工程数学(复变函数积分变换场论)59456.doc

资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 第八章 场论第一节 矢性函数及其微分第二节 数量场第三节 矢量场第四节 几种特殊的矢量场 第一节 矢性函数的微积分第一节 矢量函数及其微积分一 矢性函数的概念第八章二 矢端曲线场论三 矢性函数的微积分四 导矢的几何意义五 矢性函数的微分吴新民- 2 - 第一节 矢性函数的微积分一 矢性函数的概念给定一个变量, 如果它没有方向, 则称其为数性变则称其为矢性变量。量, 如果它有方向, r第八章定义1设有数性变量 变矢t, A, 如果对于t 在某个r范围 G 内的每一个数值, A 都以唯一的一个确定的矢r则称 A 为数性变量 t 的矢性函数, 记作场论量和它对应, r rA = A(t)r在空间直角坐标系下, 矢性函数 的三个坐标A(t)Ax(t)、 Ay(t)、 Az(t)显然是 t 的函数.r因此矢性函数 A(t) 的坐标表示式为r r r r(8.1.1)A = A (t)i + A (t) j + A (t)kxyz吴新民- 3 - 第一节 矢性函数的微积分二 矢端曲线给定一个矢性函数 Ar(t),如果将起点都放在坐标原点, 则终点就描绘出一条曲线,rzA(t)的矢称此曲线为矢性函数第八章M(x, y,z)端曲线. 而称 (8.1.1) 式为此曲Ar(t)线的方程.场论oy取起点为坐标原点O, x终点uuurOM称为点M的矢径, 记为 rr.则为点M(x, y,z)r的矢量uuur r r rr = OM = xi + yj + zkrA(t)的矢端曲线上任意一点M(x, y,z),对矢性函数吴新民- 4 - 第一节 矢性函数的微积分rA(t)矢量 实际上为点M的向径, 因此rrr = A(t)x = Ax(t)y = Ay(t)(8.1.2)即第八章z = Az(t)r这就是矢性函数 A(t)的矢端曲线的参数方程.场论例如 矢性函数r r r rA(t) = Acosti + asintj + btk对应的参数方程为x = acost, y = asint, z = bt吴新民- 5 - 第一节 矢性函数的微积分再如给定参数方程x = acos3 t, y = asin3 t对应的矢性函数为r r r第八章=3+3A acos ti bsin tj因此研究一个矢性函数r r r r场论A = A (t)i + A (t) j + A (t)kxyzx = A (t), y = Ay(t),x等价于研究三个有序的数性函数z = Az(t).吴新民- 6 - 第一节 矢性函数的微积分三 矢性函数的微积分r设起点O的矢性函数 A(t),当数性变量在其定义域内从t变到t + Dt (Dt 0)时, 对应的矢量分别为第八章r uuur r uuurA(t) = OM, A(t + Dt) = ONMr r uuuurA(t + Dt)- A(t) = MN 称为DAr则场论Ar(t)N矢性函数 Ar(t)rAr(t + Dt)DA,记作的增量, 定义2设矢性函数Ar(t)在点Ot的某个邻域内有定义, 并设 t + Dt 在这个邻域内, 如rrD D与 在Dt的增量 A t的比 0时的极Dt A(t)果 对应于吴新民- 7 - 第一节 矢性函数的微积分Ar(t)限存在, 则称此极限为矢性MrDArDtDAr函数 A(t) 在点 t 处的导数Ar(t)rrNdAA(t),(简称导矢),记为 dt 或Ar(t + Dt)第八章即OA(t + Dt)- A(t)DtDt0r r r rdA DA= lim = lim(8.1.3)dtDtDt0场论r r r rA(t) = A (t)i + A (t) j + A (t)k, 由于y设xzr rr r rDAlimDDAtx i +lim +limDAzkdADAy=lim =jDtD DtdtDt D t 0D Dt0t 0t 0r r r r (8.1.4)因此 A (t) = A (t)i + A (t) j + A (t)kxyz吴新民- 8 - 第一节 矢性函数的微积分由于矢性函数的导数的运算完全由三个数性函数确定, 我们能够证明矢性函数仍有类似数性函数的求导公式.r r r r= 、 = 及数性函数 u = u(t)设矢性函数A A(t) B B(t)第八章r在t 某个范围内可导, C 为常矢量, k 为常数, 则在该范围内有: 场论rdC= 0(1)(2)(3)dtdr rr rdA dB(A B) = dtdt dtrddt (kAr) = k dtdA吴新民- 9 - 第一节 矢性函数的微积分rr rddu dA(uA) = A+ u(4)(5)dtdtdtr rr r r rddtddAdBdt(A B) = B + AdtdA第八章rr rr r rA = 2A2( 这里A A A)2= 特别dtdtr r场论r r r rddAdBdt(6) = + (A B)B AdtdtA A(u),u = ut)r r=(7)如果r rdA dAdu=dt du dt吴新民- 10 - 第一节 矢性函数的微积分类似我们能够定义矢性函数的不定积分, 定积分,而且矢性函数的不定积分, 定积分能够转化成三个数性函数来计算.r r如果在 t的某个区间 I 上, 有B (t) A(t),则称=定义3r第八章 rB(t)A(t)I 上一个原函数。矢性函数为矢性函数 在区间rrI A(t)区间 的原函数的全体称为 的不定积分, 记上A(t)场论r为 A(t)dt.如果 B(t)是 Ar(t)在区间I上的一个原函数, r则r r rA(t)dt = B(t)+ C(8.1.5)r r r rz由定义, 如果 At) = A (t)i + A (t) j + A (t)kxy吴新民- 11 - 第一节 矢性函数的微积分rr r r(8.1.6)y z则 A(t)dt = A (t)dt i + A (t)dt j + A (t)dt kxrr r rT T+ +2 2TT 2=2A(t)dt A (t)dti A (t)dt j A (t)dtkxyzT1T1TT11第八章(8.1.7)数性函数的不定积分的性质及其计算方法能够推广场论到矢性函数, 例如r r r r A(t) B(t)dt = A(t)dt B(t)dtr r kA(t)dt = k A(t)dtr r u(t)adt = u(t)dta吴新民- 12 - 第一节 矢性函数的微积分r rr r a A(t)dt = a A(t)dtr rr ra A(t)dt = a A(t)dt第八章 Ar(u(t)u (t)dt A(u)du=rr r r r r rA(t) B (t)dt = A(t) B(t)- A (t) B(t)dtr r r r r r场论A(t) B (t)dt = A(t) B(t)- A (t) B(t)dt设矢性函数 Br(t)是矢性函数 Ar(t)的一个原函数, 则r r rT2= -A(t)dt B(T ) B(T1)(8.1.8)2T1吴新民- 13 - 第一节 矢性函数的微积分r rrr rrr(t) = 2cost i + 3sint j + 2cost k, 求 rr(t).例1 设rrr(t)= (2cost) i + (3sint) j + (2cost) k解r r r= -2sinti + 3cost j - 2sintke(j) = cosj i + sinj j,e1(j) = -sinj ir + cosjrjr rrr rr第八章例 2 设r re (j),e (j),并证明 e(j) e1(rj).求1rr解 e ( ) (cos ) i (sin ) jj = j + j场论r rr= -sinj i + cosj j = e (j),r rer1(j) = (-sinj) i + (cosj) j1r rre( ),= -cosj i - sinj j = - jr re(j)e (j)= cosj(-sinj)+ sinj cosj = 01r r e(j) e1(j).吴新民- 14 - 第一节 矢性函数的微积分rye j容易看出 ( )的矢端曲线为er1(j)p2 +j单位圆周, 称其为圆函数。er(j)例3 计算 j r1j2e(j3+ 3)djOx第八章r解 原式 = e(j3+ 3)d(j + 3)33= - 13er1(j+ 3)+ Cr场论3rtA(t)dt例4计算rr r r tA (t)dt = tdA (t) = tA (t)- A(t)dt解r r r= tA (t)- A(t)+ C吴新民- 15 - 第一节 矢性函数的微积分例5 设 Ar(t) 2t i j 3t k,B = i + tk, 计算r r r r r r= + +2r r1A Bdt01r r r r r r110解 A Bdt = A B - A Bdt第八章00r r r r r r r11A B = (t i + t j - k) = i + j200r r r r r r r场论111 23A B dt = Adt B = (t i + t j + t k) kr r00r0r r r= (i + j + k) k i j= -r r r r r r r1A B dt = (i + j)- (i - j) = 2 j0吴新民- 16 - 第一节 矢性函数的微积分四 导矢的几何意义设 L为矢性函数 Ar(t)的矢端曲线, t增加的方向如图所示, 第八章DArDtMMDArrAr(t)NNrDADArDtA(t)Ar(t + Dt)Ar(t + Dt)场论OLOLDt 0Dt 0rDA综上所述 Dt 是在L的割线 MN上的一个矢量, 且指向曲线 L对应t 值增大的一方。吴新民- 17 - 第一节 矢性函数的微积分当Dt 0 时, 点 N沿曲线 L无限地接近 M, 割线r的极限位置便是曲线 L在M处的切线。因此导矢A(t)是这样一个矢量: 它位于在曲线 L在点 M 的切线上, 第八章且指向曲线L对应t 值增大的一方。Ar(t)M场论Ar(t)NDArAr(t + Dt)DtOL吴新民- 18 - 第一节 矢性函数的微积分r r r r例6 求矢性函数 A t i t j tk的矢端曲线在 t = 1= - +3 2处指向 t 增加方向的单位切矢量。解 指向 t 增加方向的切矢量。第八章 r r r r r r r r = - +A = 3t i - 2t j + k2A 3i 2 j kt=1所求的单位切矢量为r场论r r rA321rt=0= - +ijk| A t=0 | 14 14 14吴新民- 19 - 第一节 矢性函数的微积分五 矢性函数的微分r如果矢性函数A(t)在点 t 处可导, 称rA(t)dt (dt = Dt)rr第八章为 在点 t 处的微分, 记作 即A(t)dA,dAr = Ar(t)dt(8.1.9)r场论dAr (Dt 0, dArrM r (Dt 0)dADt 0, dAA (t)与 同向,如果rA(t)Ar(t)反向.O与r r r r=+如果 A(t) A (t)i A (t) j A (t)k, 则xyz吴新民- 20 - 第一节 矢性函数的微积分dAr = Ar(t)dt = A (t)dt i + A (t)dt j + A (t)dt kr r r y zxr r r rdA = dA i + dA j + dA k(8.1.10)因此xyzrdr第八章下面介绍 的几何意义ds将 A(t) = A (t)i + Ay(t)rj + Az(t)kr 看成 Ar(t)的矢端r rx场论曲线 L上的点M(x, y,z)的矢径函数: r r rrr = xi + yj + zkx = Ax(t), y = A (t),z = Az(t),因此yr r rrdr = dxi + dyj + dzk| drr |= dx2 + dy2 + dz2吴新民- 21 - 第一节 矢性函数的微积分将曲线 L看成有向曲线, 如不特别强调的话, t 增加的方向为 L的正向。在 L上取定一点 M0 作为计算弧长的起点, 以 L的正向作为弧长 s增加的方向, 在L 上任第八章一点 M(x, y,z)处, 弧微分为ds 0ds = dx2 + dy dz22+场论r r| drr |=| ds |,Ldr | dr |= = 1.因此ds | ds |r这说明 drds 为一单位矢量.另一方面, 如果选弧长s作为矢性函数 Ar 变量的话, 吴新民- 22 - 第一节 矢性函数的微积分rr由导矢的几何意义可知: drds 实际上是 的矢端曲线A(t)且指向弧长增加的一方.因此矢性函数对其矢切矢量, rdr 为一切向单位矢量, 且指向端曲线的弧长 s 的导数第八章ds且指向弧长 s 增加的一方。r证明 ds dr场论= .例7dt dtdrr dx dy dz= i + j + kdt dt dt dtr r r解drr dx dy dz222=+ + dt dt dt dt 吴新民- 23 - 第一节 矢性函数的微积分由于ds 与 dt 符号相同, 因此当dt 0时, ds 0,ds = dx2 + dy2 + dz2222ds dx dy dz+ += dt dt dt dt 第八章当dt 0时, ds 0时, u 沿l 方向是增加的, 当ul 0时, 第八章u沿 l 方向是减少的.定理1 设函数 u = u(x, y,z) 在点M0(x0, y ,z )处可0 0场论微, cosa、 cosb、 cosg 为方向 l 的方向余弦, 则 u 在 M0处沿 l方向的方向导数一定存在, 且u ucosa + uy cosb + uz cosg=(8.2.3)l M x M0M0M00吴新民- 36 - 第二节 数量场证 设动点M(x + Dx, y + Dy,z + Dz),由于u在点 M0l处可微, 故Du = u(M)- u(M0)u urM第八章M0u= Dx + Dy + Dz +arxMyMMz000lima = 0, 因此场论其中r0Du u Dx u Dy u Dz=+r +ar x M0 r y M0 r z M0令r 0, 即得u ucosa + uy cosb + uz cosg=l M x M0M0M0- 37 -0吴新民 第二节 数量场例2 求函数 u = x2 yz3 + e y 在点M(1,1,-1)处沿r r r rl = 2i + j - 2k 的方向 l 的方向导数。ux = 2xyz3, u = x2z3y+ ey, u = 3x2 yz2z解第八章在点 M(1,1,-1,)处ux = -2, uy = -1+ e,uz = 3l的方向余弦为场论cosa = 32, cosb = 13, cosg = - 32u = ux cosa + uy cosb + uz cosg因此l= e - 3= (2) + (-1+ e) 13 + 3(- )22333吴新民- 38 - 第二节 数量场定理2 如果在有向曲线 C 上取一定点M0 作为计算弧长 s 的起点, C 的正向作为弧长增加的方向, M为Cl上的一点, 在点 M 处沿C 之正向C第八章作与 C相切的射线 l, 则当 u 可微、 C 光滑时, 有Mu dul ds(8.2.3)场论=M0其中 duds 为函数 u 对 C 之弧长 s 的全导数。证选择 C 之弧长作为参数, 则 C 的参数方程为x = x(s), y = y(s),z = z(s)吴新民- 39 - 第二节 数量场则沿曲线 C,函数u = u(x(s), y(s),z(s)因为函数 u可微、 曲线 C 光滑, 由复合函数求导法则du u dx u dy u dz第八章=+ +可得ds x ds y ds z dsdrr dx dy dzr r r= + +由于场论i j k为 C 在 M处的单位切矢量, ds ds ds ds且指向s