9(7)散度和高斯公式演示课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,向量场的散度,散度的计算,第七节,散度和,高斯,(Gauss),公式,第九章 曲线积分与曲面积分,高斯 Gauss,K.F.(17771855),德国数学家、物理学家、天文学家,高斯公式,小结 思考题 作业,1,一、向量场的散度,1.,通量,源,水流从原点喷出,我们称原点是一个源.,汇,水流流向原点,我们称原点是一个汇.,为向量场,设有一向量场,则称沿场中,有向曲面,某一侧的曲面积分:,通量.,穿过曲面,这一侧的,散度和,高斯,(Gauss),公式,2,通量的计算公式,散度和,高斯,(Gauss),公式,3,2,.散度,设有向量场,为场中任一点,在,P,点的某邻域内作一包含,P,点在其内的闭曲面,它所围成的小区域及其体积记为,表示,内穿出的通量,若当,缩成,P,点时,极限,记为,散度.,存在,则该极限值就称为向量场,在,P,点处的,即,散度和,高斯,(Gauss),公式,4,若 表示流速,则散度表示在某一点处,单位时间内通过单位体积流体的流量.,使得 的点称为源,使得 的点称为汇,当 时,则称向量场 为无源场.,散度和,高斯,(Gauss),公式,5,二、散度的计算,设有向量场,有连续的偏导数,则散度的计算公式为,推导:考虑流出小立方体的六个面的流量的总和,再由散度的定义即可推导出此公式.,散度和,高斯,(Gauss),公式,6,引入算子向量,则有,例1 求向量场,散度和,高斯,(Gauss),公式,7,格林公式,把平面上的,闭曲线积分,与,本节的,高斯公式,表达了空间闭曲面,上的,曲面积分,与曲面所围空间区域上的,它有明确的物理背景,三重积分,的关系.,所围区域的,二重积分,联系,起来.,通量与散度.,三、高斯公式,散度和,高斯,(Gauss),公式,8,设空间中点 处的不可压缩流体的速度为,为一光滑闭曲面,围成的区域为,单位外法向量为,则单位时间内通过 流出的流体质量(即流量)为,散度和,高斯,(Gauss),公式,9,另一方面,在 内任取一微元 ,它包含点,流出的流量为,因此整个区域 流出的流量为,根据质量守恒定理,有,这就是,高斯公式,.,散度和,高斯,(Gauss),公式,10,高斯公式称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯基公式.(俄)1801 1861,具有,则有公式,一阶连续偏导数,或,外侧,高斯公式,定理 (散度定理),散度和,高斯,(Gauss),公式,11,证明思路,分别证明以下三式,从而完成定理证明.,只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.,散度和,高斯,(Gauss),公式,12,证,设空间区域,母线平行于,z,轴的柱面.,即边界面,三部分组成:,(取下侧),(取上侧),(取外侧),散度和,高斯,(Gauss),公式,13,由,三重积分,的计算法,投影法(先单后重法),散度和,高斯,(Gauss),公式,14,由,曲面积分,的计算法,取,下,侧,取,上,侧,取,外,侧,一投,二代,三定号,散度和,高斯,(Gauss),公式,15,于是,散度和,高斯,(Gauss),公式,16,同理,合并以上三式得,自己证,高斯公式,散度和,高斯,(Gauss),公式,17,若区域,的边界曲面,与任一平行于坐标轴,的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的,曲面把,分为有限个闭区域,使得每个闭区域满,足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两,个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正,好抵消.,因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正,确的.,散度和,高斯,(Gauss),公式,18,由两类曲面积分之间的关系知,高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了,它能简化曲面积分的计算.,一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其,边界曲面上的曲面积分之间的关系.,高斯Gauss公式的实质,散度和,高斯,(Gauss),公式,19,注意,则Gauss公式仍成立。,（2）在Gauss公式中，,则由闭曲面所围成的立体的体积为,(3)高斯公式也可写成,散度和,高斯,(Gauss),公式,20,解,球,例2,外侧.,因是闭曲面,可利用,高斯公式,计算.,散度和,高斯,(Gauss),公式,21,使用,Guass,公式时易出的差错:,(1)搞不清,(2)不满足高斯公式的条件,用公式计算;,(3)忽略了,的取向,注意是,取闭曲面的,外侧.,高斯公式,散度和,高斯,(Gauss),公式,22,例3 计算,解：,散度和,高斯,(Gauss),公式,23,散度和,高斯,(Gauss),公式,24,即,说明：,散度和,高斯,(Gauss),公式,25,例4,解,外侧.,能否直接用,点(,x,y,z,),在曲面上,然后再用,高斯公式,.,可先用曲面方程将被积,因被积函数中的,函数化简，,高斯公式,散度和,高斯,(Gauss),公式,26,有时可作,辅助面,(将辅助面上的积分减去).,化为闭曲面的曲面积分,然后利用,高斯公式.,对有的,非闭曲面,的曲面积分,散度和,高斯,(Gauss),公式,27,例5,计算曲面积分,之间,下侧.,的法向量的方向余弦.,部分的,解,空间曲面,在,xOy,面上的,曲面,不是,为利用高斯公式.,投影域为,补,构成,封闭曲面,使用,高斯公式.,封闭曲面,散度和,高斯,(Gauss),公式,28,由对称性,先二后一法,散度和,高斯,(Gauss),公式,29,故所求积分为,散度和,高斯,(Gauss),公式,30,例6 设函数,u,(,x,y,z,)和,v,(,x,y,z,)在闭区域,上具有,其中,是闭区域,的整个边界曲面,v,(,x,y,z,)沿,的外法线方向的方向导数,称为,拉普拉斯(Laplace)算子.,格林第一公式,一阶及二阶连续偏导数,证明,为函数,符号,即,散度和,高斯,(Gauss),公式,31,证,因为方向导数,是,在点(,x,y,z,),处的外法线,向量的方向余弦.,于是曲面积分,散度和,高斯,(Gauss),公式,32,移项后,即证.,高斯公式,散度和,高斯,(Gauss),公式,33,高斯Gauss公式,物理意义,-,通量,与,散度,四、小结,表达了空间闭区域上的三重积分与其,边界曲面上的曲面积分之间的关系.,高斯Gauss公式的实质,(注意使用的条件),散度和,高斯,(Gauss),公式,34,解,(如图),练习,计算曲面积分,绕,y,轴旋转曲面方程为,一周所成的曲面,它的法向量与,y,轴正向的夹角,绕,y,轴旋转,散度和,高斯,(Gauss),公式,35,取右侧.,有,高斯公式,柱坐标,散度和,高斯,(Gauss),公式,36,取右侧,故,散度和,高斯,(Gauss),公式,37,作 业,习题9.7(213页),4.(2)(4)5.(1),(B)2.,散度和,高斯,(Gauss),公式,38,