矩阵分析考试重点(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2,北,*,1,第一章 线性空间和线性变换,主要掌握以下内容：,1,、能给出常见线性空间的基；,会求一个向量在给定基下的坐标；,会求两组基的过渡矩阵,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,2,例,1,实数域 上的线性空间 的一组基,例,2,实数域 上的线性空间 中的一组基,例,3,实数域 上的线性空间 中的一组基,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,3,习题,1-5,北,2,4,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,5,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,6,和子空间,2,、会求两个子空间的交空间、和空间的基与维数,定理,：设,则：,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,7,习题,1-7,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,8,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,9,3,、能给出线性映射（线性变换）在给定基下的矩,阵表示,;,会求线性映射的值域空间及核空间的基与维数,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,10,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,11,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,12,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,13,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,14,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,15,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,16,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,17,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,18,4,、会计算线性变换的特征值与特征向量,是 的特征值 是 的特征值,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,19,第二章 矩阵与矩阵的,Jordan,标准形,主要掌握以下内容：,1,、会求 矩阵的,Smith,标准形：,（,1,）初等变换法（,2,）行列式因子法,（,3,）初等因子法,2,、会求 矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子,3,、会求数字矩阵,A,的,Jordan,标准形,J,及其变换矩阵,P,：,（,1,）初等变换法（,2,）矩阵秩的方法,4,、掌握证明两个矩阵相似的方法：,（,1,）有相同的,行列式因子（,2,）有相同的不变因子（,3,）有相同的初等因子,5,、会用,Jordan,标准形求矩阵的幂,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,20,2-2,设 ，证明：阶矩阵,与,相似。,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,21,证明,：,计算,A,的行列式因子。,显然,下面看 阶行列式因子。有一个,阶子式要注意，即,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,22,容易计算出 从而,同理可计算出,B,的行列式因子及不变因子也是,所以,A,与,B,相似。,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,23,2-3,设,证明,阶矩阵,与,不相似。,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,24,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,25,正整数 使得 ，证明：与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为 次单位根。,证明：,设 的,Jordan,标准形为,2-5,设 为数域 上的 阶方阵且存在,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,26,即有可逆矩阵 使得,由于 ，所以有,从而有,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,27,因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式,才成立，这样有 ，这表明 为对角矩,阵，所以 与对角矩阵相似。,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,28,28,2-6,设 为数域 上的 阶方阵且满足,，证明：与对角矩阵,相似。,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,29,即有可逆矩阵 使得,由于 ，所以有,证明：,设 的,Jordan,标准形为,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,30,从而 即,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,31,因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且 ，所以有,这说明 为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为,1,或,0,，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵,此矩阵仍然与 相似。,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,32,作业,2-9,试写出,Jordan,标准形均为,的两个矩阵。,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,33,解答：,这里 为任意的非零数。,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,34,第三章,内积空间，正规矩阵与,Hermite,矩阵,主要掌握以下内容：,1,、会用欧氏空间、酉空间的定义去证明；,2,、掌握内积、长度、夹角、正交的定义及性质；,3,、掌握标准正交基的定义及,Schmidt,正交化方法；,4,、掌握以下矩阵的定义、性质、,结构定理,：,酉矩阵、实正交矩阵、,Hermite,与反,Hermite,矩,阵、实对称与反对称矩阵正规矩阵、正定与半,正定矩阵,5,、掌握以下线性变换的定义、性质及与相应矩阵,的关系：,酉变换、正交变换、,Hermite,变换、对称与反对,称变换、正规变换、正定二次齐次,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,35,3-17,设 是一个正定的,H-,阵,是一个反,H-,阵,证明,:,与 的特征值实部为零,.,证明,:,设 为矩阵的任意一个特征值,那么有,.,由于 是一个正定,H-,阵,所以存在可逆矩阵 使得,将其代入上面的特征多项式有,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,36,这说明 也是矩阵 的特征值,.,另一方面注意矩阵 为,H-,反阵,从而 实部为零,.,同样可以证明另一问,.,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,37,习题,3-19,设 是一个半正定的,H-,阵且 证明,:,证明,:,设 为 的全部特征值,由于 是半正定的,所以所有的,.,而且由于,，一定存在某个特征值大于,0,，于是有,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,38,习题,3-20,设 是一个半正定的,H-,阵且,是一个正定的,H-,阵,证明,:,证明,:,由于 是一个正定的,H-,阵,所以存在可逆矩阵 使得,这样有,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,39,注意矩阵,仍然是一个半正定的,H-,阵,有上面的例题可知,从而,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,40,3-21,设 是一个正定的,H-,阵,且又是酉矩阵,则,证明,:,由于 是一个正定,H-,阵,所以必存在,酉矩阵 使得,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,41,由于 又是酉矩阵,所以,这样必有,从而,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,42,3-22,证明：,（,1,）半正定,H-,矩阵之和仍然是半正定的,;,（,2,）半正定,H-,矩阵与正定,H-,阵之和是正定的,;,证明,：设 都是半正定,H-,阵，那么二者之和 仍然是一个,H-,阵，其对应的,Hermite,二次型为,其中,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,43,由于 都是半正定,H-,矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数,我们有,这说明 为一个半正定,H-,阵。,类似地，可以证明另外一问。,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,44,习题,3-23,设 是一个正定的,H-,阵,是一个反,H-,阵,证明,:,是可逆矩阵,.,证明,:,由于 是一个正定,H-,阵,所以存在可逆矩阵 使得,这表明 是可逆的,.,于是,另一方面注意矩阵 仍然为正定,H-,阵,而矩阵 为,H-,反阵,由上面的例题结论可知,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,45,矩阵 的特征值实部为零,那么矩阵,的特征值中不可能有零,从而,即,所以 可逆,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,46,北京理工大学高数教研室,2025/4/29 周二,