利用向量法求空间角PPT文档.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,用向量法求空间角,3.2.3立体几何中的向量方法,1,一、复习引入,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（化为向量问题）,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（进行向量运算）,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（回到图形）,2,向量的有关知识：,3、平面的法向量：_,1、两向量数量积的定义：a b=_,2、两向量夹角公式：cos,a,b,=_,|a|b|cosa,b,与平面垂直的向量,3,例1：在,RtAOB,中，,AOB=90,，现将,AOB,沿着平面,AOB,的法向量方向平移到,A,1,O,1,B,1,的位置，已知,OA=OB=O,o,1,，取,A,1,B,1,、A,1,O,1,的中点,D,1,、F,1,，求异面直线,BD,1,与,AF,1,所成的角的余弦值。,A,B,O,F,1,B,1,O,1,A,1,D,1,二、知识讲解与典例分析,4,A,B,O,F,1,B,1,O,1,A,1,D,1,解：以点,O,为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，并设,OA=1,则：,A(1,0,0),B(0,1,0),F,1,(,0,1),D,1,(,1),所以，异面直线,BD,1,与,AF,1,所成的角的余弦值为,例1：在,RtAOB,中，,AOB=90,，现将,AOB,沿着平面,AOB,的法向量方向平移到,A,1,O,1,B,1,的位置，已知,OA=OB=O,o,1,，取,A,1,B,1,、A,1,O,1,的中点,D,1,、F,1,，求异面直线,BD,1,与,AF,1,所成的角的余弦值。,x,y,z,10,30,5,点评：向量法求异面直线所成角的余弦值的一般步骤,建系,求两异面直线的方向向量,求两方向向量的夹角的余弦值,得两异面直线所成角的余弦值,6,例2:正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为1，点,E、F,分别为,CD、DD,1,的中点，,(1)求直线,B,1,C,1,与平面,AB,1,C,所成的角的正弦值;,(2)求二面角,F-AE-D,的余弦值。,A,A,1,C,1,B,1,D,C,B,D,1,E,F,7,例2:(1)求直线,B,1,C,1,与平面,AB,1,C,所成的角的正弦值;,x,y,z,A,D,B,A,1,D,1,C,1,B,1,解,：(1),以点,A,为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则：,A(0,0,0),B,1,(1,0,1),C(1,1,0),C,1,(1,1,1),设平面,AB,1,C,的法向量为,n=(x,1,y,1,z,1,),所以,X,1,+z,1,=0,X,1,+y,1,=0,取,x,1,=1,得,y,1,=z,1,=-1,故,n=(1,-1,-1),C,故所求直线,B,1,C,1,与平面,AB,1,C,所成的角的正弦值为,8,点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤,建系,求直线的方向向量,求直线的方向向量与平面的法向量,的夹角的余弦值,得直线与平面所成角的正弦值,求平面的法向量,9,x,y,z,A,D,C,A,1,D,1,C,1,B,1,B,F,E,例2(2)点,E、F,分别,为,CD、DD,1,的中点，求二面角,F-AE-D,的余弦值。,取,y,2,=1,得,x,2,=z,2,=-2,(2),由题意知,设平面,AEF,的法向量为,m=(x,2,y,2,z,2,),所以,故m=(-2,1,-2),又平面,AED,的法向量为,AA,1,=(0,0,1),观察图形知，二面角,F-AE-D,为锐角，所以所求二面角,F-AE-D,的余弦值为,10,点评：法向量法求二面角的余弦值的一般步骤,建系,求两平面的法向量,求两法向量的夹角的余弦值,得二面角的余弦值,11,a,b,o,过空间任意一点,o,分别作异面直线,a,与,b,的平行线,a,与,b,，那么直线,a,与,b,所成的不大于,90,的角 ，叫做异面直线,a,与,b,所成的角。,异面直线所成的角,（范围：）,a,b,12,（1）当 与 的夹角不大于90时，异面直线a、b 所成的角 与 和 的夹角,m,n,m,n,用向量法求异面直线所成角,设两异面直线a、b的方向向量分别为 和 ，,m,n,a,b,a,b,o,n,相等,m,互补,a,b,a,b,o,n,m,（2）当 与 的夹角大于90时，异面直线a、b 所成的角 与 和 的夹角,m,n,n,m,13,所以，异面直线a、b所成的角的余弦值为,用向量法求异面直线所成角,设两异面直线a、b的方向向量分别为 和 ，,m,n,=,=,n,m,cos,cos,q,14,直线与平面所成的角,（范围：）,=,B,A,O,n,B,A,O,n,相等,=,=,互补,所以，直线与平面所成的角的正弦值为,的余角与,的关系？,问题1,的余角与,的关系？,问题2,15,二面角,（范围：）,n,1,n,2,n,1,n,2,16,例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为,AB的长为.求库底与水坝所成二面角的余弦值.,A,B,C,D,解：,如图，,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,于是，得,设向量 与 的夹角为 ，就是库底与水坝所成的二面角.,因此,所以,回到图形问题,库底与水坝所成二面角的余弦值为,17,如图，已知：直角梯形,OABC,中，,OABC，AOC=90，直线SO平面OABC，,且,OS=OC=BC=1，OA=2.,求：,异面直线,SA和OB,所成的角的余弦值；,直线,OS,与平面,SAB,所成角,的正弦值；,二面角,BASO,的余弦值.,O,A,B,C,S,三、巩固练习,18,如图，已知：直角梯形,OABC,中，,OABC，AOC=90，SO平面OABC，,且,OS=OC=BC=1，OA=2.,求异面直线,SA和OB,所成的角的余弦值；,OS,与平面,SAB,所成角,的正弦值；,二面角,BASO,的余弦值.,A（2，0，0）；,于是我们有,O,A,B,C,S,=（2，0，-1）；,=（-1，1，0）；,=（1，1，0）；,=（0，0，1）；,B（1，1，0）；,S（0，0，1），,则,O（0，0，0）；,解：以,o,为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示,x,y,z,C（0，1，0）；,所以异面直线,SA,与,OB,所成的角的余弦值为,19,（3）由（2）知面SAB的法向量,=,（,1,，,1,，,2,）,又,OC,平面,AOS,，,是平面,AOS,的法向量,，,令,则有,二面角,BASO,的余弦值为,取,x=1,，,则,y=1，z=2；,故,（2）设平面,SAB,的法向量,显然有,20,a,b,a,b,o,n,m,a,b,a,b,o,n,m,m,n,n,m,四、课堂小结,1.异面直线所成角,：,21,2.直线与平面所成角：,22,l,D,C,B,A,3.二面角：,l,l,23,五、布置作业：,课本P112、A组第6题,24,谢谢!,GOOD-BYE!,25,