时，左移,n,位,相乘,：,z,(,n,-,m,),x,(,m,)（,m,值相同）,相加,：,y,(,n,)=,z,(,n,-,m,),x,(,m,),天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第33页,对应点相乘！,例：卷积和计算,例1.1.7,设序列,求,y,(,n,)=,x,(,n,)*,z,(,n,)。,解：,n0,时，x(m)与z(n-m),没有重合,，得y(n)=0。,0,n,4,时，,对应点相乘！,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第34页,例：卷积和计算,4n6,时，,6n10,时，,n10,时，,x,(,m,)与,z,(,n-m,)没有重合，得,y,(,n,)=0。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第35页,1.1.3 几个惯用序列,单位脉冲(抽样)序列,单位阶跃序列,矩形序列,实指数序列,正弦序列,复指数序列,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第36页,单位脉冲序列,(,n,)只在,n,=0时取确定值1，其它均为零,(,n,)类似于,(,t,),(,n,-,m,)只有在,n,=,m,时取确定值1，而其余点取值均为零,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第37页,单位阶跃序列,u,(,n,)类似于,u,(,t,),u,(,t,)在,t,=0时常不定义，,u,(,n,)在,n,=0时为,u,(0)=1,(,n,)和,u,(,n,)关系：,(,n,)=,u,(,n,)-,u,(,n,-1),天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第38页,单位矩形序列,N,为矩形序列,长度,和,u,(,n,)、,(,n,)关系,：,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第39页,实指数序列,a为实数,当|a|1时序列,收敛,当|a|1时序列,发散,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第40页,正弦序列,A,为幅度,为数字域角频率,为起始相位,x,(,n,)由,x,(,t,)=sin,t,取样,得到,x,(,n,),=A,sin(,n+,),归一化:,=T,=,/,f,s,(,与,线性关系),天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第41页,复指数序列,为,数字域,角频率,用,实部,与,虚部,表示,用,极坐标,表示,=0,时，序列含有以,2,为周期,周期性,复指数序列在实际中不存在，它是为了数学上表示和分析方便而引入，它特征和正弦或余弦序列特征基本一致。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第42页,1.1.4 序列周期性,对于序列,x,(,n,)，假如对全部,n,存在一个最小正整数,N,，满足,x,(,n,)=,x,(,n+N,),则序列,x,(,n,)是周期序列 ，,最小周期,为,N,。,以,正弦序列,为例讨论周期性,设,x,(,n,)=,A,sin(,n,+,),则有,x,(,n+N,)=,A,sin,(,n+N,)+,=,A,sin(,N,+,n+,),若,满足条件,N=,2,k,，则,x,(,n+N,)=,A,sin,(,n+N,)+,=,A,sin(,n+,),=x,(,n,),天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第43页,周期性讨论,N、k,为整数，,k,取值满足条件，且确保,N,是最小正整数。其周期为,2/,为,整数,时，取,k,=1，确保为最小正整数。此时为周期序列，周期为2/,。,例1.1.8,序列 ，因为2/,=8，所以是一个周期序列，其周期,N,=8。,例1.1.8,序列 ，因为2/,=8，所以是一个周期序列，其周期,N,=8。,例1.1.8,序列 ，因为2/,=8，所以是一个周期序列，其周期,N,=8。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第44页,周期性讨论,2/,为,有理数而非整数,时，依然是周期序列，周期大于2/,。,例1.1.9,序列 ，2/,=8/3是有理数，所以是周期序列，取,k,=3，得到周期,N,=8。,2/,为,无理数,时，,任何,k,都不能使,N,为正整数，这时正弦序列不是周期序列。,指数为纯虚数,复指数序列周期性与正弦序列情况,相同,。,例1.1.10,序列 ,2/,=8/3是无理数，所以不是周期序列。,例1.1.9,序列 ，2/,=8/3是有理数，所以是周期序列，取,k,=3，得到周期,N,=8。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第45页,周期性讨论,判断一个正弦序列是否是周期序列方法是：,用2除以它数字频率,，若得出是整数或有理数，则序列为周期序列；若得出是无理数，序列就不是周期序列。,但不论序列是否为周期序列，仍把,称作序列,数字频率,。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第46页,下面来说明模拟频率和数字频率之间关系。,设模拟正弦信号为,对该 以,T,为采样间隔进行采样离散,得,将离散后信号表示成离散正弦序列，即,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第47页,可知,其中，称为,采样频率,。该式即为数字频率,和模拟角频率,0,、模拟频率,f,0,之间关系式，它们是依靠采样间隔,T,或采样频率,f,s,进行关联。,整理后可得,能够看出：,是一个相对频率，它是连续正弦信号频率,f,0,对抽样频率,f,s,相对频率乘以2,，或说是连续正弦信号角频率,0,对抽样频率,f,s,相对频率。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第48页,数字频率特点：,（1）,是一个连续取值量；,（2）,量纲为一个角度量纲单位：弧度（rad）。它表示序列在采样间隔,T,内正弦信号改变角度，表示了信号相对改变快慢程度；,（3）序列对于,是以2为周期，或者说，,独立取值范围为0,2)或-,)。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第49页,正弦型序列是周期序列条件为：,（有理数）,则,当,N,个抽样间隔等于,k,个连续时间信号周期时，由正,弦信号抽样得到正弦序列是周期序列。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第50页,1.1.5 用单位脉冲序列表示任意序列,任何序列都能够用单位脉冲序列移位加权和来表示，即,式中,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第51页,比如如图序列，能够表示成,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第52页,x,(,n,)可看成是,x,(,n,)和,(,n,)卷积和，即,例1.1.11,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第53页,1.2 线性移不变系统,1.2.1 系统定义,数字信号处理任何处理都是依靠系统来完成,所以系统是数字信号处理关键，系统普通包含系统硬件和系统所完成处理算法。,系统在数学上定义为将输入序列,x,(,n,),映射成输出序列,y,(,n,),唯一性变换或运算。这种映射是广义，实际上表示是一个详细处理，或是变换，或是滤波。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第54页,系统能够表示为,其中，符号,T,表示系统映射或处理，能够把,T,简称为系统。,系统图形表示以下列图所表示，输入,x,(,n,)称为系统激励，输出,y,(,n,)称为系统响应。因为它们均为离散时间信号，将系统,T,称为离散时间系统或时域离散系统。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第55页,1.2.2 线性离散时间系统,满足叠加原理系统，或满足,齐次性,和,可加,性,系统称为,线性系统,。,设,y,1,(,n,)=,T,x,1,(,n,)，,y,2,(,n,)=,T,x,2,(,n,),对任意常数a,b，若,T,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,)=,aT,x,1,(,n,)+,bT,x,2,(,n,),=,a y,1,(,n,)+,b y,2,(,n,),则称,T,为,线性离散时间系统,。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第56页,推广到普通情况，设,y,k,(,n,)=,T,x,k,(,n,)，,k,=1，2，.,N,线性系统满足,1,k,N,线性系统特点是多个输入线性组合系统输出等于各输入单独作用输出线性组合。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第57页,例1.2.1,证实由线性方程表示系统,是非线性系统。,证实,设,所以,，,该系统是非线性系统,。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第58页,1.2.3 非时变离散时间系统,若满足以下条件，系统称为非时变（非移变）系统，或时不变（移不变）系统,。,设,y,(,n,)=,T,x,(,n,),对任意整数,k,有,y,(,n-k,)=,T,x,(,n-k,),即系统映射,T,不随时间改变，,只要输,入,x,(,n,)是相同，不论何时进行激励，输出,y(n),总是相同,，这正是系统非时变性特征。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第59页,下列图形象说明了系统非时变性概念。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第60页,例1.2.2,设系统映射,y,=,T,x,(,n,)=,nx,(,n,)，判断系统线性和时不变性。,解,设,y,1,(,n,),=nx,1,(,n,),y,2,(,n,),=nx,2,(,n,),x,(,n,),=,a,1,x,1,(,n,)+,a,2,x,2,(,n,),则,T,x,(,n,)=,nx,(,n,),=,na,1,x,1,(,n,)+,na,2,x,2,(,n,),=,a,1,y,1,(,n,)+,a,2,y,2,(,n,),所以，系统为线性系统。,设,y,(,n,)=,nx,(,n,),x,1,(,n,)=,x,(,n-k,),y,1,(,n,)=,nx,1,(,n,)=,nx,(,n-k,),而,y,(,n-k,)=(,n-k,),x,(,n-k,),y,1,(,n,),所以，系统为时变系统。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第61页,1.2.4 线性时不变离散系统,定义,同时具备,线性,和,时不变性,系统称作线 性非时变系统或线性时不变系统。,它主要意义在于，系统处理过程能够统一采取这种系统特征描述之一,单位取样响应,，以一个相同运算方式,卷积运算,，进行统一表示。,任何一个信号能够表示成单位取样序列线性组合，即,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第62页,系统对 响应为,设系统对单位取样序列 响应为 ，,即,称为系统,“单位取样响应”,，它是描述系统一个非常主要信号。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第63页,依据时不变性，有,则系统输出,y,(,n,)可表示为,上式表明：当线性非时变系统单位取样响应,h,(,n,)确定时，系统对任何一个输入,x,(,n,)响应,y,(,n,)就确定了，,y,(,n,)能够表示成,x,(,n,)和,h,(,n,)之间一个简单运算形式。将上式运算方式称作“离散卷积”，简称,“卷积”,，采取符号“*”表示，即,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第64页,1.2.5 离散卷积运算规律,(1)交换律,h,(,n,)*,x,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,),它意义能够解释为，假如交换系统单位取样响应,h,(,n,)和输入,x,(,n,)，系统输出保持不变。,x(n),h(n),y(n),=,h(n),x(n),y(n),天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第65页,交换律证实：,令,n,-,m,=,k,（,m,=,n,-,k,），则,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第66页,(2)结合律,x,(,n,)*,h,1(,n,)*,h,2(,n,)=,x,(,n,)*,h,2(,n,)*,h,1(,n,),=,x,(,n,)*,h,2(,n,)*,h,1(,n,),它意义能够解释为一个级联络统结构，级联次序能够交换，或系统级联能够等效为一个系统，输出保持不变。,x(n),y(n),h,1,(n),h,2,(n),x(n),y(n),h,2,(n),h,1,(n),x(n),y(n),h,1,(n)*h,2,(n),天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第67页,结合律证实：,令,k,-,m,=,r,（,k,=,r,+,m,），则,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第68页,(3)分配律,x,(,n,)*,h,1(,n,)+,x,(,n,)*,h,2(,n,)=,x,(,n,)*,h,1(,n,)+,h,2(,n,),它意义能够解释为一个并联络统结构，或并联络统能够等效为一个系统，输出保持不变。,x(n),y(n),h,1,(n)+h,2,(n),h,1,(n),h,2,(n),x(n),y(n),天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第69页,分配律,证实,：,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第70页,(4)与,(,n,)卷积不变性,x,(,n,)*,(,n,)=,x,(,n,),它意义能够解释为输入经过一个零相位全通系统。,(5)与,(,n-k,)卷积移位性,x,(,n,)*,(,n,-,k,)=,x,(,n,-,k,),它意义能够解释为输入经过一个线性相位全通系统。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第71页,1.2.6 离散卷积计算,卷积计算普通采取两种方法：,解析法,和,图解法,，或是两种方法结合。,例1.2.3,设线性时不变系统单位脉冲响应和输入序列以下列图所表示，画出输出波形。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第72页,解：,（1）采取,图解法,。,图解法过程如图1.2,所表示。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第73页,图1.2 例1.2.3图解法,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第74页,（2）,采取,解析法,。,因为,所以,将,x,(,n,)表示式代入上式，得到,两种方法结果一致。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第75页,1.2.7 系统稳定性和因果性,一、稳定性,稳定系统是有界输入产生有界输出系统。,若,则,线性时不变离散系统是稳定系统,充要条件,（稳定性定理）,：,即，系统单位抽样响应绝对可和。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第76页,证实：,充分条件,若系统满足条件，且输入x(n)有界，有,，对全部n，M是一个任意大有限数，此时系统输出为,两边取绝对值，得,即输出y(n)有界，故系统是,稳定,。,必要条件,利用,反证法,，已知系统稳定，假设 ，能够找,到一个有界输入,则,即输出无界，这不符合稳定假设，因而假设不成立，所以,是稳定必要条件。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第77页,二、因果性,若系统,n,时刻输出，只取决于,n,时刻以及,n,时刻以前输入序列，而与,n,时刻以后输入无关，则称该系统为,因果系统,。,线性时不变离散系统是因果系统,充要条件,（因果性定理）：,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第78页,证实：,充分条件,若n0时，h(n)=0，依据卷积和公式,因为只有当n,-m 0时，h(n,-m)才有值，所以mn,，这就证,明了y(n,)值只取决于x(n)在nn,时值，所以系统是,因果,。,必要条件,利用,反证法,，已知因果系统，假设当nn,时值相关，也就是y(n,)值与n,以后x(n),相关，所以该系统不是因果系统，与已知条件矛盾，因而假设不成立。,可见要使y(n,)与nn,时x(n)无关，则必须使,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第79页,结论,:,因果稳定线性时不变系统单位取样响应是因果,且是绝对可和,即,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第80页,例1.2.4,某线性时不变离散系统，其单位取样响应为,试讨论其是否是因果、稳定。,解：,因果性:,该系统是非因果系统。,稳定性:,当 时系统稳定,当 时系统不稳定,。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第81页,例1.2.5,设系统输入输出关系为，,判断其线性，移不变性，因果性和稳定性。,解：,因而,所以此系统为,线性,系统,而,因而,所以此系统不是移不变系统，也就是系统是,移变,。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第82页,若x(n)有界，即 ，则,而 ，所以 。即,有界输入产生有界输出，所以系统是,稳定,。,只与x(n)当前值相关，而与未来值无关，所以系统是,因果,。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第83页,.常系数线性差分方程,连续线性时不变系统输入输出关系惯用常系数线性,微分方程,表示，而离散线性移不变系统输入输出关系惯用常系数线性,差分方程,表示，即,或者,常系数,是指决定系统特征系数是常数，若系数中含有n，则称为“,变系数,”。,差分方程,阶数,等于y(n)变量序号最高值与最低值之差，比如上式就是N阶差分方程。,线性,是指各y(n-i)项和各x(n-i)项都只有一次幂而且不存在它们相乘项，不然就是非线性。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第84页,求解差分方程有以下几个方法：,递推法、时域经典法、卷积法、变换域法,等等,递推解法,比较简单，适累计算机求解，不过只能得到数值解，不易直接得到闭合形式（公式）解答。,时域经典法,和微分方程解法比较类似，比较麻烦，实际应用中极少采取。,卷积法,则必须知道系统单位抽样响应h(n)，这么利用卷积和就能得到任意输入时输出响应。,变换域法,是利用Z变换方法求解差分方程。,当系统初始状态为零，单位抽样响应h(n)就能完全代表系统，那么对于线性移不变系统，任意输入下系统输出就能够利用卷积和求得。,差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代方法求系统响应，当输入为,(n)时，输出（响应）就是单位抽样响应h(n)。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第85页,例1.3.1,常系数差分方程,（）初始条件为n0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；,（）初始条件为n0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。,解,：,（）设，且，必有,依次迭代,所以单位抽样响应为,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第86页,（）设，由初始条件知，必有,将原式该写为另一个递推关系,则,所以单位抽样响应为,由本例看出，差分方程相同，不过初始条件不一样，得到单位抽样响应不一样，也就是对应着不一样系统,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第87页,1.4 连续时间信号采样,1.4.1 采样基本概念,从原理上说，采样器就是一个开关，,经过控制开关接通和断开来实现信号,采样，它概念如图1.3所表示。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第88页,图1.3 采样过程,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第89页,采样在数学上等效为以下运算：,式中,s,(,t,)是一个开关函数，是原信号，,是采样后信号理想采样情况下，,s,(,t,)是无,限多项单位冲击信号 等间隔组成一个单,位冲击串，即,式中,T,是采样间隔。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第90页,则,式中，只在 时不为零，因而,只在这些点上才有定义值，为 ，可见,采样结果是使原来模拟信号变成为在,这些点上离散信号，这就是,采样简单原理,。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第91页,1.4.2 采样过程中频谱改变,周期信号,T,(,t,)能够进行傅里叶级数展开，以下式：,能够求解出,式中，是 基波频率，同时也是采样频率。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第92页,令 ，求得,A,k,为,T,(t),等效为,所以,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第93页,上式表示 是无限多个载波 被,调制之和，从频域改变来看，频谱被搬移到无限多个频率点，这些频率点是,，所以频谱就变成了周期,函数，周期等于 。所以,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第94页,分析上式，,x,S,(,t,)与,x,a,(,t,)频谱比较，主,要改变是：它频谱变成了周期，即,是周期函数，周期为 ，也就是说，,离散时间信号频谱是连续时间信号频谱以,采样频率为周期进行无限项周期延拓结,果，,这是信号采样带来最主要改变。另,一点改变是频谱幅度变为原来幅度1/,T,。,图1.4表示了这种频谱改变。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第95页,图1.4 理想采样信号频谱,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第96页,1.4.3 低通信号采样定理,设,x,a,(,t,),表示一个带限低通模拟信号，,最高频率分量为,f,max,，它频谱为,X,a,(j)，,如图1.5所表示。,图1.5 带限低通模拟信号,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第97页,对该信号以采样频率,f,s,进行采样，采样后离散时间信号频谱,X,s,(j),变成了以,f,s,为周期周期频谱。显然，在这种情况下，,X,s,(j),和,X,a,(j),包含信息是相同，或者说，采样后离散信号能完全表示原来模拟信号。,若,f,s,2,f,max,，这时周期频谱各周期出现了混叠，造成实际周期频谱一个周期不等于原信号频谱，也就是说，采样以后，信号出现了失真。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第98页,|X,a,(j,)|,|X,s,(j,)|,|,T,(j,)|,|X,s,(j,)|,S,S,-,S,-,S,S,/2,-,S,/2,S,-,S,(a),(b),(c),(d),-,h,h,h,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第99页,采样定理,对一个低通带限信号进行均匀理想采样，假如采样频率大于等于信号最高频率两倍，采样后信号能够准确地重建原信号。能够表示为,或,式中 ，是信号最高频率。,当 时采样频率为,临界采样频率,或,称为“,奈奎斯特采样频率,”。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第100页,例1.4.1,模拟信号,其中,。,(1)求 周期,采样频率应为多少?,采样间隔应为多少?,(2)若选采样频率 ,采样间隔为,多少?写出采样信号 表示式,。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第101页,解,(1)由 ,得,周期为:,采样频率应为:,采样间隔应为:,(2)选,则,采样间隔,为,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第102页,所以,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第103页,1.4.4 信号恢复,当满足采样定理条件时，能够推导出从离散时间信号恢复原来模拟信号内插公式。,先从频域分析入手，已知采样后信号频谱在一个周期里能够表示为,所以，只要设计一个截止频率为 理想低通滤波器，就能够恢复原信号频谱 。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第104页,设该理想低通滤波器频率响应为,依据模拟系统频域描述理论，有,所以，将等于原信号频谱 。,T,0,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第105页,设滤波器单位冲击响应为,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第106页,滤波器输出为,这就是,信号恢复内插公式。,其中,称为,内插函数,，它是一个关于,t,连续函数，关于,k,离散函数。,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第107页,有一个主要特点：,在取样点,n,=,k,时，=1,在其它取样点,n,k,，=0，,在当前取样点上，和 完全相等，在取样点之间，是由无限多个 被对应采样值 作加权系数线性组合组成，图1.6是这种过程示意图。,在每一个抽样点上，因为只有该抽样值所对应内插函数不为零，,抽样内插公式确保了各采样点上信号值不变，而采样点之间信号,值则是由各抽样值对应内插函数波形延伸叠加而成,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号和系统理论知识介绍,第108页,图1.6 采样信号恢复,天津师范大学计算机与信息工程学院,