工程数学(复变函数积分变换场论)59456.doc

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第八章 场论
第一节 矢性函数及其微分
第二节 数量场
第三节 矢量场
第四节 几种特殊的矢量场

第一节 矢性函数的微积分
第一节 矢量函数及其微积分
一 矢性函数的概念
第八章
二 矢端曲线
场论三 矢性函数的微积分
四 导矢的几何意义
五 矢性函数的微分
吴新民
- 2 -

第一节 矢性函数的微积分
一 矢性函数的概念
给定一个变量, 如果它没有方向, 则称其为数性变
则称其为矢性变量。
量, 如果它有方向,
r
第八章定义1设有数性变量 变矢
t, A, 如果对于t 在某个
r
范围 G 内的每一个数值, A 都以唯一的一个确定的矢
r
则称 A 为数性变量 t 的矢性函数, 记作
场论量和它对应,
r r
A = A(t)
r
在空间直角坐标系下, 矢性函数 的三个坐标
A(t)
Ax(t)、 Ay(t)、 Az(t)显然是 t 的函数.
r
因此矢性函数 A(t) 的坐标表示式为
r r r r
(8.1.1)
A = A (t)i + A (t) j + A (t)k
x
y
z
吴新民
- 3 -

第一节 矢性函数的微积分
二 矢端曲线
给定一个矢性函数 Ar(t),
如果将起点都放在坐标原
点, 则终点就描绘出一条曲线,
r
z
A(t)的矢
称此曲线为矢性函数
第八章
M(x, y,z)
端曲线. 而称 (8.1.1) 式为此曲
Ar(t)
线的方程.
场论
o
y
取起点为坐标原点O,
x
终点
uuur
OM称为点M的矢径, 记为 rr.则
为点M(x, y,z)
r
的矢量
uuur r r r
r = OM = xi + yj + zk
r
A(t)的矢端曲线上任意一点M(x, y,z),
对矢性函数
吴新民
- 4 -

第一节 矢性函数的微积分
r
A(t)
矢量 实际上为点M的向径, 因此
r
r
r = A(t)
x = Ax(t)
y = Ay(t)
ì
í
î
(8.1.2)
即
第八章
z = Az(t)
r
这就是矢性函数 A(t)的矢端曲线的参数方程.
场论
例如 矢性函数
r r r r
A(t) = Acosti + asintj + btk
对应的参数方程为
x = acost, y = asint, z = bt
吴新民
- 5 -

第一节 矢性函数的微积分
再如给定参数方程
x = acos3 t, y = asin3 t
对应的矢性函数为
r r r
第八章
=
3
+
3
A acos ti bsin tj
因此研究一个矢性函数
r r r r
场论
A = A (t)i + A (t) j + A (t)k
x
y
z
x = A (t), y = Ay(t),
x
等价于研究三个有序的数性函数
z = Az(t).
吴新民
- 6 -

第一节 矢性函数的微积分
三 矢性函数的微积分
r
设起点O的矢性函数 A(t),当数性变量在其定义域内
从t变到t + Dt (Dt ¹ 0)时, 对应的矢量分别为
第八章
r uuur r uuur
A(t) = OM, A(t + Dt) = ON
M
r r uuuur
A(t + Dt)- A(t) = MN 称为
DAr
则
场论
Ar(t)
N
矢性函数 Ar(t)
r
Ar(t + Dt)
D
A,
记作
的增量,
定义2设矢性函数Ar(t)在点
O
t
的某个邻域内有定义, 并设 t + Dt 在这个邻域内, 如
r
r
D D
与 在
Dt的增量 A t的比 0时的极
Dt ®
A(t)
果 对应于
吴新民
- 7 -

第一节 矢性函数的微积分
Ar¢(t)
限存在, 则称此极限为矢性
M
r
DAr
Dt
DAr
函数 A(t) 在点 t 处的导数
Ar(t)
r
r
N
dA
A¢(t),
(简称导矢),记为 dt 或
Ar(t + Dt)
第八章
即
O
A(t + Dt)- A(t)
Dt
Dt®0
r r r r
dA DA
= lim = lim
(8.1.3)
dt
Dt
Dt®0
场论
r r r r
A(t) = A (t)i + A (t) j + A (t)k, 由于
y
设
x
z
r r
r r r
DA
limDDAtx i +lim +lim
DA
z
k
dA
DA
y
=
lim =
j
D
t
D ® Dt
dt
Dt D ®
t 0
D ®
Dt®0
t 0
t 0
r r r r
¢ ¢
¢
¢
(8.1.4)
因此 A (t) = A (t)i + A (t) j + A (t)k
x
y
z
吴新民
- 8 -

第一节 矢性函数的微积分
由于矢性函数的导数的运算完全由三个数性函数
确定, 我们能够证明矢性函数仍有类似数性函数的求
导公式.
r r r r
= 、 = 及数性函数 u = u(t)
设矢性函数A A(t) B B(t)
第八章
r
在t 某个范围内可导, C 为常矢量, k 为常数, 则在该
范围内有:
场论
r
dC
= 0
(1)
(2)
(3)
dt
d
r r
r r
dA dB
(A± B) = ±
dt
dt dt
r
ddt (kAr) = k dt
dA
吴新民
- 9 -

第一节 矢性函数的微积分
r
r r
d
du dA
(uA) = A+ u
(4)
(5)
dt
dt
dt
r r
r r r r
d
dt
d
dA
dB
dt
(A× B) = × B + A×
dt
dA
第八章
r
r r
r r r
A = 2A×
2
( 这里A A A)
2
= ×
特别
dt
dt
r r
场论
r r r r
d
dA
dB
dt
(6)
´ = ´ + ´
(A B)
B A
dt
dt
A A(u),u = u(t)
r r
=
(7)
如果
r r
dA dAdu
=
dt du dt
吴新民
- 10 -

第一节 矢性函数的微积分
类似我们能够定义矢性函数的不定积分, 定积分,
而且矢性函数的不定积分, 定积分能够转化成三个数
性函数来计算.
r r
如果在 t的某个区间 I 上, 有B (t) A(t),则称
¢
=
定义3
r
第八章 r
B(t)
A(t)
I 上一个原函数。
矢性函数
为矢性函数 在区间
r
r
I A(t)
区间 的原函数的全体称为 的不定积分, 记
上
A(t)
场论r
ò
为 A(t)dt.
如果 B(t)是 Ar(t)在区间I上的一个原函数,
r
则
r r r
ò
A(t)dt = B(t)+ C
(8.1.5)
r r r r
z
由定义, 如果 A(t) = A (t)i + A (t) j + A (t)k
x
y
吴新民
- 11 -

第一节 矢性函数的微积分
r
r r r
(8.1.6)
y z
则 ò ò ò ò
A(t)dt = A (t)dt i + A (t)dt j + A (t)dt k
x
r
r r r
T T
+ +
2 2
T
T
ò ò ò ò
2
=
2
A(t)dt A (t)dti A (t)dt j A (t)dtk
x
y
z
T
1
T
1
T
T
1
1
第八章
(8.1.7)
数性函数的不定积分的性质及其计算方法能够推广
场论到矢性函数, 例如
r r r r
ò
ò ò
[A(t)± B(t)]dt = A(t)dt ± B(t)dt
r r
ò ò
kA(t)dt = k A(t)dt
r r
ò ò
u(t)adt = u(t)dta
吴新民
- 12 -

第一节 矢性函数的微积分
r r
r r
ò ò
a × A(t)dt = a × A(t)dt
r r
r r
ò
ò
a´ A(t)dt = a´ A(t)dt
第八章 ò Ar(u(t))u (t)dt A(u)du
=
r
ò
¢
r r r r r r
ò
ò
ò
¢
ò
¢
A(t)× B (t)dt = A(t)× B(t)- A (t)× B(t)dt
r r r r r r
场论
¢
¢
A(t)´ B (t)dt = A(t)´ B(t)- A (t)´ B(t)dt
设矢性函数 Br(t)
是矢性函数 Ar(t)的一个原函数, 则
r r r
T
ò
2
= -
A(t)dt B(T ) B(T1)
(8.1.8)
2
T
1
吴新民
- 13 -

第一节 矢性函数的微积分
r r
r
r r
¢
rr(t) = 2cost i + 3sint j + 2cost k, 求 rr¢(t).
例1 设
r
r
r¢(t)= (2cost) i + (3sint) j + (2cost) k
¢
¢
解
r r r
= -2sinti + 3cost j - 2sintk
e(j) = cosj i + sinj j,e1(j) = -sinj ir + cosjrj
r r
r
r r
r
第八章例
¢ ¢
2 设
r r
e (j),e (j),并证明 e(j) ^ e1(rj).
求
1
r
r
¢
¢
¢
解 e ( ) (cos ) i (sin ) j
j = j + j
场论
r r
r
= -sinj i + cosj j = e (j),
r r
er1¢(j) = (-sinj) i + (cosj) j
1
¢
¢
r r
r
e( ),
= -cosj i - sinj j = - j
r r
e(j)×e (j)= cosj(-sinj)+ sinj cosj = 0
1
r r
\ e(j) ^ e1(j).
吴新民
- 14 -

第一节 矢性函数的微积分
r
y
e j
容易看出 ( )的矢端曲线为
er1(j)
p2 +j
单位圆周, 称其为圆函数。
er(j)
例3 计算 òj r
1
j
2
e(j
3
+ 3)dj
O
x
第八章
r
ò
解 原式 = e(j
3
+ 3)d(j + 3)
3
3
= - 13er1(j
+ 3)+ Cr
场论
3
r
ò
tA¢¢(t)dt
例4
计算
r
r r
¢ ¢
r
ò
ò ò
tA (t)dt = tdA (t) = tA (t)- A¢(t)dt
¢¢
解
r r r
¢
= tA (t)- A(t)+ C
吴新民
- 15 -

第一节 矢性函数的微积分
例5 设 Ar(t) 2t i j 3t k,
B = i + tk, 计算
r r r r r r
= + +
2
r r
1
ò
ò
¢
A ´ Bdt
0
1
r r r r r r
1
1
ò
0
解 A ´ Bdt = A´ B - A´ B¢dt
¢
第八章
0
0
r r r r r r r
1
1
A´ B = (t i + t j - k) = i + j
2
0
0
r r r r r r r
场论
1
1
1
ò ò
¢
¢
2
3
A´ B dt = Adt ´ B = (t i + t j + t k) ´ k
r r
0
0
r
0
r r r
= (i + j + k)´ k i j
= -
r r r r r r r
1
ò
¢
A´ B dt = (i + j)- (i - j) = 2 j
0
吴新民
- 16 -

第一节 矢性函数的微积分
四 导矢的几何意义
设 L为矢性函数 Ar(t)
的矢端曲线, t
增加的方向如
图所示,
第八章
DAr
Dt
M
M
DAr
r
Ar(t)
N
N
r
DA
DAr
Dt
A(t)
Ar(t + Dt)
Ar(t + Dt)
场论
O
L
O
L
Dt > 0
Dt < 0
r
DA
综上所述 Dt 是在L的割线 MN上的一个矢量, 且
指向曲线 L对应t 值增大的一方。
吴新民
- 17 -

第一节 矢性函数的微积分
当Dt ® 0 时, 点 N沿曲线 L无限地接近 M, 割线
r
的极限位置便是曲线 L在M处的切线。因此导矢A¢(t)
是这样一个矢量: 它位于在曲线 L在点 M 的切线上,
第八章且指向曲线L对应t 值增大的一方。
Ar¢(t)
M
场论
Ar(t)
N
DAr
Ar(t + Dt)
Dt
O
L
吴新民
- 18 -

第一节 矢性函数的微积分
r r r r
例6 求矢性函数 A t i t j tk的矢端曲线在 t = 1
= - +
3 2
处指向 t 增加方向的单位切矢量。
解 指向 t 增加方向的切矢量。
第八章 r r r r r r r r
¢
¢ = - +
A = 3t i - 2t j + k
2
A 3i 2 j k
t=1
所求的单位切矢量为
r
场论
r r r
¢
A
3
2
1
r
t=0
= - +
i
j
k
¢
| A t=0 | 14 14 14
吴新民
- 19 -

第一节 矢性函数的微积分
五 矢性函数的微分
r
如果矢性函数
A(t)在点 t 处可导, 称
r
A¢(t)dt (dt = Dt)
r
r
第八章
为 在点 t 处的微分, 记作 即
A(t)
dA,
dAr = Ar¢(t)dt
(8.1.9)
r
场论
dAr (Dt < 0)
我们易知: 如果 Dt > 0, dA
r
r
M r (Dt > 0)
dA
¢
Dt < 0, dA
A (t)
与 同向,如果
r
A¢(t)
Ar¢(t)
反向.
O
与
r r r r
=
+
+
如果 A(t) A (t)i A (t) j A (t)k, 则
x
y
z
吴新民
- 20 -

第一节 矢性函数的微积分
dAr = Ar¢(t)dt = A (t)dt i + A (t)dt j + A (t)dt k
r r r
¢ ¢
y z
¢
x
r r r r
dA = dA i + dA j + dA k
(8.1.10)
因此
x
y
z
r
dr
第八章
下面介绍 的几何意义
ds
将 A(t) = A (t)i + Ay(t)rj + Az(t)kr 看成 Ar(t)的矢端
r r
x
场论
曲线 L
上的点M(x, y,z)的矢径函数:
r r r
r
r = xi + yj + zk
x = Ax(t), y = A (t),z = Az(t),
因此
y
r r r
r
dr = dxi + dyj + dzk
| drr |= dx2 + dy2 + dz2
吴新民
- 21 -

第一节 矢性函数的微积分
将曲线 L看成有向曲线, 如不特别强调的话, t 增加
的方向为 L的正向。在 L上取定一点 M0 作为计算弧长
的起点, 以 L的正向作为弧长 s增加的方向, 在L 上任
第八章
·
一点 M(x, y,z)处, 弧微分为
ds < 0
M0
·
M
ds > 0
ds = ± dx2 + dy dz
2
2
+
场论
r r
| drr |=| ds |,
L
dr | dr |
= = 1.
因此
ds | ds |
r
这说明 drds 为一单位矢量.
另一方面, 如果选弧长s作为矢性函数 Ar 变量的话,
吴新民
- 22 -

第一节 矢性函数的微积分
r
r
由导矢的几何意义可知: drds 实际上是 的矢端曲线
A(t)
且指向弧长增加的一方.因此矢性函数对其矢
切矢量,
r
dr 为一切向单位矢量, 且指向
端曲线的弧长 s 的导数
第八章
ds
且指向弧长 s 增加的一方。
r
证明 ds dr
场论
= .
例7
dt dt
drr dx dy dz
= i + j + k
dt dt dt dt
r r r
解
drr æ dxö æ dyö æ dzö
2
2
2
=
+ +
ç ÷ ç ÷ ç ÷
dt è dt ø è dt ø è dt ø
吴新民
- 23 -

第一节 矢性函数的微积分
由于ds 与 dt 符号相同, 因此当dt > 0时, ds > 0,
ds = dx2 + dy2 + dz2
2
2
2
ds æ dxö æ dyö æ dzö
+ +
=
ç ÷ ç ÷ ç ÷
dt è dt ø è dt ø è dt ø
第八章
当dt < 0时, ds < 0,
场论
ds = - dx2 + dy2 + dz2
2
2
+ +
2
ds = dx2 + dy2 + dz2 æ dxö æ dyö æ dzö
-
=
ç ÷ ç ÷ ç ÷
dt
-
dt 2
è dt ø è dt ø è dt ø
ds drr .
=
因此
dt dt
吴新民
- 24 -

第一节r r矢性函数的微积分r
例8 求 rr = t i t j tk
3
- +
2
t =
在 处指向 t 增加方向
1
的单位切矢量。
r
dr 的几何意义
解 根据 ds
drr
drr = 3t
r
r r r
i - 2t j + k
第八章
tr = =
dr
2
dt
dt
ds
dt
ds
场论
r
ds dr
=
= 9t 4 + 1
+ t
4 2
r r r
3t 2i 2t j k
根据例4
dt dt
tr =
- +
因此
4
+
2
+
2
9t 4t 1
r r r
1
tr = i - j + k
14 14 14
- 25 -
3
在t = 1 处
吴新民

第一节 矢性函数的微积分
r
例9 证明矢性函数 r 模不变的充要条件是
A(t)
r
dA
A ^ .
dt
r r r r
= A
2
= A× A = 0,因此
证 设 | A| c, 则
r
r
第八章
dA
2A× = 0
dt
r
r
dA
场论
即
A .
^
dt
r r
r r
dA
dA
A× = 0,从而
dt
A =| A|2= C
反之如果 A ^ , 2
r r
即
dt
2
r
A
因此 的模不变。
吴新民
- 26 -

第一节 矢性函数的微积分
导矢的物理意义
设质点M 在空间运动, 其矢径 rr 与时间 t的函数关
系为
rr = rr(t)
第八章此矢性函数的矢端曲线 L为质点M运动轨迹。
z
假定在t = 0时质点位于在
s
M0
r
M
·
dr
点 M 处, 经过一段时间 t 以
场论
·
0
ds
L
后到达点M, 其间在曲线L
上
rr(t)
所经过的路程为 s, 由于
r r
dr dr ds
=
O
y
x
r dt ds dt
而 ddsr 为曲线 L的单位切矢量, 且指向 t 增加的方向,
吴新民
- 27 -

第一节 矢性函数的微积分
dsdt为路程 s 对时间rt 的变化率, 即为质点 M运动速度
dr
的大小, 因此导矢dt 为这样一个矢量: 其模为质点 M
第八章运动速度的大小, 其方向为质点运动曲线的切线方向,
r
dr
因此 为质点运动的速度矢量 vr. 如果定义二阶导矢
dt
场论
r r
r r
ç ÷,则ar =
2
= 2为质点运动的加速度矢量
d 2r d æ dr ö
dv d r
=
dt 2 dt è dt ø
dt dt
吴新民
- 28 -

第二节 数量场
第二节 数量场
一 场的概念
第八章
二 数量场的等值面
三 方向导数
四 梯度
场论
吴新民
- 29 -

第二节 数量场
一 场的概念
如果在全部空间或部分空间里的每个点, 都对应着
某个物理量的一个确定的值, 就说在这空间上确定了
第八章
该物理量的一个场。如果这物理量为数量, 就称这个
场为数量场; 如果这个物理量为矢量, 就称这个场为矢
场论
量场。
例如 温度场、 密度场、 电位场为数量场。
力场、 速度场、 电场强度为矢量场。
如果场中的物理量在各点处的对应量不随时间而变
化, 则称该场为稳定场。否则, 称为不稳定场。
吴新民
- 30 -

第二节 数量场
二 数量场的等值面
根据数量场的定义, 对于场中的每个点 M, 对应着
一个确定的物理量( 数量) u, 因此 u能够看成点 M
第八章的函数 u = u(M), 在直角坐标系Oxyz下, u能够看成点
M(x, y,z) 坐标的函数
u = u(x, y,z)
场论
因此, 一个数量场能够用一个数性函数来表示, 即研究
一个数量场就等价于研究一个数性函数。在今后的研究
中如不特别强调的话, 总假定数量场对应的数性函数
单值且一阶偏导数连续。
吴新民
- 31 -

第二节 数量场
在数量场 u = u(x, y,z)中, 使函数 u取相同的数值
的点所组成的曲面称为数量场的等值面。
例如 温度场中的等温面, 电位场中的等位面。
第八章数量场 u = u(x, y,z)的等值面方程为
u(x, y,z) = c
u + u + u ¹ 0,这种等值
2
x
2
y
2
z
( 其中场论 c为常数) , 显然如果
面一定存在。此时给定c
不同的数值, 得到一族互
不相交的, 且充满数量场
所在的空间的等值面。
u = c3
u = c2
u = c1
吴新民
- 32 -

第二节 数量场
在数量场 u = u(x, y,z) 中任意一定点 M0(x0, y0,z0),
过点 M0 的等值面方程为
u(x, y,z) = u(x0, y0,z0)
(8.2.1)
z
第八章
例1 求数量场 u = arctan
2 所在的空间区域,
x2 + y
场论并求其等值面及其过点 (0,1,-1) 的等值面,
解 此数量场所在的空间区域为
{(x, y,z) x2 + y2 ¹ 0}
z
arctan
2 = C1
等值面方程为
x2 + y
2 2
z = C x + y (x2 + y2 ¹ 0)
或
吴新民
- 33 -

第二节 数量场
过点(0,1,-1) 的等值面方程为
z = x + y + y ¹ 0)
(x
2 2
2
2
同理, 在平面数量场u = u(x, y)中, 具有相同数值 c
第八章的点, 就组成了此数量场的等值线。例如, 地面气象图
的等温线, 地形图的等高线。
场论数量场的等值面或
500m
北
等值线, 能够直观地
帮助了解场中物理量
的分布状况。
南
吴新民
- 34 -

第二节 数量场
三 方向导数
定义1 设 M0 为数量场 u = u(M) 中的一点, l 为
从 M0出发的一条射线, M 为 l 上的 M0邻近的一动点
第八章章
记
M0M = r, 如果当 M ® M0时, 比式
u(M)- u(M0)
l
M0M
的极限存在, 则称此极限为
r
场论
M
M0
函数 u = u(M) 在点 M0 处沿l 方向的方向导数, 记作
¶u
¶u
¶l M
u(M)- u(M0)
M0M
¶l M , 即
=
(8.2.2)
lim
M®M0
0
0
吴新民
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第二节 数量场
由定义可知: ¶¶ul 为在点 M 处, u沿 l方向对距离的
变化率, 当¶¶ul > 0时, u 沿l 方向是增加的, 当¶¶ul < 0时,
第八章
u
沿 l 方向是减少的.
定理1 设函数 u = u(x, y,z) 在点M0(x0, y ,z )
处可
0 0
场论
微, cosa、 cosb、 cosg 为方向 l 的方向余弦, 则 u 在 M0
处沿 l方向的方向导数一定存在, 且
¶u ¶u
cosa + ¶¶uy cosb + ¶¶uz cosg
=
(8.2.3)
¶l M ¶x M0
M0
M0
0
吴新民
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第二节 数量场
证 设动点M(x + Dx, y + Dy,z + Dz),由于u在点 M0
l
处可微, 故
Du = u(M)- u(M0)
¶u ¶u
r
M
第八章
M0
¶u
¶
= Dx + Dy + Dz +ar
¶
x
M
¶
y
M
M
z
0
0
0
lima = 0, 因此
场论
其中
r®0
Du ¶u Dx ¶u Dy ¶u Dz
=
+
+
r +a
r ¶x M0 r ¶y M0 r ¶z M0
令r ® 0, 即得
¶u ¶u
cosa + ¶¶uy cosb + ¶¶uz cosg
=
¶l M ¶x M0
M0
M
0
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0
吴新民

第二节 数量场
例2 求函数 u = x2 yz3 + e y 在点
M(1,1,-1)处沿
r r r r
l = 2i + j - 2k 的方向 l 的方向导数。
ux = 2xyz3, u = x2z3
y
+ e
y
, u = 3x2 yz2
z
解
第八章在点 M(1,1,-1,)处
ux = -2, uy = -1+ e,
uz = 3
l
的方向余弦为
场论
cosa = 32, cosb = 13, cosg = - 32
¶u = ux cosa + uy cosb + uz cosg
因此
¶l
= e - 3
= (-2)× + (-1+ e)× 13 + 3×(- )
2
2
3
3
3
吴新民
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第二节 数量场
定理2 如果在有向曲线 C 上取一定点M0 作为计算
弧长 s 的起点, C 的正向作为弧长增加的方向, M为C
l
上的一点, 在点 M 处沿C 之正向
C
第八章作与 C相切的射线 l, 则当 u 可微、
C 光滑时, 有
M
¶u du
¶l ds
(8.2.3)
场论
=
M0
其中 duds 为函数 u 对 C 之弧长 s 的全导数。
证
选择 C 之弧长作为参数, 则 C 的参数方程为
x = x(s), y = y(s),z = z(s)
吴新民
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第二节 数量场
则沿曲线 C,函数
u = u(x(s), y(s),z(s))
因为函数 u可微、 曲线 C 光滑, 由复合函数求导法则
du ¶u dx ¶u dy ¶u dz
第八章
=
+ +
可得
ds ¶x ds ¶y ds ¶z ds
drr dx dy dz
r r r
= + +
由于
场论
i j k为 C 在 M处的单位切矢量,
ds ds ds ds
且指向s