华中科技大学-贝塞尔函数(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2,*,1,附录：,函数的基本知识,(1),定义,(2),函数的递推公式,时，有,为,正整数,特别的，当,(3),当,时,2025/4/30 周三,2,第五章 贝塞尔函数,在应用分离变量法解其他偏微分方程的定解问,题时，也会导出其他形式的常微分方程边值问题，,从而引出各种各样坐标函数系。这些坐标函数系就,是人们常说的,特殊函数,。,本章，我们将通过在柱坐标系中对定解问题进,行,分离变量,，导出贝塞尔方程；然后讨论这个方程,的解法及解的有关,性质,；最后再来介绍贝塞尔函数,在解决数学物理中有关定解问题的一些,应用,。,2025/4/30 周三,3,5.1,贝塞尔方程及贝塞尔函数,一、贝塞尔方程的导出,在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或,薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们就会遇到,贝塞尔方程,。,下面，我们以圆盘的瞬时温度分,布为例来,导出贝塞尔方程,。,设有,半径,为,的圆形薄盘，,上下两面绝热，,圆盘,边界上,的温度始终,保持,0,度,，,且,初始温度,分布为,已知,，,求圆盘内的瞬时温度分布规律。,我们用,来表示时刻,处的温度函数。,圆盘上点,2025/4/30 周三,4,这个问题归结为求解下列定解问题：,(2),(1),(3),应用,分离变量法,求这个问题的解。,为此，令,代入方程,(1),得,用,乘之，得,2025/4/30 周三,5,于是有,(2),(1),(3),(4),(5),方程,(4),的解为,亥姆霍兹方程,由边界条件,(2),有,(6),2025/4/30 周三,6,(2),(1),(3),为了求解方程,(5),满足条件,(6),的非零解，,(5),(6),我们采用平面上的,极坐标系,，则得定解问题,(7),(8),2025/4/30 周三,7,(7),(8),再令,代入方程,(7),得,两端乘以,移项得,于是有,(9),(10),2025/4/30 周三,8,(9),(10),由于温度函数,是单值的，,所以,也必,是单值函数，即,求解常微分方程的边值问题,可得,2025/4/30 周三,9,(9),(10),将,代入方程,(10),得,(11),该方程叫做,阶,贝塞尔方程,。,由边界条件,(8),可知,另外，由于圆盘上的,温度,是,有限,的，,特别在圆心,处也应如此，由此可得,2025/4/30 周三,10,因此，原定解问题的最后解决就归结为求问题,的,固有值,与,固有函数,。,若令,并记,(11),将上式代入方程,(11),可得,则,(12),方程,(12),是具有变系数的二阶线性常微分方程，,它的解称为,贝塞尔函数,。,(,有时称之为,柱函数,),。,2025/4/30 周三,11,二、贝塞尔函数,(12),由微分方程解的理论知：方程,(12),有如下形式,的广义,幂级数解,：,(13),其中,为常数，,下面来确定,为此，将,(13),以及,带入方程,(12),2025/4/30 周三,12,(12),(13),可得,2025/4/30 周三,13,(12),(13),2025/4/30 周三,14,(13),比较上式两边系数则有,(14),(15),(16),由于,从,(14),可得,下面分三种情形讨论,2025/4/30 周三,15,(13),(15),(16),情形,1,如果,不为整数,(,包括,0),和半奇数，,则,也不为整数。,先取,代入,(15),得,代入,(16),得,(17),由,(17),可知,2025/4/30 周三,16,(13),(17),另外,2025/4/30 周三,17,由于,是任意常数，,我们可以这样取值：,使一般项系数中,与,有,相同的次数,，并且同时,使,分母简化,。,为此取,利用,递推公式,则一般项系数变为,将此系数表达式代回,(13),中，,(13),2025/4/30 周三,18,(12),(13),得到方程,(12),的一个,特解,，记作,(18),称为,阶,第一类贝塞尔函数,。,又由于,则由,达朗贝尔判别法,可知级数,(18),在整个实轴上,是,绝对收敛,的。,2025/4/30 周三,19,(13),(15),(16),再令,代入,(15),得,代入,(16),得,由上公式可知,2025/4/30 周三,20,(13),另外,2025/4/30 周三,21,由于,是任意常数，,我们可以这样取值：,使一般项系数中,与,有,相同的次数,，并且同时,使,分母简化,。,为此取,利用,递推公式,则一般项系数变为,将此系数表达式代回,(13),中，,(13),2025/4/30 周三,22,(12),(13),得到方程,(12),的另外一个,特解,，记作,称为,阶,第一类贝塞尔函数,。,(19),由于,所以,与,线性无关，,由齐次,线性常微分方程解的结构定理知，方程,(12),的,通,解,为,其中,为两个任意常数。,(20),称为,阶,第一类贝塞尔函数,。,与,线性无关,，,2025/4/30 周三,23,(12),(20),(22),如果在,(20),中取,则得方程,(12),的另一个与,线性无关,的,特解,，,记作,(21),因此方程,(12),的,通解,可写成,称为,第二类贝塞尔函数,或,诺伊曼函数,。,2025/4/30 周三,24,(13),(16),情形,2,如果,为整数,(,包括,0),，,则,也为整数。,依照之前的做法，同样可得方程,(12),的两个,特解,(18),(19),(12),2025/4/30 周三,25,(18),(19),(23),注意当,为整数,时，利用,函数的,递推公式,可得,从而,特解,之一,(18),可化为,而,此时,函数,与,线性相关,。,2025/4/30 周三,26,事实上，,我们不妨设,为某正整数,当,时，,将是,(23),(19),负整数与,0,，,对于这些值,为无穷大，,所以,令,得,2025/4/30 周三,27,(23),则化简得,与,当,为,整数,时是,这就说明了,线性相关,的。,为了求出,贝塞尔方程的通解,，我们,还需要求出一个与,线性无关的特解,。,2025/4/30 周三,28,而当,为整数,时，,不为整数,。,与,当,不为整数,时，,其中,为,整数,，,(21),由,(21),式知，,是,由于,于是,(21),式的右端成为,形式的不定型，,此时,我们很自然地定义,而当,为整数,时，,与,当,不为整数,时，,由,(21),式知，,是,由于,为整数,时，,与,当,不为整数,时，,由,(21),式知，,是,线性无关,的，,2025/4/30 周三,29,应用,洛必达法则,经过冗长的推演,(,可参阅,H.H.,列别捷夫著，张燮译,特殊函数及其应用,，,高等教育出版社，,1987,），得,2025/4/30 周三,30,阶,贝塞尔方程,与,线性无关,其中,称为,欧拉,常数,。,显然,是,特解,。,无穷大,2025/4/30 周三,31,(12),是否为整数,，,综上所述，不论,为任意实数。,其中,为任意实数，,当,为,偶数,时，,为,偶函数,；,当,为,奇数,时，,为,奇函数,。,当,为半奇数时，留在下一节讨论。,贝塞尔方程,(12),的,通解,都可表示为,另外，由,推出，,情形,3,为整数时,，,2025/4/30 周三,32,5.2,贝塞尔函数的递推公式,不同阶的贝塞尔函数之间有一定的联系，,本节,来建立反映这种联系的,递推公式,。,(18),(21),由,的表达式,(18),可推出下列两个基本,递推公式,：,(25),(26),2025/4/30 周三,33,(25),(26),事实上，在,(18),式的两边乘上,然后对,求导，得,令,得,2025/4/30 周三,34,同样可以证明公式,(25),。,(25),(26),事实上，在,(18),式的两边乘上,然后对,求导，得,2025/4/30 周三,35,(25),(26),如果将以上两式左端的导数表出，化简后则得,先后消去,与,则得,(27),(28),显然,(25)(26),式与,(27)(28),式是,等价,的。,2025/4/30 周三,36,(25),(26),(27),(28),与,若已知,之值，,由,(27),式可算出,之值。,这样一来，通过,(27),式，可以用,0,阶,与,1,阶,贝塞尔函数来表示任意,正整数阶,的贝塞尔函数。,特别的,，当,时，由,(26),式得,2025/4/30 周三,37,(25),(26),特别的,，当,时，由,(26),式得,当,时，由,(25),式得,(29),(27),(28),2025/4/30 周三,38,例,(27),(28),(29),求,解,由,(27),式知，,则有,2025/4/30 周三,39,对于第二类贝塞尔函数，也有如下的,递推公式,成立：,2025/4/30 周三,40,当,(18),(27),为,半奇数,时的贝塞尔函数的一个重要特点,是,可用初等函数表示,。,先计算,由,(18),式得,利用,函数的性质，得,2025/4/30 周三,41,(18),(27),从而,(30),同样可得,(31),应用公式,(27),得,2025/4/30 周三,42,(18),(27),同理，应用公式,(27),得,2025/4/30 周三,43,一般的，有,2025/4/30 周三,44,这里为了方便起见，我们采用微分算子,它是算子,连续作用,次的缩写。例如,一般的，有,2025/4/30 周三,