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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,理论力学,第一篇 静力学,第三篇 动力学,3,动力学,研究物体的机械运动与作用力之间的关系。,1、力学模型,质点,质点系,具有一定的质量，几何形状和尺寸可以忽略不计的物体,几个或无限个相互联系的质点组成,不变质点系：刚体,可变质点系：运动机构、流体,质点系,2、研究内容,质点动力学,质点系动力学,4,3、研究方法,质点运动微分方程,动力学普遍定理,动静法,（动量、动量矩、动能 定理）,4、工程中动力学问题,舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞,5,4、工程中动力学问题,F,v,1,v,2,棒球在被球棒击打后，其速度的大小和方向发生了变化。如果已知这种变化即可确定球与棒的,相互作用力。,6,4、工程中动力学问题,载人飞船的交会与对接,7,4、工程中动力学问题,高速列车的振动问题,2,10.1 动力学基本定律,3,1,10.2 质点的运动微分方程,第十章 质点动力学基本方程,内 容 提 要,9,一、牛顿三定律,10.1 动力学基本定律,动力学基本定律是,牛顿,在总结前人，特别是伽利略研究的基础上归纳出来的,10,1、惯性定律,质点若不受力的作用，将保持其原静止 或匀速直线运动状态,惯性；合力为零；力是改变运动状态的原因。,11,2、力与加速度关系定律,质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同,加速度是矢量,加速度与力的关系是瞬时的,质量相同的质点，力越大，加速度越大,12,3、作用与反作用定律,两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。,质点动力学,质点系动力学,桥梁,13,二、惯性参考系,牛顿定律不可能适用一切参考系，而只能适用于“绝对运动”的参考系。,如无特别说明，均取固定在地球表面的参考系为惯性参考系,惯性参考系,14,一、运动微分方程,10.2 质点运动微分方程,设质量为 m的质点 受 n个力 ，作用,由质点动力学第二定律,15,10.2 质点运动微分方程,1.质点运动微分方程在直角坐标轴上投影,若质点做平面曲线运动，根据所在平面，上式中只有两式,若质点做直线运动，上式中只有一式,16,10.2 质点运动微分方程,2.质点运动微分方程在自然轴上投影,由点的运动学,和 为沿轨迹切线和主法线的单位向量,17,10.2 质点运动微分方程,3.质点动力学的两类基本问题,第一类基本问题,第二类基本问题,已知质点的运动，求作用于质点的力。,已知作用于质点的力，求质点的运动。,求导,积分,混合问题,18,例题10-1 曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA以匀角速度,转动，OA=r，当 比较小时，以 O点为坐标原点，滑块B的运动方程可近似写为,如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB的质量，试求当 为0和 时，连杆AB所受的力。,解：研究滑块,其中,得,（1）当 ，,（2）当 ，,21,例题10-2 质量为m 的炮弹从某点 O以初速 发射，且 与水平方向夹角为 ，不计空气阻力和地球自转的影响，试求炮弹在重力作用下的运动方程和轨迹。,以炮弹（视为质点）为研究对象，因不考虑地球自转的影响，所以，其运动轨迹为一平面曲线。,该问题为已知质点所受的力求质点的运动规律，属于第二类基本问题。,22,由质点运动微分方程,则炮弹的速度随时间的变化规律为,由题意 ，,23,则炮弹的运动方程为,由题意 ，,则轨迹方程,24,例题10-3桥式起重机跑车用钢丝绳吊挂一质量为 m的重物沿横向做匀速运动，速度为 ，重物中心至悬挂点的距离为 。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点 O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。,以重物（抽象为质点）为研究对象，由于其运动轨迹为以悬挂点为圆心，以绳长为半径的圆弧，故适合用自然法求解,25,应用自然形式的质点运动微分方程,由分析可知，重物做减速运动，故 时，钢丝绳的拉力最大,26,理论力学,27,121 质点和质点系的动量矩,122 动量矩定理,123 刚体绕定轴的转动微分方程,124 刚体对轴的转动惯量,125 刚体的平面运动微分方程,第12章 动量矩定理,28,12-1质点和质点系的动量矩,1质点的动量矩,设质点,Q,某瞬时动量为,m,v,，其对,O,点的位置为矢径,r,，如图 所示，定义质点,Q,的动量对于,O,点的矩为质点对点,O,的动量矩 定义指点动量,m,v,在,Oxy,平面的投影（,m,v,),xy,对于点,O,的矩，为质 点动量对于,z,轴的矩，简称对于,z,轴的动量矩。分别表示如下,29,质点系对点,O,动量矩等于各质点对同一点,O,的动量矩的矢量和，或者称为质点系对点,O,的主矩，即,动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。单位：kg,2,/s。,从图可以看出，质点对于,O,点的动量矩矢在,z,轴上的投影，等于对,z,轴的动量矩。即正负号规定与力对轴矩的规定相同,对着轴看：顺时针为负，逆时针为正,2质点系的动量矩,30,刚体平动时,，可把质量集中于质点，作为一个质点计算其动量矩；,质点系对某轴,z,的动量矩等于各质点对同一轴,z,动量矩的代数和，即,同理有,上式表明：质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。,31,令 ，称为刚体对,z,轴的,转动惯量,，于是有,即绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积,刚体作定轴转动时，,对转轴的矩,32,刚体作一般运动时,，可以证明对任意固定点,O,的动量矩为,同样可以证明对质心而言，绝对动量矩与相对动量矩相等，即,这样刚体作平面运动时，对过质心,C,且垂直于平面图形的轴的动量矩为,33,解,：,例1,滑轮,A,：,m,1,，,R,1,，,R,1,=2,R,2,，,J,1,滑轮,B,：,m,2,，,R,2,，,J,2,；物体,C,：,m,3,求,系统对,O,轴的动量矩。,34,12-2动量矩定理,1质点的动量矩定理,对质点动量矩求一次导数，得,因为,故,35,上式表示质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩，称为质点动量矩定理。其投影式分别为,36,2质点系的动量矩定理,i,=1,2,n,;,n,个方程相加，有,n,个质点，由质点动量矩定理有,由于,于是,37,上式表明质点系对于某定点,O,的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和，（外力对点,O,的主矩）称为质点系动量矩定理，其投影式为：,38,3动量矩守恒定理,如果作用于质点的力对某定点,O,的矩恒为零，则质点对该点的动量矩保持不变，即,作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩保持不变，即,以上结论称为,质点动量矩守恒定律,同理，当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是,质点系动量矩守恒定律。,另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。,39,运动分析：，,由动量矩定理,即,解,：将小球视为质点。,受力分析；受力图如图示。,例2,图示单摆已知,m,，,l,，,t,=0时,=,0,，从静止开始释放。,求,单摆的运动规律。,40,注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）,质点动量矩定理的应用：,在质点受有心力的作用时。,质点绕某心（轴）转动的问题。,微幅摆动时，并令,解微分方程,并代入初始条件,摆动周期,则,则运动方程,41,解:,取整个系统为研究对象，,受力分析如图示。,运动分析：,v,=,由动量矩定理：,例3,已知,:,42,解,：因,猴,A,与猴,B,向上的绝对速度是一样的,均为 。,例4,已知：猴子,A,重=猴子,B,重，猴,B,以相对绳速度,上爬，猴,A,不动，问当猴,B,向上爬时，猴,A,将如何动？,动的速度多大？（轮重不计）,故系统的动量矩守恒。,43,12-3,刚体绕定轴的转动微分方程,如图示一定轴转动刚体，由质点系对,z,轴动量矩定理,以上各式称为刚体绕定轴转动微分方程,44,刚体绕定轴转动主要解决两类问题,：,已,知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律；,已,知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。,特殊情况,：若外力矩恒为零，则刚体作匀速转动或保持静止；若外力矩为常量，则刚体作匀变速转动。,将 比较，刚体的转动惯量的大小体现了刚体转动状态改变的难易程度，是刚体转动惯性的度量。,45,12-4 刚体对轴的转动惯量,定义,：刚体对任意轴z的转动惯量定义为：,若刚体的质量是连续分布，则：,转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kgm,2,。,（1）,匀质细直杆长为,l,质量为,m,，其分别,对,z,和,z,轴的转动惯量,1简单形状物体的转动惯量计算,46,（2）,匀质圆环半径,R,，质量为,m,，其对中心轴,z,的转动惯量为,（3）,匀质圆板半径,R,，质量为,m,，其对中心轴,z,的转动惯量。,任取一圆环，则,47,2.回转半径,定义：,即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘积；对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。,则,48,3.平行移轴定理,刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即,证明,：设质量为,m,的刚体，质心为,C,，,49,当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。,4计算转动惯量的组合法,刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值,。,50,解,：,例5,钟摆：均质直杆,m,1,l,；,均质圆盘：,m,2,R,。求,J,O,。,51,如图所示一平面运动刚体，,D,为刚体上任一点，,C,为质心，,Cxy,为固连于质心的平移参考系，刚体的运动可分解为随质心的平移和绕质心的转动两个部分。该刚体上作用有力系,F,1,，,F,2,，,F,3,，,F,n,，则应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得,12-5刚体的平面运动微分方程,52,也可写成,以上两式称为,刚体的平面运动微分方程,。应用时，前一式取投影式。,53,例6,质量为,m,半径为,R,的均质圆轮置放于倾角为,q,的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为,f,、,f,，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。,解,：取轮为研究对象。,受力分析如图示。,运动分析：取直角坐标系,Oxy,a,C y,=0，,a,C x,=,a,C,一般情况下轮作平面运动。,根据平面运动微分方程，有,54,由2式得,1,2,3,4,1，3,两式中含有三个未知数,a,C,、,F,S,、,a,，需补充附加条件。,1,设接触面绝对光滑，即,f,=,f,=,0,讨论,因为轮由静止开始运动，故,0，轮沿斜面平动下滑,。,55,3,设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。,F,S,=,fF,N,，,可解得,轮作纯滚动的条件：,表明：当时，,解答3,适用；,当时，,解答2,适用；,f=,0 时,解答1,适用。,2,设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，所以可解得,56,动力学,第十二章 动量矩定理,第十三章 动能定理,13-1力的功,13-2动能,13-3动能定理,13-4功率,功率方程,机械效率,13-5动力学普遍定理的综合应用,前面学习的动量定理和动量矩定理分别以动量和动量矩来度量物体机械运动量的大小。完整地描述了质点系所受的外力与其运动变化的关系,但没有考虑内力的作用效果及作用力的空间积累效应.。本章将讨论物体机械运动的另一种度量-动能，研究质点系动能的变化与其所受作用力（包括内力和外力）的功之间的关系。,引言,1 常力的功,设物体在常力,F,作用下沿直线走过路程,s,，如图，则力所作的功,W,定义为,功是代数量。它表示力在一段路程上的累积作用效应，因此功为累积量。在国际单位制中，功的单位为：,J,(焦耳),1,J,1 N,m,。,13-1 力的功,2.变力在曲线运动中的功,设质点,M,在变力,F,的作用下沿曲线运动，如图。力,F,在微小弧段上所作的功称为力的元功,记为d,W,于是有,M,M,1,M,2,q,d,s,M,d,r,F,力在全路程上作的功等于元功之和,上式称为自然法表示的功的计算公式。,称为,矢径法表示的功的计算公式,。,在直角坐标系中,上两式可写成矢量点乘积形式,上式称为,直角坐标法表示的功的计算公式,，也称为,功的解析表达式,。,1)重力的功,设质点的质量为,m,，在重力作用下从,M,1,运动到,M,2,。建立如图坐标，则,代入功的解析表达式得,3 几种常见力的功,M,1,M,2,M,m,g,z,1,z,2,O,x,y,z,对于质点系，其重力所作的功为,由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的路径无关。,2)弹力的功,物体受到弹性力的作用,作用点的轨迹为图示曲线,A,1,A,2,在弹簧的弹性极限内,弹性力的大小与其变形量,d,成正比。设弹簧原长为,l,0,则弹性力为,A,1,A,2,r,2,r,1,d,1,d,2,l,0,O,r,0,r,A,d,F,A,0,d,r,于是,或,因为,弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有关，与力的作用点,A,的轨迹形状无关。,3）作用在刚体上力偶的功,图示为作平面运动的刚体。刚体上作用有,和,组成的力偶，其力偶矩为M在刚体上任选一基点,，,则此平面运动分解为随基点,的平动和绕基点,的转动。,在时间间隔dt内，基点,的线位移微元为drA,刚体的角位移微元为,在上述元位移上的元功为：,力偶M在角位移,到,中所作的功为,4）摩擦力的功,如果摩擦不能忽略，其功是正还是负、或是零要作,具体分析，主要看摩擦力的作用点有无位移，它的,位移方向与摩擦力的方向相同还是相反,。,5内力的功,质点系的内力都是成对出现的，彼此大小相等、方向相反，,作用在同一条直线上。但所作功的和并不等于零。例如，,内燃机、电动机和发动机等。汽车内燃机气缸内膨胀的气,体质点之间的作用力、气体质点对活塞和气缸的作用力都,是内力。这些力作功使汽车的动能增加。,同时也应注意，多数情况下，内力作功为零。刚体内两质点,相互作用的力是内力，两力大小相等、方向相反，作用在同,一条直线上，因为刚体上任意两质点间的距离始终保持不变，,沿这两点连线的位移必定相等，其中一个力作正功，另一个,作负功，这对力所作功的和为零，刚体中任意一对内力所作,的功都等于零，所以刚体内力所作功的总和恒为零。,6,理想约束反力的功,（1）光滑面支承、活动支座、轴承、销钉的约束,反力，总是和它作用点的微小位移,图（a）(b)(c)，所以这些约束反力的功恒等于零。,相垂直,（a）(b)(c),(2）光滑铰链约束反力。对于系统的光滑铰链约束,如图，其约束反力是一等值、反向、共线的内,力，当铰链中心产生位移时 ,这两个力所作的,功大小相等，而符号相反，因而其和亦为零。,(3）不可伸长的柔绳的拉力图（b）绳索两端的约束力,和,大小相等，即,由于绳索不可伸长，所以,两点的,和,在绳索中心线上的投影必相等，即,，,因此不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零，,把约束反力作功之和等于零的约束称为理想约束。,微小位移,1.质点的动能,设质点的质量为,m,，速度为,v,，则质点的动能为,动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。,2.质点系的动能,质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即,13-2 动能,刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动,形式不同时，其动能的表达式也不同。,(1)平动刚体的动能,(2)定轴转动刚体的动能,(3)平面运动刚体的动能,J,P,J,C,+,md,2,d,w,v,C,于是得,平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能,与绕质心转动的动能的和。,d,w,C,P,C,v,C,均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:,解：,例13-1：均质杆AB长l，质量为m，滑块B的质量为m，,圆柱A的质量为M，半径为R。在运动过程中=(t)，,试写出在=45,0,瞬时的系统动能。,1.质点的动能定理,取质点运动微分方程的矢量形式,在方程两边点乘dr，得,因,d,rv,d,t,，,于是上式可写成,13-3,动能定理,质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。,积分上式，得,或,在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。,2.质点系的动能定理,设质点系由,n,个质点组成，第,i,个质点的质量为,m,i,，速度为,v,i,，根据质点的动能定理的微分形式，有,式中d,W,i,表示作用在第,i,个质点上所有力所作的元功之和。对质点系中每个质点都可以列出如上的方程，将,n,个方程相加，得,质点系动能的微分，等于作用在质点系上所有力所作的元功之和。,对上式积分，得,质点系在某一运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这一过程中所作的功之和。,13-2 已知：轮,O,的,R,1,、,m,1,质量分布在轮缘上;均质轮,C,的,R,2,、,m,2,纯滚动,初始静止;,M,为常力偶。,求:轮心,C,走过路程,S,时的速度和加速度,解:,轮,C,与轮,O,共同作为一个质点系,式(a)是函数关系式，两端对,t,求导,得,13-3 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止),解,：取系统为研究对象,上式求导得：,一功率,：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。,作用力的功率：,力矩的功率：,功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s。,13-4功率,功率方程,机械效率,二功率方程,：,由 的两边同除以,dt,得,分析：起动阶段（加速）：即,制动阶段（减速）：即,稳定阶段（匀速）：即,机器稳定运行时，机械效率,是评定机器质量优劣的重要指标之一。,一般情况下,。,13-5动力学普遍定理的综合应用,动力学普遍定理包括动量定理，动量矩定理和动能定理。,建立了质点或质点系运动的变化与所受的力之间的关系,都可由质点的牛顿定律推导出来。动量定理和动量矩定,量在描述运动的改变与作用力的关系中,都反映了方向性,以矢量的形式表达。对于质点系，这两个定理都不包含,内力，即内力不能改变质点系的动量和动量矩。质心运,动定理也是矢量形式，常用来分析质点系受力与质心运,动的关系，与相对于质心的动量矩定理联合，可共同描,述质点系机械运动的总体情况，可建立刚体运动的基本,方程，如平面运动微分方程。,动能定理是标量形式，它是从运动的强弱来反映运,动的改变，并用力的功来度量这个改变，在很多实,际问题中约束力又不作功，因而在动能定理得方程,中不出现约束力，会使问题大为简化。,动力学普遍定理中各个定理有各自的特点，它有一定,的适用范围，因此在求解动力学问题时，需要根据质,点或质点系的运动及受力的特 点、给定的条件和要,求的未知量，适当选择定理，灵活应用。在求解比较,复杂的问题时，却往往需要根据各定理的特点，联合,运用。,解,：取杆为研究对象，由动量矩定理：,由质心运动定理：,动力学,13-4,均质杆,OA,，重,P,，长,l,，绳子突然剪断。,求,该瞬时，角加速度及,O,处反力。,（初瞬时杆的角速度,0,=0）,B,A,例13-5 物块A和B的质量分别为m,1,、m,2,，且 m,1,m,2,，分别系在绳索的两端，绳跨过一定滑轮，如图。滑轮的质量为m，并可看成是半径为r的均质圆盘。假设不计绳的质量和轴承摩擦，绳与滑轮之间无相对滑动，试求物块A的加速度和轴承O的约束反力。,解一：取单个物体为研究对象,。,分别以物块A、B和滑轮为研究对象，,受力如图。,m,1,g,F,A,a,m,2,g,F,B,a,A,B,O,r,以滑轮为研究对象，受力如图。分别由质心运动定理和定轴转动的微分方程，得,A,B,O,r,F,B,F,A,F,Ox,F,Oy,O,m,g,a,联立方程求解得,：,解二：用动能定理和质心运动定理。,以整个系统为研究对象,受力如图,运动分析如图。系统动能为:,所有力的元功的代数和为,B,A,m,1,g,v,m,2,g,v,F,Ox,F,Oy,O,m,g,w,B,A,m,1,g,v,m,2,g,v,F,Ox,F,Oy,O,m,g,w,由微分形式的动能定理得,由,得,由质心坐标公式,所以,B,A,m,1,g,v,m,2,g,v,F,Ox,F,Oy,O,m,g,w,解三：用动量矩定理和质心运动定理,(或动量定理),。,解：以整个系统为研究对象，受力如图，运动分析如图。系统对定轴的动量矩为,B,A,m,1,g,a,m,2,g,a,F,Ox,F,Oy,O,m,g,e,再按解二的方法即可求得轴承O的,约束反力,。,B,A,m,1,g,a,m,2,g,a,F,Ox,F,Oy,O,m,g,e,由,得,13-6 已知:l,m，地面光滑.,求:杆由铅直倒下,刚到达地面时的角速度,和地面约束力.,解,:,时,(a),(b),(c),理论力学,141,惯性力 质点的达朗贝尔原理,142,质点系的达朗贝尔原理,143,刚体惯性力系的简化,144 绕,定轴转动刚体的轴承动约束力,第14章 达朗贝尔原理,本章介绍动力学的一个重要原理,达朗贝尔原理,。应用这一原理，可以把动力学问题从形式上转化为静力学问题，并利用静力学中研究平衡问题的方法来求解。这种解答动力学问题的方法，也称,动静法,。,14-1惯性力 质点的达朗贝尔原理,如图，人用手推车时，车在加速运动过程中，人会感到受到力的作用，这个力是由于车具有惯性，力图保持原来的运动状态对人产生的反抗力，称为惯性力。,如下图质点,m,的运动，由牛顿第二定律：,F,I,为惯性力，上式为质点的达朗贝尔原理。,从形式上看作用在质点上的主动力、约束力和虚加惯性力组成平衡力系，这只不过是处理动力学问题的一种方法，质点并未处于平衡状态。,例1,列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度,q,，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。,选单摆的摆锤为研究对象,虚加惯性力,解：,由动静法,有,解得,q,角随着加速度 的变化而变化，当 不变时，,q,角也不变。只要测出,q,角，就能知道列车的加速度 。这就是摆式加速度计的原理。,14-2 质点系的达朗贝尔原理,该式表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约束反力和惯性力在形式上构成平衡力系。这就是,质点系的达朗贝尔原理,。,设有一质点系由,n,个质点组成，对每一个质点,i,，有,把作用于I质点的所有力分为外力的合力 ，内力的合力 ，则,上式表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和惯性力在形式上构成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即,由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，有,则上式可改写为,上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每个质点上惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理的又一表述。对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。,另外很显然有,对平面任意力系：,对于空间任意力系：,实际应用时,同静力学一样任意选取研究对象,列平衡方程求解。,用动静法求解动力学问题时，,对质点系，每个质点均受到惯性力的作用，这些惯性力形成一个力系，利用静力学的力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩，给解题会带来方便，这里讨论刚体平移、定轴转动和平面运动时惯性力系的简化。,14-3 刚体惯性力系的简化,以,F,IR,表示惯性力系的主矢，则,该式对任何质点系做任意运动都成立，当然适用于做平移、定轴转动与平面运动的刚体。,主矢的大小和方向与简化中心的位置，主矩一般与简化中心的位置无关,，下面对刚体做平移、定轴转动、平面运动时的惯性力系简化的主矩进行讨论。,1、刚体作平移,若选质心,C为,简化中心，则,r,C,=0,，有：,故平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其力大小等于刚体质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。,作平移时，刚体任一点,i,的加速度,a,i,与质心的加速度,a,C,相同，如图，以,O,为简化中心，有,2、定轴转动刚体,如图示定轴转动刚体，考虑质点,i,，以,O,为简化中。有,则惯性力系对,x,轴的矩为：,分别称为对,z,轴的惯性积，则惯性力系对,x,轴的矩为,同理惯性力系对,y,轴的矩为,惯性力系对,z,轴的矩为,综上所述,惯性力系向转轴上一点,O,简化的主矩为,如果刚体有质量对称平面,切该平面与转轴,z,垂直,简化中心,O,取为 此平面与转轴的交点，则有,则惯性力系简化的主矩为,结论,:当刚体有质量对称平面且绕垂直与此对称平面的轴作定轴转动时,惯性力系向转轴简化为此对称平面内的一个力和一个力偶,这个力等于刚体质量与质心的加速度的乘积,方向与加速度方向相反,作用线通过转轴;这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积,转向与角加速度相反.,讨论：,刚体作匀速转动，转轴不通过质点,C,。,转轴过质点,C,，但,a,0，惯性力偶,（与,a,反向）,刚体作匀速转动，且转轴过质心，则,工程中的刚体常具有质量对称平面，且平行于该平面运动，则刚体各点的惯性力组成的空间力系，可简化为在该对称平面内的平面运动。如图，以质心,C,为简化中心，惯性力系可简化为,3、刚体作平面运动,（平行于质量对称平面）,结论：,有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角角速度的乘积，转向与角加速度相反。,主矢：,主矩：,对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：,实质上即是刚体平面运动微分方程：,例2,均质细杆支承如图所示。已知杆长为,l,，重为,P,，斜面倾角 。若杆与水平面交角 瞬时，,A,端的加速度为 ，杆的角速度为零。试求此瞬时杆上惯性力系向点,O,简化的结果。,A,O,解:,杆,AB,作平面运动，可将惯性力系向质心,C,简化，故需求得质心,C,的加速度 ，以杆端点,A,为基点，则,上式中 方向如图所示,角加速度,a,的计算，,以杆端点,A,为基点，,B,为动点,因此得此杆惯性力系得主矢为,式中,惯性力系向质心简化得主矩为,方向如图所示。,A,O,A,O,A,O,再向,O,点简化，主矢不变,主矩为,例3,均质杆长,l,质量,m,与水平面铰接,杆由与平面成,0,角位置静止落下。求开始落下时杆,AB,的角加速度及,A,点支座反力。,选杆,AB,为研究对象,虚加惯性力系：,解,：,根据动静法，有,例4,牵引车的主动轮质量为,m,，半径为,R,，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩,M,，车轮对于通过质心,C,并垂直于轮盘的轴的回转半径为,，轮与轨道间摩擦系数为,f,试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩,M,之最大值。,O,取轮为研究对象,虚加惯性力系：,解：,O,由动静法，得：,联立求解得,F,N,=P+F,2,要保证车轮不滑动，,必须,F,S,f F,N,=,f,(,P,+,F,2,),M,max,的值为上式右端的值。,O,即,14-4 绕,定轴转动刚体的轴承动约束力,如图，以,O,为简化中心，所有主动力和惯性力系向该点简化，形成一空间任意“平衡力系”，列平衡方程,由上述5个方程解得轴承的全约束反力为,这里把由于惯性力系的主矢,F,IR,和主矩,M,I,O,引起的轴承约束力称为动约束力，要使之为零，必须有,即要使轴承动约束力等于零的条件是：,惯性力系的主矢等于零，惯性力系对于,x,轴和,y,轴的主矩等于零。,结论,：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动约束力的条件是，转轴通过质心，刚体对转轴的惯性积等于零。,如果刚体对通过某点的轴z的惯性积,J,xz,=,J,yz,=0 等于零，称该轴为过该点的惯性主轴，通过质心的惯性主轴成为中心惯性主轴。则上述结论可表达为：,避免出现轴承动约束力的条件为是，刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴。,由前面所得，即有,所以，要使惯性力系的主矢等于零，必须,a,C,=0，即转轴通过质心。要使主矩等于零，必须有,J,xz,=,J,yz,=0，即刚体对转轴z的惯性积等于零。,例5,质量不计的刚轴以角速度,匀速转动，其上固结着两个质量均为,m,的小球,A,和,B,。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？,静平衡：（,a,)(,b,)、(,d,),动平衡：(,a,),动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。,136,引言,静力学,是研究物体在力系作用下的平衡条件的科学。,理论力学所研究的物体大都是刚体。所谓,刚体,是指物体在力的作用下，其内部任意两点距离始终保持不变。但这是一个理想化的力学模型。在静力学研究的物体只限于刚体。,力,，是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生变化（力的运动效应或外效应）和使物体产生变形（力的变形效应或内效应）。因理论力学研究对象是刚体，所以主要研究力的运动效应即外效应。,力对物体的作用效果决定于三个要素,：（1）力的大小；（2）力的方向（方位和指向）；（3）力的作用点。故力是一个矢量，用,F,表示。在国际单位制中，力的单位是N（牛）或kN（千牛）。,137,力系,，是指作用于物体上的一群力。,平衡,，是指物体相对于惯性参考系保持静止或匀速直线运动。在绝大多数工程问题中，将地球近似为惯性参考系。,在本篇中，主要研究以下问题：,（1）,物体的受力分析,；,（2）,力系的简化,，即用一个简单的力系等效替换一个复杂的力系。,（3）,建立各种力系的平衡条件,。,工程问题中的力系，按其作用线所在空间的位置，可分为,平面力系,和,空间力系,；若按其作用线之间相互关系，分为,汇交力系,，,力偶系,，,平行力系,和,任意力系,。,138,理论力学,139,第1章 静力学,基础,1-1 静力学公理,公理,是人们在生活和生产实践中长期积累的经验总结，又经过实践反复检验，被公认为是符合客观实际的最普遍、最一般的规律。它们是静力学的理论基础。,F,1,=-,F,2,公理1 二力平衡条件,作用在,刚体,上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是这两个力的大小相等、方向相反、且作用在同一直线上,。如图所示。,140,该公理指出了作用在刚体上最简单力系的平衡条件。但应该注意对刚体而言，这条件既必要又充分，但对变形体而言，这条件并不充分。以绳为例，如图所示。,公理2 加减平衡力系原理,在作用于,刚体,的力系中，加上或减去任意的平衡力系，并不改变力系对刚体的作用。同样，该公理只适用于刚体而不适用于变形体。,141,由此公理可以导出下列推论,：,推论 力的可传性,作用于,刚体,上某点的力，可以沿其作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用,。,证明,：刚体上的点,A,处作用有力,F,，如图（a）所示。根据公理2，可在力,F,的作用线上任取一点,B,，加上一对平衡力,F,1,和,F,2,，使其,F,=,F,2,=-,F,1,，如图(b)所示。再根据公理2，去掉一对平衡力系,F,和,F,1,，这样只剩下力,F,2,=,F,如图(c)所示,即将力,F,沿其作用线移到了点,B,。,图(a),图(b),图(c),142,由此可见，对于刚体来说，作用其上力的三要素是：,力的大小、方向和作用线,。此时，力是一个滑动矢量。,公理3 力的平行四边形法则,作用于物体上同一点的两个力，可以合成一个合力。合力的作用点仍在该点，其大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线来确定,。如图(a)所示。即,也可以由力的三角形来确定合力的大小和方向，如图(b)(c)。,F,R,=F,1,+F,2,图(a),图(b),图(c),143,推论 三力平衡汇交定理,作用于,刚体,上三个相互平衡的力，若其中任意两个力的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必交于同一点，且三个力的作用线在同一平面内。,证明：如图(a)所示,在刚体的,A、B、C,三点上，分别作用三个力,F,1、,F,2、,F,3,平衡但不平行。由力的可传性，先将,F,1、,F,2,移到,O,点，根据公理3得合力,F,12,。由于三力是平衡的，则有,F,3,与,F,12,平衡。根据二力平衡条件，力,F,3,必定与力,F,1,和,F,2,共面，且通过力,F,1,与,F,2,的交点,O,。证毕。,图（a),图（b),144,公理4 作用和反作用力定律,作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，且沿同一直线分别作用在两个相互作用的物体上,。,若用,F,、,F,分别表示为作用力和反作用力，则有,F,=-,F,但一定要注意：这两个力是分别作用在两个相互作用物体上，它们不是一对平衡的力。,公理5 刚化原理,变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。,145,由上图可见，刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。,146,在力学中，我们所研究的物体，与其周围的其它物体总是以某一方式联系着，其中有些物体它们在空间的位移不受任何限制，称为自由体。如在空中飞行的鸟、飞机、炮弹、火箭等等。有些物体在空间的位移受到某种预加的限制，称为非自由体。如电灯用电灯线吊在屋顶上，火车在铁轨上运行，炮弹在炮筒中运动等，电灯、火车、炮弹的位移都受到了某种限制。对非自由体的某些位移起限制作用的其周围物体，称为约束。如上述灯线、轨道、炮筒分别是电灯、火车和炮弹的约束。,根据力的定义，约束对其被约束物体的作用，实际上就是力的作用，这种力称为约束力。它的大小是未知的，以后可用平衡条件求出，但它的方向必与该约束对被约束的物体所能阻止的位移方向相反。,1-2 约束和约束力,147,除了约束力外，物体还受到另一类力作用，称为主动力。如物体重力，风力，水力，弹力等等。这种力通常是已知的。,下面介绍在工程中常见的约束类型及其约束力方向或方位。,1、具有光滑接触面的约束,两接触表面光滑，不计摩擦。该类约束的特点不能限制物体沿切线向位移，它只能阻碍物体沿接触表面公法线向约束内部的位移。因此，此类约束力，作用在接触点处，方位沿接触表面的公法线，指向被约束物体，只能是压力，称为法向约束力。一般用,F,N,表示。,148,149,2、由柔软的绳索、胶带、链条等构成的约束,柔软体约束本身只能承受拉力。故该类约束力，作用在连接点处或假设截割处，方向沿着柔软体的轴线，而指向背离物体。只能是拉力。通常用,F,或,F,T,表示。,150,.光滑铰链约束,光滑铰链型约束,实质上仍是光滑接触面约束,不过它限制了两物体的相对移动,而不限制两物体的相对转动。,(1)圆柱型铰链(销钉),151,为更一般化,我们将它抽象成上图所示，并将销钉固结在其中任一个零件上，如零件,上，这样原来是三个零件组成的，现变为两个零件；原先零件,与,是没有直接作用而是通过销钉,A,来联系，现在由两个零件,和,直接作用。作用力和反作用力分别作用在,和,上。,152,如果连接铰链中有一个零件固定在地面或机架上，则铰链,A,就成为固定铰链支座约束。此类约束广泛应用于桥梁、机械工程中。,(2)固定铰链支座,153,154,（3）向心轴承（径向轴承）,向心轴承又称径向轴承。轴可在固定孔内（轴承内）任意转动，也可以沿孔的中心线移动，但是轴承阻碍轴沿径向向外的位移。与铰链约束一样，轴与轴承接点位置不确定，约束力的作用线方位不能确定，但一定于接触点处公法线上即它的作用线必垂直于轴线并通过轴心，指向轴心，其大小待定，仍是两个未知数。,155,4 其它约束,在桥梁、屋梁及机械工程中常采用如图所示的支座，称为滚动（辊轴或活动）支座。它