信号与系统教案第2章(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信号与系统,西安电子科技大学电路与系统教研中心,第,2-,*,页,电子教案,第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI,连续系统的响应,一、微分方程的经典解,二、关于,0-,和,0+,初始值,三、零输入响应和零状态响应,2.2,冲激响应和阶跃响应,一、冲激响应,二、阶跃响应,2.3,卷积积分,一、信号时域分解与卷积,二、卷积的图解,2.4,卷积积分的性质,一、卷积代数,二、奇异函数的卷积特性,三、卷积的微积分性质,四、卷积的时移特性,点击目录 ，进入相关章节,1,LTI,连续系统的时域分析，归结为：,建立并求解线性微分方程,。,由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间,t,，故称为,时域分析法,。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。,第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI,连续系统的响应,2.1 LTI,连续系统的响应,一、微分方程的经典解,y,(n),(t)+a,n-1,y,(n-1),(t)+a,1,y,(1),(t)+a,0,y,(t),=b,m,f,(m),(t)+b,m-1,f,(m-1),(t)+b,1,f,(1),(t)+b,0,f,(t),2,2.1 LTI,连续系统的响应,微分方程的经典解：,y(t)(,完全解,)=y,h,(t)(,齐次解,)+y,p,(t)(,特解,）,齐次解,是齐次微分方程,y,(n),+a,n-1,y,(n-1),+a,1,y,(1),(t)+a,0,y(t)=0,的解。,y,h,(t),的函数形式,由上述微分方程的,特征根,确定。,例,描述某系统的微分方程为,y,”,(t)+5y,(t)+6y(t)=f(t),求（,1,）当,f(t)=2e,-,t,，,t0,；,y(0)=2,，,y,(0)=,-,1,时的全解；,（,2,）当,f(t)=e,-,2t,，,t0,；,y(0)=1,，,y,(0)=0,时的全解。,特解,的函数形式与激励函数的形式有关。,P43,表,2-1,、,2-2,齐次解,的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励,f(t),的函数形式无关，称为系统的,固有响应,或,自由响应,；,特解,的函数形式由激励确定，称为,强迫响应,。,3,2.1 LTI,连续系统的响应,解,:(1),特征方程为,2,+5+6=0,其特征根,1,=2,，,2,=3,。齐次解为,y,h,(t)=C,1,e,2t,+C,2,e,3t,由表,2-2,可知，当,f(t)=2e,t,时，其特解可设为,y,p,(t)=Pe,t,将其代入微分方程得,Pe,t,+5(Pe,t,)+6Pe,t,=2e,t,解得,P=1,于是特解为,y,p,(t)=e,t,全解为：,y(t)=y,h,(t)+y,p,(t)=C,1,e,2t,+C2,e,3t,+e,t,其中 待定常数,C,1,C,2,由初始条件确定。,y(0)=C,1,+C,2,+1=2,，,y(0)=2C,1,3C,2,1=1,解得,C,1,=3,，,C,2,=2,最后得全解,y(t)=3e,2t,2e,3t,+e,t,t0,4,（,2,）齐次解同上。当激励,f(t)=e,2t,时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为,y,p,(t)=(P,1,t+P,0,)e,2t,代入微分方程可得,P,1,e,-2t,=e,2t,所以,P,1,=1,但,P,0,不能求得。全解为,y(t)=C,1,e,2t,+C,2,e,3t,+te,2t,+P,0,e,2t,=(C,1,P,0,)e,2t,+C,2,e,3t,+te,2t,将初始条件代入，得,y(0)=(C,1,+P,0,)+C,2,=1,，,y(0)=2(C,1,+P,0,)3C,2,+1=0,解得,C,1,+P,0,=2 ,C,2,=1,最后得微分方程的全解为,y(t)=2e,2t,e,3t,+te,2t,t0,上式第一项的系数,C,1,+P,0,=2,，不能区分,C,1,和,P,0,，因而也不能区分自由响应和强迫响应。,2.1 LTI,连续系统的响应,5,2.1 LTI,连续系统的响应,二、关于,0-,和,0+,初始值,若输入,f(t),是在,t=0,时接入系统，则确定待定系数,C,i,时用,t=0,时刻的,初始值,，即,y,(j),(0+)(j=0,1,2,，,n-1),。,而,y,(j),(0+),包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。,在,t=0-,时，激励尚未接入，该时刻的值,y,(j),(0-),反映了,系统的历史情况,而与激励无关。称这些值为,初始状态,或,起始值,。,通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态,y,(j),(0-),设法求得,y,(j),(0+),。下列举例说明。,6,例,：,描述某系统的微分方程为,y,”,(t)+3y,(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t),已知,y(0-)=2,，,y,(0-)0,，,f(t)=(t),，求,y(0,+,),和,y,(0,+,),。,解,：,将输入,f(t)=(t),代入上述微分方程得,y,”,(t)+3y,(t)+2y(t)=2(t)+6(t),（,1,）,利用,系数匹配法,分析：上式对于,t=0-,也成立，在,0-t 0,10,2.1 LTI,连续系统的响应,（,2,）,零状态响应,y,f,(t),满足,y,f,”,(t)+3y,f,(t)+2y,f,(t)=2(t)+6(t),并有,y,f,(0-)=y,f,(0-)=0,由于上式等号右端含有,(t),，故,y,f,”,(t),含有,(t),，从而,y,f,(t),跃变，即,y,f,(0+)yf,(0-),，而,y,f,(t),在,t=0,连续，即,y,f,(0+)=y,f,(0-)=0,，积分得,y,f,(0+)-y,f,(0-)+3y,f,(0+)-y,f,(0-)+2,因此，,y,f,(0+)=2 y,f,(0-)=2,对,t0,时，有,y,f,”,(t)+3y,f,(t)+2y,f,(t)=6,不难求得其齐次解为,C,f1,e,-t,+C,f2,e,-2t,，其特解为常数,3,，,于是有,y,f,(t)=C,f1,e,-t,+C,f2,e,-2t,+3,代入初始值求得,y,f,(t)=4e,-t,+e,-2t,+3,，,t0,11,2.2,冲激响应和阶跃响应,2.2,冲激响应和阶跃响应,一、冲激响应,由单位冲激函数,(t),所引起的,零状态响应,称为,单位冲激响应,，简称冲激响应，记为,h(t),。,h(t)=T0,(t),例,1,描述某系统的微分方程为,y,”,(t)+5y,(t)+6y(t)=f(t),求其冲激响应,h(t),。,解,根据,h(t),的定义 有,h,”,(t)+5h,(t)+6h(t)=(t),h(0-)=h(0-)=0,先求,h(0+),和,h(0+),。,12,2.2,冲激响应和阶跃响应,因方程右端有,(t),，故利用系数平衡法。,h,”,(t),中含,(t),，,h(t),含,(t),，,h(0+)h(0-),，,h(t),在,t=0连续，即,h(0+)=h(0-),。积分得,h,(0+)-h,(0-)+5h(0+)-h(0-)+6 =1,考虑,h(0+)=h(0-),，由上式可得,h(0+)=h(0-)=0 ,h(0+)=1+h,(0-)=1,对,t0,时，有,h,”,(t)+5h,(t)+6h(t)=0,故系统的冲激响应为一齐次解。,微分方程的特征根为,-2,，,-3,。故系统的冲激响应为,h(t)=(C,1,e,-2t,+C,2,e,-3t,)(t),代入初始条件求得,C,1,=1,C,2,=-1,所以,h(t)=(e,-2t,-e,-3t,)(t),13,2.2,冲激响应和阶跃响应,例,2,描述某系统的微分方程为y,”,(t)+5y,(t)+6y(t)=f,”,(t)+2f,(t)+3f(t),求其冲激响应,h(t),。,解,根据,h(t),的定义 有,h,”,(t)+5h,(t)+6h(t)=,”,(t)+2,(t)+3(t)(1),h(0-)=h(0-)=0,先求,h(0+),和,h(0+),。,由方程可知，,h(t),中含,(t),故令,h(t)=a,(t)+p,1,(t)p,i,(t),为不含,(t),的某函数,h,(t)=a,(t)+b,(t)+p,2,(t),h,”,(t)=a,”(t)+b,(t)+c,(t)+p,3,(t),代入式,(1),，有,14,2.2,冲激响应和阶跃响应,a,t)+b,(t)+c,(t)+p,3,(t)+5a,(t)+b,(t)+p,2,(t),+6a,(t)+p,1,(t)=,”,(t)+2,(t)+3(t),整理得,a,”(t)+,(b+5a),(t)+,(c+5b+6a),(t)+p,3,(t)+5 p,2,(t)+6 p,1,(t)=,”,(t)+,2,(t)+,3,(t),利用,(t),系数匹配，得,a=1,，,b=-3,，,c=12,所以,h(t)=,(t)+p,1,(t),（,2,）,h,(t)=,(t)-3,(t)+p,2,(t),（,3,）,h,”,(t)=,”(t)-3,(t)+12,(t)+p,3,(t),（,4,）,对式3),从,0-,到,0+,积分得,h(0+)h(0-)=3,对式,(4),从,0-,到,0+,积分得,h,(0+)h,(0-)=12,故,h(0+)=3,，,h,(0+)=12,15,2.2,冲激响应和阶跃响应,微分方程的特征根为,2,，,3,。故系统的冲激响应为,h(t)=C,1,e,2t,+C,2,e,3t,，,t0,代入初始条件,h(0+)=3,，,h,(0+)=12,求得,C,1,=3,，,C,2,=6,所以,h(t)=3e,2t,6e,3t,t 0,结合式,(2),得,h(t)=,(t)+(3e,2t,6e,3t,)(t),对,t0,时，有,h,”,(t)+6h,(t)+5h(t)=0,二、阶跃响应,g,(t)=T,(t),，,0,由于,(t),与,(t),为微积分关系，故,16,2.3,卷积积分,2.3,卷积积分,一、信号的时域分解与卷积积分,1,.,信号的时域分解,(1),预备知识,问,f,1,(,t,)=,?,p,(,t,),直观看出,17,2.3,卷积积分,(2),任意信号分解,“0”,号脉冲高度,f,(0),宽度为，用,p,(,t,),表示为,：,f,(0),p,(,t,),“1”,号脉冲高度,f,(),宽度为，用,p,(,t,-,),表示为：,f,(),p,(,t,-,),“,-,1”,号脉冲高度,f,(,-,),、宽度为，用,p,(,t,+,),表示为,f,(,-,),p,(,t,+,),18,2.3,卷积积分,2,.,任意,信号作用下的零状态响应,y,f,(,t,),f,(,t,),根据,h(t),的定义：,(,t,),h,(,t,),由时不变性：,(,t,-,),h,(,t,-,),f,()(,t,-,),由齐次性：,f,(),h,(,t,-,),由叠加性：,f,(,t,),y,f,(,t,),卷积积分,19,2.3,卷积积分,3,.,卷积积分的定义,已知定义在区间（,，）上的两个函数,f,1,(t),和,f,2,(t),，则定义积分,为,f,1,(t),与,f,2,(t),的,卷积积分,，简称,卷积,；记为,f(t)=f,1,(t)f,2,(t),注意,：积分是在虚设的变量,下进行的，,为积分变量，,t,为参变量。结果仍为,t,的函数。,20,2.3,卷积积分,例,：,f,(,t,)=e,t,（,-,t,),，,h,(,t,)=(6e,-,2,t,1),(,t,),，,求,y,f,(,t,),。,解,：,y,f,(,t,)=,f,(,t,)*,h,(,t,),当,t t,时，,(t-)=0,21,2.3,卷积积分,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为,四步,：,（,1,）,换元,：,t,换为,得,f,1,(),，,f,2,(),（,2,）,反转平移,：由,f,2,(),反转,f,2,(),右移,t f,2,(t-),（,3,）,乘积,：,f,1,()f,2,(t-),（,4,）,积分,：,从,到对乘积项积分。,注意：,t,为参变量。,下面举例说明。,22,2.3,卷积积分,例,f,(,t,),h,(,t,),如图所示，求,y,f,(,t,)=,h,(,t,),*,f,(,t,),。,解,采用图形卷积。,f,(,t,-,),f,(,),反折,f,(,-,),平移,t,t,0,时,f,(,t,-,),向左移,f,(,t,-,),h,(,)=0,，,故,y,f,(,t,)=0,0,t,1,时,f,(,t,-,),向右移,1,t,2,时,3,t,时,f,(,t,-,),h,(,)=0,，,故,y,f,(,t,)=0,h,(,t,),函数形式复杂 换元为,h,(,),。,f,(,t,),换元,f,(,),2,t,3,时,0,23,2.3,卷积积分,图解法,一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。,确定积分的上下限是关键。,例,：,f,1,(t),、,f,2,(t),如图所示，已知,f(t)=f,2,(t)*f,1,(t),，求,f(2)=,？,f,1,(,-,),f,1,(2,-,),解,：,（,1,）换元,（,2,）,f,1,(),得,f,1,(),（,3,）,f,1,(),右移,2,得,f,1,(2),（,4,）,f,1,(2),乘,f,2,(),（,5,）积分，得,f(2)=0,（面积为0,）,24,2.4,卷积积分的性质,2.4,卷积积分的性质,卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。,一、卷积代数,满足乘法的三律：,交换律,：,f,1,(t)*f,2,(t)=f,2,(t)*f,1,(t),2.,分配律,：,f,1,(t)*f,2,(t)+f,3,(t)=f,1,(t)*f,2,(t)+f,1,(t)*f,3,(t),3.,结合律,：,f,1,(t)*f,2,(t)*f,3,(t)=f,1,(t)*f,2,(t)*f,3,(t),25,2.4,卷积积分的性质,二、奇异函数的卷积特性1.f(t)*(t)=(t)*f(t)=f(t),证：,f(t)*(t t,0,)=f(t t,0,),2.f(t)*,(t)=f,(t),证：,f(t)*,(n),(t)=f,(n),(t),3.f(t)*,(t),(t)*,(t)=t,(t),26,2.4,卷积积分的性质,三、卷积的微积分性质,1.,证：上式,=,(n),(t),*,f,1,(t)*f,2,(t),=,(n),(t),*,f,1,(t)*f,2,(t)=f,1,(n),(t)*f,2,(t),2.,证：上式,=,(t)*,f,1,(t)*f,2,(t),=,(t)*,f,1,(t)*f,2,(t)=f,1,(1),(t)f,2,(t),3.,在,f,1,()=0,或,f,2,(1),()=0,的前提下，,f,1,(t)*f,2,(t)=f,1,(t)*f,2,(1),(t),27,2.4,卷积积分的性质,例,1,：,f,1,(t)=1,，,f,2,(t)=e,t,(t),，,求,f,1,(t)*f,2,(t),解,：通常复杂函数放前面，代入定义式得,f,2,(t)*f,1,(t)=,注意：套用,f,1,(t)*f,2,(t)=f,1,(t)*f,2,(1),(t),=0*f,2,(1),(t)=0,显然是错误的,。,例,2,：,f,1,(t),如图,f,2,(t)=e,t,(t),，求,f,1,(t)*f,2,(t),解法一,：,f,1,(t)*f,2,(t)=f,1,(t)*f,2,(1),(t),f,1,(t)=,(t),(t 2),f,1,(t)*f,2,(t)=(1-e,t,),(t)1-e,(t-2),(t-2),28,2.4,卷积积分的性质,解,：,f,1,(t)=,(t),(t 2),f,1,(t)*f,2,(t)=,(t)*,f,2,(t),(t 2)*,f,2,(t),(t)*,f,2,(t)=f,2,(-1),(t),四、卷积的时移特性,若,f(t)=f,1,(t)*f,2,(t),，,则,f,1,(t,t,1,)*f,2,(t,t,2,)=f,1,(t,t,1,t,2,)*f,2,(t),=f,1,(t)*f,2,(t,t,1,t,2,)=f(t,t,1,t,2,),前例,：,f,1,(t),如图,f,2,(t)=e,t,(t),，求,f,1,(t)*f,2,(t),利用时移特性，有,(t 2)*,f,2,(t)=f,2,(-1),(t,2,),f,1,(t)*f,2,(t)=(1-e,t,),(t)1-e,(t-2),(t-2),29,2.4,卷积积分的性质,例,：,f,1,(t),f,2,(t),如图，求,f,1,(t)*f,2,(t),解,：,f,1,(t)=2,(t)2,(t 1),f,2,(t)=,(t+1),(t 1),f,1,(t)*f,2,(t)2,(t)*,(t+1)2,(t)*,(t 1),2,(t 1)*,(t+1)+2,(t 1)*,(t 1),由于,(t)*,(t)=t,(t),据时移特性，有,f,1,(t)*f,2,(t)=,2(t+1),(t+1)-2,(,t 1),(t 1),2 t,(t)+2,(,t 2),(t 2),30,2.4,卷积积分的性质,求卷积是本章的重点与难点。,求解,卷积的方法,可归纳为：,（,1,）,利用定义式，直接进行积分,。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。,（,2,）,图解法,。特别适用于求某时刻点上的卷积值。,（,3,）,利用性质,。比较灵活。,三者常常结合起来使用。,31,2.4,卷积积分的性质,32,