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工程数学(复变函数积分变换场论)59456.doc

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资料内容仅供您学习参考,如有不当或者侵权,请联系改正或者删除。 第八章 场论 第一节 矢性函数及其微分 第二节 数量场 第三节 矢量场 第四节 几种特殊的矢量场 第一节 矢性函数的微积分 第一节 矢量函数及其微积分 一 矢性函数的概念 第八章 二 矢端曲线 场论三 矢性函数的微积分 四 导矢的几何意义 五 矢性函数的微分 吴新民 - 2 - 第一节 矢性函数的微积分 一 矢性函数的概念 给定一个变量, 如果它没有方向, 则称其为数性变 则称其为矢性变量。 量, 如果它有方向, r 第八章定义1设有数性变量 变矢 t, A, 如果对于t 在某个 r 范围 G 内的每一个数值, A 都以唯一的一个确定的矢 r 则称 A 为数性变量 t 的矢性函数, 记作 场论量和它对应, r r A = A(t) r 在空间直角坐标系下, 矢性函数 的三个坐标 A(t) Ax(t)、 Ay(t)、 Az(t)显然是 t 的函数. r 因此矢性函数 A(t) 的坐标表示式为 r r r r (8.1.1) A = A (t)i + A (t) j + A (t)k x y z 吴新民 - 3 - 第一节 矢性函数的微积分 二 矢端曲线 给定一个矢性函数 Ar(t), 如果将起点都放在坐标原 点, 则终点就描绘出一条曲线, r z A(t)的矢 称此曲线为矢性函数 第八章 M(x, y,z) 端曲线. 而称 (8.1.1) 式为此曲 Ar(t) 线的方程. 场论 o y 取起点为坐标原点O, x 终点 uuur OM称为点M的矢径, 记为 rr.则 为点M(x, y,z) r 的矢量 uuur r r r r = OM = xi + yj + zk r A(t)的矢端曲线上任意一点M(x, y,z), 对矢性函数 吴新民 - 4 - 第一节 矢性函数的微积分 r A(t) 矢量 实际上为点M的向径, 因此 r r r = A(t) x = Ax(t) y = Ay(t) ì í î (8.1.2) 即 第八章 z = Az(t) r 这就是矢性函数 A(t)的矢端曲线的参数方程. 场论 例如 矢性函数 r r r r A(t) = Acosti + asintj + btk 对应的参数方程为 x = acost, y = asint, z = bt 吴新民 - 5 - 第一节 矢性函数的微积分 再如给定参数方程 x = acos3 t, y = asin3 t 对应的矢性函数为 r r r 第八章 = 3 + 3 A acos ti bsin tj 因此研究一个矢性函数 r r r r 场论 A = A (t)i + A (t) j + A (t)k x y z x = A (t), y = Ay(t), x 等价于研究三个有序的数性函数 z = Az(t). 吴新民 - 6 - 第一节 矢性函数的微积分 三 矢性函数的微积分 r 设起点O的矢性函数 A(t),当数性变量在其定义域内 从t变到t + Dt (Dt ¹ 0)时, 对应的矢量分别为 第八章 r uuur r uuur A(t) = OM, A(t + Dt) = ON M r r uuuur A(t + Dt)- A(t) = MN 称为 DAr 则 场论 Ar(t) N 矢性函数 Ar(t) r Ar(t + Dt) D A, 记作 的增量, 定义2设矢性函数Ar(t)在点 O t 的某个邻域内有定义, 并设 t + Dt 在这个邻域内, 如 r r D D 与 在 Dt的增量 A t的比 0时的极 Dt ® A(t) 果 对应于 吴新民 - 7 - 第一节 矢性函数的微积分 Ar¢(t) 限存在, 则称此极限为矢性 M r DAr Dt DAr 函数 A(t) 在点 t 处的导数 Ar(t) r r N dA A¢(t), (简称导矢),记为 dt 或 Ar(t + Dt) 第八章 即 O A(t + Dt)- A(t) Dt Dt®0 r r r r dA DA = lim = lim (8.1.3) dt Dt Dt®0 场论 r r r r A(t) = A (t)i + A (t) j + A (t)k, 由于 y 设 x z r r r r r DA limDDAtx i +lim +lim DA z k dA DA y = lim = j D t D ® Dt dt Dt D ® t 0 D ® Dt®0 t 0 t 0 r r r r ¢ ¢ ¢ ¢ (8.1.4) 因此 A (t) = A (t)i + A (t) j + A (t)k x y z 吴新民 - 8 - 第一节 矢性函数的微积分 由于矢性函数的导数的运算完全由三个数性函数 确定, 我们能够证明矢性函数仍有类似数性函数的求 导公式. r r r r = 、 = 及数性函数 u = u(t) 设矢性函数A A(t) B B(t) 第八章 r 在t 某个范围内可导, C 为常矢量, k 为常数, 则在该 范围内有: 场论 r dC = 0 (1) (2) (3) dt d r r r r dA dB (A± B) = ± dt dt dt r ddt (kAr) = k dt dA 吴新民 - 9 - 第一节 矢性函数的微积分 r r r d du dA (uA) = A+ u (4) (5) dt dt dt r r r r r r d dt d dA dB dt (A× B) = × B + A× dt dA 第八章 r r r r r r A = 2A× 2 ( 这里A A A) 2 = × 特别 dt dt r r 场论 r r r r d dA dB dt (6) ´ = ´ + ´ (A B) B A dt dt A A(u),u = u(t) r r = (7) 如果 r r dA dAdu = dt du dt 吴新民 - 10 - 第一节 矢性函数的微积分 类似我们能够定义矢性函数的不定积分, 定积分, 而且矢性函数的不定积分, 定积分能够转化成三个数 性函数来计算. r r 如果在 t的某个区间 I 上, 有B (t) A(t),则称 ¢ = 定义3 r 第八章 r B(t) A(t) I 上一个原函数。 矢性函数 为矢性函数 在区间 r r I A(t) 区间 的原函数的全体称为 的不定积分, 记 上 A(t) 场论r ò 为 A(t)dt. 如果 B(t)是 Ar(t)在区间I上的一个原函数, r 则 r r r ò A(t)dt = B(t)+ C (8.1.5) r r r r z 由定义, 如果 A(t) = A (t)i + A (t) j + A (t)k x y 吴新民 - 11 - 第一节 矢性函数的微积分 r r r r (8.1.6) y z 则 ò ò ò ò A(t)dt = A (t)dt i + A (t)dt j + A (t)dt k x r r r r T T + + 2 2 T T ò ò ò ò 2 = 2 A(t)dt A (t)dti A (t)dt j A (t)dtk x y z T 1 T 1 T T 1 1 第八章 (8.1.7) 数性函数的不定积分的性质及其计算方法能够推广 场论到矢性函数, 例如 r r r r ò ò ò [A(t)± B(t)]dt = A(t)dt ± B(t)dt r r ò ò kA(t)dt = k A(t)dt r r ò ò u(t)adt = u(t)dta 吴新民 - 12 - 第一节 矢性函数的微积分 r r r r ò ò a × A(t)dt = a × A(t)dt r r r r ò ò a´ A(t)dt = a´ A(t)dt 第八章 ò Ar(u(t))u (t)dt A(u)du = r ò ¢ r r r r r r ò ò ò ¢ ò ¢ A(t)× B (t)dt = A(t)× B(t)- A (t)× B(t)dt r r r r r r 场论 ¢ ¢ A(t)´ B (t)dt = A(t)´ B(t)- A (t)´ B(t)dt 设矢性函数 Br(t) 是矢性函数 Ar(t)的一个原函数, 则 r r r T ò 2 = - A(t)dt B(T ) B(T1) (8.1.8) 2 T 1 吴新民 - 13 - 第一节 矢性函数的微积分 r r r r r ¢ rr(t) = 2cost i + 3sint j + 2cost k, 求 rr¢(t). 例1 设 r r r¢(t)= (2cost) i + (3sint) j + (2cost) k ¢ ¢ 解 r r r = -2sinti + 3cost j - 2sintk e(j) = cosj i + sinj j,e1(j) = -sinj ir + cosjrj r r r r r r 第八章例 ¢ ¢ 2 设 r r e (j),e (j),并证明 e(j) ^ e1(rj). 求 1 r r ¢ ¢ ¢ 解 e ( ) (cos ) i (sin ) j j = j + j 场论 r r r = -sinj i + cosj j = e (j), r r er1¢(j) = (-sinj) i + (cosj) j 1 ¢ ¢ r r r e( ), = -cosj i - sinj j = - j r r e(j)×e (j)= cosj(-sinj)+ sinj cosj = 0 1 r r \ e(j) ^ e1(j). 吴新民 - 14 - 第一节 矢性函数的微积分 r y e j 容易看出 ( )的矢端曲线为 er1(j) p2 +j 单位圆周, 称其为圆函数。 er(j) 例3 计算 òj r 1 j 2 e(j 3 + 3)dj O x 第八章 r ò 解 原式 = e(j 3 + 3)d(j + 3) 3 3 = - 13er1(j + 3)+ Cr 场论 3 r ò tA¢¢(t)dt 例4 计算 r r r ¢ ¢ r ò ò ò tA (t)dt = tdA (t) = tA (t)- A¢(t)dt ¢¢ 解 r r r ¢ = tA (t)- A(t)+ C 吴新民 - 15 - 第一节 矢性函数的微积分 例5 设 Ar(t) 2t i j 3t k, B = i + tk, 计算 r r r r r r = + + 2 r r 1 ò ò ¢ A ´ Bdt 0 1 r r r r r r 1 1 ò 0 解 A ´ Bdt = A´ B - A´ B¢dt ¢ 第八章 0 0 r r r r r r r 1 1 A´ B = (t i + t j - k) = i + j 2 0 0 r r r r r r r 场论 1 1 1 ò ò ¢ ¢ 2 3 A´ B dt = Adt ´ B = (t i + t j + t k) ´ k r r 0 0 r 0 r r r = (i + j + k)´ k i j = - r r r r r r r 1 ò ¢ A´ B dt = (i + j)- (i - j) = 2 j 0 吴新民 - 16 - 第一节 矢性函数的微积分 四 导矢的几何意义 设 L为矢性函数 Ar(t) 的矢端曲线, t 增加的方向如 图所示, 第八章 DAr Dt M M DAr r Ar(t) N N r DA DAr Dt A(t) Ar(t + Dt) Ar(t + Dt) 场论 O L O L Dt > 0 Dt < 0 r DA 综上所述 Dt 是在L的割线 MN上的一个矢量, 且 指向曲线 L对应t 值增大的一方。 吴新民 - 17 - 第一节 矢性函数的微积分 当Dt ® 0 时, 点 N沿曲线 L无限地接近 M, 割线 r 的极限位置便是曲线 L在M处的切线。因此导矢A¢(t) 是这样一个矢量: 它位于在曲线 L在点 M 的切线上, 第八章且指向曲线L对应t 值增大的一方。 Ar¢(t) M 场论 Ar(t) N DAr Ar(t + Dt) Dt O L 吴新民 - 18 - 第一节 矢性函数的微积分 r r r r 例6 求矢性函数 A t i t j tk的矢端曲线在 t = 1 = - + 3 2 处指向 t 增加方向的单位切矢量。 解 指向 t 增加方向的切矢量。 第八章 r r r r r r r r ¢ ¢ = - + A = 3t i - 2t j + k 2 A 3i 2 j k t=1 所求的单位切矢量为 r 场论 r r r ¢ A 3 2 1 r t=0 = - + i j k ¢ | A t=0 | 14 14 14 吴新民 - 19 - 第一节 矢性函数的微积分 五 矢性函数的微分 r 如果矢性函数 A(t)在点 t 处可导, 称 r A¢(t)dt (dt = Dt) r r 第八章 为 在点 t 处的微分, 记作 即 A(t) dA, dAr = Ar¢(t)dt (8.1.9) r 场论 dAr (Dt < 0) 我们易知: 如果 Dt > 0, dA r r M r (Dt > 0) dA ¢ Dt < 0, dA A (t) 与 同向,如果 r A¢(t) Ar¢(t) 反向. O 与 r r r r = + + 如果 A(t) A (t)i A (t) j A (t)k, 则 x y z 吴新民 - 20 - 第一节 矢性函数的微积分 dAr = Ar¢(t)dt = A (t)dt i + A (t)dt j + A (t)dt k r r r ¢ ¢ y z ¢ x r r r r dA = dA i + dA j + dA k (8.1.10) 因此 x y z r dr 第八章 下面介绍 的几何意义 ds 将 A(t) = A (t)i + Ay(t)rj + Az(t)kr 看成 Ar(t)的矢端 r r x 场论 曲线 L 上的点M(x, y,z)的矢径函数: r r r r r = xi + yj + zk x = Ax(t), y = A (t),z = Az(t), 因此 y r r r r dr = dxi + dyj + dzk | drr |= dx2 + dy2 + dz2 吴新民 - 21 - 第一节 矢性函数的微积分 将曲线 L看成有向曲线, 如不特别强调的话, t 增加 的方向为 L的正向。在 L上取定一点 M0 作为计算弧长 的起点, 以 L的正向作为弧长 s增加的方向, 在L 上任 第八章 · 一点 M(x, y,z)处, 弧微分为 ds < 0 M0 · M ds > 0 ds = ± dx2 + dy dz 2 2 + 场论 r r | drr |=| ds |, L dr | dr | = = 1. 因此 ds | ds | r 这说明 drds 为一单位矢量. 另一方面, 如果选弧长s作为矢性函数 Ar 变量的话, 吴新民 - 22 - 第一节 矢性函数的微积分 r r 由导矢的几何意义可知: drds 实际上是 的矢端曲线 A(t) 且指向弧长增加的一方.因此矢性函数对其矢 切矢量, r dr 为一切向单位矢量, 且指向 端曲线的弧长 s 的导数 第八章 ds 且指向弧长 s 增加的一方。 r 证明 ds dr 场论 = . 例7 dt dt drr dx dy dz = i + j + k dt dt dt dt r r r 解 drr æ dxö æ dyö æ dzö 2 2 2 = + + ç ÷ ç ÷ ç ÷ dt è dt ø è dt ø è dt ø 吴新民 - 23 - 第一节 矢性函数的微积分 由于ds 与 dt 符号相同, 因此当dt > 0时, ds > 0, ds = dx2 + dy2 + dz2 2 2 2 ds æ dxö æ dyö æ dzö + + = ç ÷ ç ÷ ç ÷ dt è dt ø è dt ø è dt ø 第八章 当dt < 0时, ds < 0, 场论 ds = - dx2 + dy2 + dz2 2 2 + + 2 ds = dx2 + dy2 + dz2 æ dxö æ dyö æ dzö - = ç ÷ ç ÷ ç ÷ dt - dt 2 è dt ø è dt ø è dt ø ds drr . = 因此 dt dt 吴新民 - 24 - 第一节r r矢性函数的微积分r 例8 求 rr = t i t j tk 3 - + 2 t = 在 处指向 t 增加方向 1 的单位切矢量。 r dr 的几何意义 解 根据 ds drr drr = 3t r r r r i - 2t j + k 第八章 tr = = dr 2 dt dt ds dt ds 场论 r ds dr = = 9t 4 + 1 + t 4 2 r r r 3t 2i 2t j k 根据例4 dt dt tr = - + 因此 4 + 2 + 2 9t 4t 1 r r r 1 tr = i - j + k 14 14 14 - 25 - 3 在t = 1 处 吴新民 第一节 矢性函数的微积分 r 例9 证明矢性函数 r 模不变的充要条件是 A(t) r dA A ^ . dt r r r r = A 2 = A× A = 0,因此 证 设 | A| c, 则 r r 第八章 dA 2A× = 0 dt r r dA 场论 即 A . ^ dt r r r r dA dA A× = 0,从而 dt A =| A|2= C 反之如果 A ^ , 2 r r 即 dt 2 r A 因此 的模不变。 吴新民 - 26 - 第一节 矢性函数的微积分 导矢的物理意义 设质点M 在空间运动, 其矢径 rr 与时间 t的函数关 系为 rr = rr(t) 第八章此矢性函数的矢端曲线 L为质点M运动轨迹。 z 假定在t = 0时质点位于在 s M0 r M · dr 点 M 处, 经过一段时间 t 以 场论 · 0 ds L 后到达点M, 其间在曲线L 上 rr(t) 所经过的路程为 s, 由于 r r dr dr ds = O y x r dt ds dt 而 ddsr 为曲线 L的单位切矢量, 且指向 t 增加的方向, 吴新民 - 27 - 第一节 矢性函数的微积分 dsdt为路程 s 对时间rt 的变化率, 即为质点 M运动速度 dr 的大小, 因此导矢dt 为这样一个矢量: 其模为质点 M 第八章运动速度的大小, 其方向为质点运动曲线的切线方向, r dr 因此 为质点运动的速度矢量 vr. 如果定义二阶导矢 dt 场论 r r r r ç ÷,则ar = 2 = 2为质点运动的加速度矢量 d 2r d æ dr ö dv d r = dt 2 dt è dt ø dt dt 吴新民 - 28 - 第二节 数量场 第二节 数量场 一 场的概念 第八章 二 数量场的等值面 三 方向导数 四 梯度 场论 吴新民 - 29 - 第二节 数量场 一 场的概念 如果在全部空间或部分空间里的每个点, 都对应着 某个物理量的一个确定的值, 就说在这空间上确定了 第八章 该物理量的一个场。如果这物理量为数量, 就称这个 场为数量场; 如果这个物理量为矢量, 就称这个场为矢 场论 量场。 例如 温度场、 密度场、 电位场为数量场。 力场、 速度场、 电场强度为矢量场。 如果场中的物理量在各点处的对应量不随时间而变 化, 则称该场为稳定场。否则, 称为不稳定场。 吴新民 - 30 - 第二节 数量场 二 数量场的等值面 根据数量场的定义, 对于场中的每个点 M, 对应着 一个确定的物理量( 数量) u, 因此 u能够看成点 M 第八章的函数 u = u(M), 在直角坐标系Oxyz下, u能够看成点 M(x, y,z) 坐标的函数 u = u(x, y,z) 场论 因此, 一个数量场能够用一个数性函数来表示, 即研究 一个数量场就等价于研究一个数性函数。在今后的研究 中如不特别强调的话, 总假定数量场对应的数性函数 单值且一阶偏导数连续。 吴新民 - 31 - 第二节 数量场 在数量场 u = u(x, y,z)中, 使函数 u取相同的数值 的点所组成的曲面称为数量场的等值面。 例如 温度场中的等温面, 电位场中的等位面。 第八章数量场 u = u(x, y,z)的等值面方程为 u(x, y,z) = c u + u + u ¹ 0,这种等值 2 x 2 y 2 z ( 其中场论 c为常数) , 显然如果 面一定存在。此时给定c 不同的数值, 得到一族互 不相交的, 且充满数量场 所在的空间的等值面。 u = c3 u = c2 u = c1 吴新民 - 32 - 第二节 数量场 在数量场 u = u(x, y,z) 中任意一定点 M0(x0, y0,z0), 过点 M0 的等值面方程为 u(x, y,z) = u(x0, y0,z0) (8.2.1) z 第八章 例1 求数量场 u = arctan 2 所在的空间区域, x2 + y 场论并求其等值面及其过点 (0,1,-1) 的等值面, 解 此数量场所在的空间区域为 {(x, y,z) x2 + y2 ¹ 0} z arctan 2 = C1 等值面方程为 x2 + y 2 2 z = C x + y (x2 + y2 ¹ 0) 或 吴新民 - 33 - 第二节 数量场 过点(0,1,-1) 的等值面方程为 z = x + y + y ¹ 0) (x 2 2 2 2 同理, 在平面数量场u = u(x, y)中, 具有相同数值 c 第八章的点, 就组成了此数量场的等值线。例如, 地面气象图 的等温线, 地形图的等高线。 场论数量场的等值面或 500m 北 等值线, 能够直观地 帮助了解场中物理量 的分布状况。 南 吴新民 - 34 - 第二节 数量场 三 方向导数 定义1 设 M0 为数量场 u = u(M) 中的一点, l 为 从 M0出发的一条射线, M 为 l 上的 M0邻近的一动点 第八章章 记 M0M = r, 如果当 M ® M0时, 比式 u(M)- u(M0) l M0M 的极限存在, 则称此极限为 r 场论 M M0 函数 u = u(M) 在点 M0 处沿l 方向的方向导数, 记作 ¶u ¶u ¶l M u(M)- u(M0) M0M ¶l M , 即 = (8.2.2) lim M®M0 0 0 吴新民 - 35 - 第二节 数量场 由定义可知: ¶¶ul 为在点 M 处, u沿 l方向对距离的 变化率, 当¶¶ul > 0时, u 沿l 方向是增加的, 当¶¶ul < 0时, 第八章 u 沿 l 方向是减少的. 定理1 设函数 u = u(x, y,z) 在点M0(x0, y ,z ) 处可 0 0 场论 微, cosa、 cosb、 cosg 为方向 l 的方向余弦, 则 u 在 M0 处沿 l方向的方向导数一定存在, 且 ¶u ¶u cosa + ¶¶uy cosb + ¶¶uz cosg = (8.2.3) ¶l M ¶x M0 M0 M0 0 吴新民 - 36 - 第二节 数量场 证 设动点M(x + Dx, y + Dy,z + Dz),由于u在点 M0 l 处可微, 故 Du = u(M)- u(M0) ¶u ¶u r M 第八章 M0 ¶u ¶ = Dx + Dy + Dz +ar ¶ x M ¶ y M M z 0 0 0 lima = 0, 因此 场论 其中 r®0 Du ¶u Dx ¶u Dy ¶u Dz = + + r +a r ¶x M0 r ¶y M0 r ¶z M0 令r ® 0, 即得 ¶u ¶u cosa + ¶¶uy cosb + ¶¶uz cosg = ¶l M ¶x M0 M0 M 0 - 37 - 0 吴新民 第二节 数量场 例2 求函数 u = x2 yz3 + e y 在点 M(1,1,-1)处沿 r r r r l = 2i + j - 2k 的方向 l 的方向导数。 ux = 2xyz3, u = x2z3 y + e y , u = 3x2 yz2 z 解 第八章在点 M(1,1,-1,)处 ux = -2, uy = -1+ e, uz = 3 l 的方向余弦为 场论 cosa = 32, cosb = 13, cosg = - 32 ¶u = ux cosa + uy cosb + uz cosg 因此 ¶l = e - 3 = (-2)× + (-1+ e)× 13 + 3×(- ) 2 2 3 3 3 吴新民 - 38 - 第二节 数量场 定理2 如果在有向曲线 C 上取一定点M0 作为计算 弧长 s 的起点, C 的正向作为弧长增加的方向, M为C l 上的一点, 在点 M 处沿C 之正向 C 第八章作与 C相切的射线 l, 则当 u 可微、 C 光滑时, 有 M ¶u du ¶l ds (8.2.3) 场论 = M0 其中 duds 为函数 u 对 C 之弧长 s 的全导数。 证 选择 C 之弧长作为参数, 则 C 的参数方程为 x = x(s), y = y(s),z = z(s) 吴新民 - 39 - 第二节 数量场 则沿曲线 C,函数 u = u(x(s), y(s),z(s)) 因为函数 u可微、 曲线 C 光滑, 由复合函数求导法则 du ¶u dx ¶u dy ¶u dz 第八章 = + + 可得 ds ¶x ds ¶y ds ¶z ds drr dx dy dz r r r = + + 由于 场论 i j k为 C 在 M处的单位切矢量, ds ds ds ds 且指向s
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