7第七讲、弹性力学平面问题(9-10)优秀PPT.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2,Z,ZS,HPU,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ZSRock Mass Mechanics,ZS,HPU,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ZSRock Mass Mechanics,ZS,HPU,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ZSRock Mass Mechanics,ZS,HPU,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ZSRock Mass Mechanics,ZS,HPU,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ZSRock Mass Mechanics,ZS,HPU,弹性力学,主讲：张 盛,能源科学与工程学院,ZS,2,2-5,物理方程,弹性模量，泊松比,2-6,边界条件,应力边界，位移边界，混合边界,2-7,圣维南原理,静力等效，原理应用,上讲回顾（引言）,2,2,平面问题的基本方程,1.,平衡微分方程,（,2-2,）,2.,几何方程,（,2-9,）,3.,物理方程,（平面应力问题）,（,2-15,）,4.,边界条件,位移：,（,2-17,）,应力：,（,2-18,）,例,7,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y,方向力等效：,对,O,点的力矩等效：,x,方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,x,y,上端面：,（方法,2,）,取图示微元体，,可见，与前面结果相同。,注意：,必须按正向假设！,由微元体的平衡求得，,2-8,按位移求解平面问题,2-9,按应力求解平面问题 相容方程,（重点）,2-10,常体力情况下的简化,本讲主要内容,6,2,2-8,按位移求解平面问题,2,ZS,平面问题的基本方程,1.,平衡微分方程,（,2-2,）,2.,几何方程,（,2-9,）,3.,物理方程,（平面应力问题）,（,2-15,）,4.,边界条件,位移：,（,2-17,）,应力：,（,2-18,）,ZS,2025/4/29 周二,2,、,弹性力学问题的求解方法,（,1,）按位移求解（位移法、刚度法）,以,u,、,v,为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用,u,、,v,表示，并求出,u,、,v,，,再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。,（,2,）按应力求解（力法，柔度法）,以,应力分量,为基本未知函数，将所有方程都用,应力分量,表示，并求出,应力分量，,再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。,（,3,）混合求解,以部分,位移分量,和部分,应力分量,为基本未知函数，将，并求出这些未知量,，,再求出其余未知量。,3,、,按位移求解平面问题的基本方程,（,1,）将平衡方程用位移表示,由应变表示的物理方程,将几何方程代入，有,（,2-19,）,（,a,）,将式,(a),代入平衡方程，化简有,（,2-20,）,（,2,）将边界条件用位移表示,位移边界条件：,应力边界条件：,（,a,）,将式（,a,）代入，得,（,2-21,）,（,2-17,）,式（,2-20,）、（,2-17,）、（,2-21,）构成按位移求解问题的基本方程,说明：,（,1,）对平面应变问题，只需将式中的,E,、,作相替换即可。,（,2,）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。,（,3,）按位移求解平面问题的基本方程,（,1,）平衡方程：,（,2-20,）,（,2,）边界条件：,位移边界条件：,（,2-17,）,应力边界条件：,（,2-21,）,相容方程,2-9,按应力求解平面问题,2,ZS,1,、,变形协调方程（相容方程）,按应力求解平面问题的未知函数：,（,2-2,）,平衡微分方程：,2,个方程方程，,3,个未知量，为超静定问题。,需寻求补充方程，,从形变、形,变与应力的关系建立补充方程。,将几何方程：,（,2-9,）,作如下运算：,显然有：,（,2-22,）,形变协调方程（或相容方程）,即：必须满足上式才能保证位移分量,u,、,v,的存在与协调，才能求得这些位移分量。,例：,其中：,C,为常数。,由几何方程得：,积分得：,由几何方程的第三式得：,显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。,2,、,变形协调方程的应力表示,（,1,）平面应力情形,将物理方程代入相容方程，得：,（,2-22,）,利用平衡方程将上述化简：,（,2-15,）,（,2-2,）,（,a,）,将上述两边相加：,（,b,）,将,(b),代入,(a),，得：,将 上式整理得：,（,2-23,）,应力表示的相容方程,（,2,）平面应变情形,将 上式中的泊松比,代为：，得,（,2-24,）,（平面应力情形）,应力表示的相容方程,（平面应变情形）,注意：,当体力,fx,、,fy,为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,（,2-25,）,3,、,按应力求解平面问题的基本方程,（,1,）平衡方程,（,2-2,）,（,2,）相容方程（形变协调方程）,（,2-23,）,（,3,）边界条件：,（,2-18,）,（平面应力情形）,说明：,（,1,）对位移边界问题，不易按应力求解。,（,2,）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。,（,3,）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。,例,8,：,例,9,：,图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力,P,作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力,=0,，然后说明这些表达式是否代表正确解。,课堂练习与讨论,2,ZS,例,8,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,（,1,）,（,2,）,解,（,a,）,（,b,）,（,1,）,将式（,a,）代入平衡方程：,（,2-2,）,满足,将式（,a,）代入相容方程：,式（,a,）不是一组可能的应力场。,例,8,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,（,1,）,（,2,）,（,a,）,（,b,）,（,2,）,解,将式（,b,）代入应变表示的相容方程：,式（,b,）满足相容方程，（,b,）为可能的应变分量。,例,9,图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力,P,作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力,=0,，然后说明这些表达式是否代表正确解。,解,材料力学解答：,式（,a,）满足平衡方程和相容方程？,（,a,）,式（,a,）是否满足边界条件？,代入平衡微分方程：,（,2-2,）,显然，平衡微分方程满足。,式（,a,）满足相容方程。,再验证，式（,a,）是否满足边界条件？,满足,满足,近似满足,近似满足,结论：式（,a,）为正确解,代入相容方程：,上、下侧边界：,右侧边界：,左侧边界：,例,7,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y,方向力等效：,对,O,点的力矩等效：,x,方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,2-10,常体力情况下的简化,2,ZS,1,、,常体力下平面问题的相容方程,令：,拉普拉斯（,Laplace,）算子,则相容方程可表示为：,平面应力情形,平面应变情形,当体力,X,、,Y,为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,或,（,2-25,）,2,、,常体力下平面问题的基本方程,（,1,）平衡方程,（,2-2,）,（,2,）相容方程（形变协调方程）,（,3,）边界条件,（,2-18,）,（,4,）位移单值条件,对多连通问题而言。,讨论：,（,1,）,Laplace,方程，,或称调和方程。,（,2,）,常体力下，方程中不含,E,、,（,a,）,两种平面问题，计算结果,相同,）不同。,（但,（,b,）,不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。,光弹性实验原理。,（,3,）,用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。,满足：的函数,称为调和函数（解析函数）。,3,、,常体力下体力与面力的变换,平衡方程,:,相容方程,:,边界条件,:,令：,常体力下，满足的方程：,(a),将式,(b),代入平衡方程、相容方程、边界条件，有,(b),(c),(c),表明：,（,1,）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程（容易求解）；,（,2,）变换后问题的边界面力改变为：,结论：,当体力,X,=,常数，,Y,=,常数时，可先求解无体力而面力为：,问题的解：，而原问题的解为：,课堂练习与讨论,2,ZS,x,y,x,y,例,10,：,p,F,A,B,C,D,E,h,h,(a),图示深梁在重力作用下的应力分析。,原问题：,体力：,边界面力：,所求应力：,A,B,C,F,D,E,h,h,(b),ph,2,ph,变换后的问题：,体力：,边界面力：,(1),当,y,=0,时，,(2),当,y,=,h,时，,(3),当,y,=,2,h,时，,所求得的应力：,原问题的应力,常体力下体力与面力转换的优点（好处）：,原问题的求解方程,变换后问题的求解方程,常体力问题,无体力问题,作用：,(1),方便分析计算（齐次方程易求解）。,(2),实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。,注意：,面力变换公式：与坐标系的选取有关，,因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。,2.,平面问题的基本方程：,（,1,）平衡方程：,（,2-2,）,（,2,）几何方程,：,（,2-9,）,位移边界条件,（,4,）边界条件：,（,1,）,（,2,）,应力边界条件,（,3,）物理方程：,（,2-15,）,平面应力问题,3.,平面问题一点的应力、应变分析,(b),主应力与应力主向,（,2-7,）,（,2-8,）,(c),最大、最小剪应力及其方向,max,、,min,的方向与,1,（,2,）,成,45,。,(a),任意斜面上应力,或,4.,圣维南原理的应用,（,d,）任意斜方向的线应变,（,2-11,）,（,e,）一点任意两线段夹角的改变,（,2-12,）,若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。,注意事项：,(1),必须满足静力等效条件；,(2),只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。,P,次要边界,5.,平面问题的求解方法：,（,2-17,）,位移边界条件,（,2-21,）,应力边界条件,（,1,）按位移求解基本方程,（,2-20,）,平衡方程,（,2,）按应力求解平面问题的基本方程,（,2-22,）,形变协调方程（或相容方程）,相容方程,（,2-23,）,（平面应力情形）,应力表示的相容方程,（,2-24,）,（平面应变情形）,（,2-25,）,（体力,fx,、,fy,为常数情形）,（,1,）平衡方程,（,2-2,）,（,3,）边界条件：,（,2-18,）,（,2,）相容方程（形变协调方程）,（,2-23,）,（平面应力情形）,按应力求解的基本方程,常体力下可以简化：,求解方法？,（两种平面问题形式相同）,（,1,）,体力,X,、,Y,转化为面力处理。,（,2,）,逆解法与半逆解法,应力函数解法,2,ZS,常体力下问题的基本方程：,边界条件、位移单值条件。,(a),(b),式,(a),为非齐次方程，其解：,全解,=,齐次方程通解,1,、,平衡微分方程解的形式,(1),特解,常体力下特解形式：,+,非齐次方程的特解。,(1),(2),(3),(2),通解,式,(a),的齐次方程：,(c),(d),的通解。,将式,(d),第一式改写为,由微分方程理论，必存在一函数,A,(,x,y,),，使得,(e),(f),同理，将式,(d),第二式改写为,(g),(h),比较式,(,f,),与,(,h,),，有,也必存在一函数,B,(,x,y,),，使得,(2),通解,式,(a),的齐次方程：,(d),的通解。,由微分方程理论，必存在一函数,(,x,y,),，使得,(i),(j),将式,(i),、,(j),代入,(e),、,(f),、,(g),、,(h),，得通解,同理，将式,(d),第二式改写为,(g),(h),比较式,(,f,),与,(,h,),，有,也必存在一函数,B,(,x,y,),，使得,由微分方程理论，必存在一函数,(,x,y,),，使得,(k),(2),通解,式,(a),的齐次方程：,(d),的通解：,(k),对应于平衡微分方程的齐次方程通解。,(3),全解,取特解为：,则其全解为：,(2-26),常体力下平衡方程（,a,）的全解。,由式（,2-26,）看：不管,(,x,y,),是什么函数，都能满足平衡方程。,(,x,y,),平面问题的应力函数,Airy,应力函数,2,、,相容方程的应力函数表示,(2-26),将式（,2-26,）代入常体力下的相容方程：,(2-25),有：,注意到体力,fx,、,fy,为常量，有,将上式展开，有,(2-27),应力函数表示的相容方程,给出了应力函数满足的条件。,2,、,相容方程的应力函数表示,将式（,2-26,）代入常体力下的相容方程：,(2-25),有：,注意到体力,fx,、,fy,为常量，有,将上式展开，有,(2-27),应力函数表示的相容方程,给出了应力函数满足的条件。,式（,2-27,）可简记为：,或：,式中：,满足方程,(2-27),的函数,(,x,y,),称为重调和函数（或双调和函数）,结论：,应力函数,应为一重调和函数,按应力求解平面问题（,fx,=,常量、,fy,=,常量）的归结为：,（,1,）,(2-27),（,2,）,然后将 代入式（,2-26,）求出应力分量：,先由方程（,2-27,）求出应力函数：,(2-26),（,3,）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,3.,应力函数 求解方法,(2-28),（无体力情形）,3.,应力函数 求解方法,（,1,）,逆解法,（,1,）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设各种满足相容方程（,2-27,）的,(,x,y,),的形式；,（,2,）,主要适用于简单边界条件的问题。,然后利用应力分量计算式（,2-26,），求出 （具有待定系数）；,（,3,）,再利用应力边界条件式（,2-18,），来考察这些应力函数,(,x,y,),对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数,(,x,y,),可以求解什么问题。,（,2,）,半逆解法,（,1,）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式；,（,2,）,根据 与应力函数,(,x,y,),的关系及 ，求出,(,x,y,),的形式；,（,3,）,最后利用式（,2-26,）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。,半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。,第二章小结,2,ZS,1.,两类平面问题：,平面应力问题；平面应变问题。,（两类平面问题中基本方程的异同）,2.,平面问题的基本方程：,平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件（位移、应力）。,（几何特点、受力特点、应力或应变特点）,3.,平面问题的求解,（,1,）,按位移求解平面问题,（,2,）,按应力求解平面问题,基本方程：,（,1,）用位移表示的平衡微分方程；,（,2,）用位移表示的应力边界条件；,（,3,）边界条件：应力、位移边界条件。,相容方程（形变协调方程）：,（应变表示形式、应力表示形式、应力函数表示。）,（,2,）,按应力求解平面问题,相容方程（形变协调方程）：,（应变表示形式、应力表示形式、应力函数表示。）,应力函数表示的应力分量表达式：,(2-26),常体力下的简化；,应力函数的求解方法：,（逆解法、半逆解法。）,按应力求解平面问题的基本步骤：,（,1,）,(2-27),（,2,）,然后将 代入式（,2-26,）求出应力分量：,先由方程（,2-27,）求出应力函数：,(2-26),（,3,）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,按应力求解平面问题的基本步骤：,4.,应力边界条件的列写及圣维南原理的应用,.,5.,任意斜面上应力、主应力、主方向；任意方向正应变的计算。,6.,任意斜面上线应变、变形后两线段夹角改变量的计算。,习 题：,预习,弹性力学简明教程,第三章内容,本讲作业,2,ZS,下一讲再见！,ZS,2025/4/29 周二,