湖北省荆州市沙市中学2025届高三12月考-数学试题（含答案）.docx

2
024—2025 学年度上学期 2022 级
1
2 月月考数学试卷
命题人：郭松
审题人：冷劲松
考试时间：2024 年 12 月 26 日
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
3
-i
=
z =
（其中i 为虚数单位），则 （ ）
1
2
．已知复数 z
1
+ 2i
5
2
A．
B．
C． 2
D．
5
5
2
．用最小二乘法得到一组数据 (
x , y (i =1, 2,3, 4,5, 6) yˆ = 2x + 3，若
的线性回归方程为
)
i
i
6
6
å
å
xi = 30
yi =
，
则
（
）
i=1
i=1
A．11
B．13
C．63
Sn 3n + 4
D．78
2a6
．已知等差数列{a }和{b }的前 n 项和分别为 S 、T ，若
=
3
，则
（
）
n
n
n
n
Tn
n + 2
b2 + b
10
A．1
11
B．
37
13
C．
111
26
D．
3
7
1
3
26
r
1
2
ar - 2b =
，则
r
-
b
4
5
．设 a,b 为单位向量， a 在b 方向上的投影向量为
（
）
A． 2
B． 3
C． 5
D． 7
æ
è
π ö
3 ø
π
．已知函数 f (x) sinç x
=
w +
÷(w > 0)的图象向左平移 后所得的函数为奇函数，则w 的最小
12
值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
6
．记抛物线 y2 = 2px( p > 0) 的焦点为 F, A(4,m)为抛物线上一点， AF = 6，直线 AF 与抛物线另
AF
=
一交点为 B ，则
（
）
BF
1
1
A．
B．
C．2
D．3
3
2
试卷第 1 页，共 5 页

．直三棱柱 ABC A B C 中， AB AC AA 2 2 ，P 为 BC 中点，
-
=
=
=
7
1
1
1
1
1
1
AP = BC ，Q 为 AC 上一点， AQ = AC ，则经过 A，P，Q 三点的
1
1
1
1
1
2
2
平面截此三棱柱所成截面的面积是（
）
9
7
2
A．
B．4
C．
D．5
2
f (x)
定义域为 ，且
R
f (2x +1)
f (x)
(2,3)
关于点 成中心对称，则
8
．若函数
为偶函数，
f (1) + f (2) +L+ f (23)
的值是（
）
A．57
B． 62
C． 69
D． 72
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9
．下列关于平面向量的说法中正确的是（
）
A．已知点 A,B,C 是直线 l 上三个不同的点，O 为直线 l 外一点，且OC = xOA + 0.4OB ，则
x = 0.6
æ
5
,+¥ö
÷
r
r
B．已知向量 a = (1, 2),b = (1,1) ，且 a 与 a + lb 的夹角为锐角，则l 的取值范围是ç
-
è 3
ø
C．已知点 G 为VABC 三条边的中线的交点，则GA
+
GB + GC
=
0
D．已知 AB = (2 3, 2), AC = (-1,- 3) ，则
在 AC 上的投影的坐标为( 3, 3)
AB
1
0．如图所示，若长方体 AC 的底面是边长为 2 的正方形，高为 4．E 是
DD
的中点，则（ ）
1
A． B1E ^ A1B
8
3
B．三棱锥C1 - B1CE 的体积为
C． 平面B CE P 平面A BD
1
1
D．三棱锥C1 B CD 的外接球的表面积为 24π
-
1
1
试卷第 2 页，共 5 页

x
2
2
y
2
2
､
F
1
1．已知双曲线C :
-
= 1(a > 0,b > 0)的左､右焦点分别为 F F ，过点 的直线与C 的左支相
1
2
1
a
b
P,Q
PQ ^ PF
4 PQ = 3 PF
，且 ，则（
交于
两点，若
）
2
2
A． PQ = 4a
B．3PF PQ
=
1
2
2
C．双曲线C 的渐近线方程为 y = ±
x
3
D．直线 PQ 的斜率为 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2． (x + a)10 的展开式中， x7 的系数为
15，则
a=________.（用数字填写答案）
1
a
=(9a)8a
( ) =
log 3a
，则
______.
a
a
1
1
3．已知正实数 满足
a
4．在四面体 ABCD 中，△ABD 是边长为4 2 的等边三角形，
BC ^ CD ， BC = CD
，
AC = 4 3 ，点 E 在棱 BD 上，且 BD = 4BE
所得截面圆的面积最小值与球O 的表面积之比为
，过点 E 作四面体 ABCD 的外接球O 的截面，则
．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
3
1
5．△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知bcosC +
csin B = a ．
3
（
（
1）求 B；
2）若 a2 + c2 = 2，求 b 的取值范围．
1
2
1
6．已知函数 f (x) = ln x + ax2
-3x .函数
f (x)在 x =
处取得极值.
（
（
1）求实数 a；
(
- )
m x2
x
1
x Î 1,2
[ ]，当
x < x
f (x )- f (x ) >
2）对于任意x1 ，
时，不等式
恒成立，求实
2
1
2
1
2
x1x2
数 m 的取值范围.
试卷第 3 页，共 5 页

ABCD - A B C D
、Q
C D BB
分别为棱
1
7．如图，在棱长为 2 的正方体
中，
M
、
N
、
、
1
1
1
1
1
1
1
A1B
A N ^
1
AMQ
平面
的中点.（1）求证：
；
1
N - AM -Q
（
2）求二面角
的余弦.
F (-2, 0) F (2, 0)
F
1
8．已知椭圆 C 的两个焦点
，
，过 点且与坐标轴不平行的直线 l 与椭圆 C 相
1
2
1
交于 M，N 两点，VMNF
的周长等于 16.
2
（
（
1）求椭圆 C 的标准方程；
P(-8, 0)
AF BF
k
1
2）若过点
的直线与椭圆 C 交于两点 A，B，设直线
，
的斜率分别为
，
1
1
k
.
2
k + k
为定值；
（
（
i）求证：
1
2
ii）求VABF
面积的最大值.
1
³
2
，设数列 a ,a ,L,a 是1, 2,L,n 的一个排列，对iÎ{1, 2,L,n}, x 表示以
1
9．给定正整数 n
1
2
n
i
a
i
y
a
i
为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度）， 表示以 为首项的
i
a
a
x = 0
i
a
i
递减子列的最大长度.我们规定：当 后面的项没有比 大时，
，当 后面的项没有
i
i
a
i
y = 0
i
n = 3,a = 2,a =1,a = 3
x = 2
1
比
小时，
.例如数列：
，则.
，
1
2
3
y = 2, x = 2, y = 0, x = 0, y = 0
.
1
2
2
3
3
4
å
n = 4,a =1,a = 4,a = 2,a = 3
x , y
1
xi - y
i
（
1）若
，求
和
；
1
2
3
4
2
i=1
试卷第 4 页，共 5 页

{
} (
) (
2
)
2
¹ 0；
iÎ 1, 2,L,n -1 , x - y + x - y
（
（
2）求证："
i
i
i+1
i+1
n
å
xi - y
3）求
的最值.
i
i=1
试卷第 5 页，共 5 页

高三年级 12 月月考数学答案
1
1
．C 2．D
3．B
4． D 5．D
6．C
7．A
8．C 9．ACD 10．BD 11．BC
1
9
1
2．
13.
0.5625
14． /1：8
2
16
8
p
é
1, 2)
(2)
5. (1) B
=
1
ë
3
3
3
(1)由正弦定理及bcosC +
csin B = a 可得sin BcosC +
sinCsin B = sin A，又 B + C = p - A，
3
3
3
3
则sin BcosC +
sinC sin B = sin(B + C)，即sin BcosC +
sinC sin B = sin BcosC + cos BsinC ，
3
3
3
3
(
)
sinC sin B = cos BsinC ，因为sinC 0，所以
¹
sin B = cos B ， tan B
=
3 ，因为 ，所以
BÎ 0,p
则
3
3
p
B =
．
3
(2)由余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2accos B = 2 - ac ，因为 2ac ≤ a2 + c2 = 2 ， ac £1，所以b2 ³1，当且仅当
é
1, 2)
a = c =1 时取等号．又因为 ac 0，所以b2 2．综上所述，1≤b2 2 ，b 的取值范围是
>
<
<
．
ë
1
6.(1) a =1 (2)(-¥,-6]
1
2ax2 -3x +1
1
2
（
1） f ¢(x)
=
+
2ax -3 =
，因为
( )
f x
在
x =
处取得极值，故
x
x
æ 1 ö2
è 2 ø
(
- )( - )
2x 1 x 1
1
a
1
2
f (x) = ln x + x2 -3x
a =1时，
， f
¢(x) =
a´
-3´ +1=
-
= 0，解得 a
=1.当
，故
2
ç ÷
2
2
x
1
2
1
(
)
=
=
a =1
左右导函数异号，满足极值点条件，故
f x
x
处导函数为 0，且在
x
在
2
(
- )
m
m
m
m
x2
m x2
x
1
（
2） f (x )- f x
( )
>
=
-
Þ f x - > f x
2
( )
( )
-
，构造函数
1
2
1
x1x2
x1 x2
x1
m
x
m
(
) = ( )-
f x
=
+
x2
-3x
-
，即 ( )> ( )，因为任意
x1 ， x2 Î[1, 2]
，当
x1 < x2
时，不等式
g x
ln x
g x1 g x
2
x
(
- )
m x
x
(
)- ( ) >
2
1
( )
g x
1,2
Î[ ]
上单调递减，
f x
f x2
x
恒成立，所以函数
在
1
x1x2
1
m
即 g¢(x)
=
+
2x -3+
£
xÎ[1, 2]
0 在 上恒成立，由
x
x
2
1
m
¢
( ) =
+
2x -3+ £ 0 Þ £ -2x3 3x2 - x ，
+
g x
m
x
x
2
1

1
2
1
2
设 ( )
h x -2x3 3x2
=
+
- Þ ¢
h x = -6x2 6x 1 6(x
( )
+
- = -
-
2
+
xÎ[1, 2]
，因为 ，所以
-13 £ h¢(x)£ -1，所
x
)
以函数 h(x) = -2x3 + 3x2
- x单调递减，
故 ( )
= h(2) = -6
，因此
m
的取值范围为(-¥,-6]
h x
m £ -6
，故实数
min
9
8
1
7.（1）证明见解析 （2）
ABCD - A B C D
Q
C1D
A1B
的中点，所以
【
解析】（1）证明：正方体
中，
M
，
分别为棱
ABB1A
平 面 ， 所 以
，
1
1
1
1
1
1
QM //A1D
A D ^
ABB1A
A1N Ì
，
平 面
，
1
1
1
1
1
AD ^ A N
QM ^ A1N
ABB1A
B B
Q
AQ
，
所以
，正方形
中，
N
为
的中点，
1
1
1
1
1
A B
△AA Q≌△A B N
ÐQAA = ÐNA B
，所以 ，设
为
的中点，所以
、
1
1
1
1
1
1
1
1
A1N
ÐQA H + ÐAQH = 90°
ÐA1HQ = 90°
， 所 以 ， 即
交 点 为 H ， 则
1
1
A1N ^ AQ
AQ 、 QM Ì
AMQ ， AQ ÇQM = Q A1N ^
，所以
；
又
平面
AMQ
平面
2）如图，以点 D 为原点，分别以 DA 、 DC 、
空间直角坐标系.因为正方体棱长为 2， M ， N ，Q
.
y
DD
x
z
（
为
，
，
轴建立
1
C D BB
分别为棱
，
，
1
1
1
A1B
D(0, 0, 0) A(2, 0, 0)， M (0,1, 2) N (2, 2,1)，Q(2,1, 2).
， ，
的中点. 所以
1
AN = 0, 2,1
(
)，
AM = (-2,1, 2)
A N
^
r
AMQ
平面
所以
.由（1）知
.
1
A N = 0,2,-1
(
)是平面
AQM
m (x , y , z )
=
ANM
所以
r
的一个法向量，设
是平面
的法向量，则
1
2
2
2
ì
ïm× AM = -2x + y + 2z = 0,
r
æ 3
ö
ø
2
2
2
m = - ,1,-2
í
î
uuur
y =1
2
ç
÷
r
取
，得
，
ïm× AN = 2y + z = 0,
è 2
2
2
r
uuuur
r
A N ×m
8
8
cos A N,m = uu1uur
=
N
-
AM -Q
的余弦值为
所以
r
，所以二面角
，
1
A N m
145
145
1
x
2
y
2
+
=1； （2）（i）证明见解析；（ii）VABF
面积的最大值为3 3 .
1
8. （1）
1
1
6 12
ìa = 4
ìc = 2
ï
ï
í4a =16
Þ íb = 2 3
【
小问 1 详解】由题意可得椭圆焦点在 x 轴上，且
，
ï
ï
a
2
= b2 + c2
c = 2
î
î
x
2
y
2
+
=1.
所以椭圆的方程为
1
6 12
k = k = 0
，所以
【
小问 2 详解】（i）证明：由题意可知直线斜率存在，当直线斜率为 0 时，显然
1
2
k + k = 0
x = my -8，
当直线斜率不为 0 时，设直线方程为
；
1
2
2

ìx = my -8
ï
(
)
Þ 3m2 + 4 y2 - 48my +144 = 0
联立 x2
í
y
2
，
+
=1
ï
î16 12
(
)
2
(
)
Δ = -48m - 4 3m2 + 4 ´144 = 576m2 - 2304 > 0 Þ m2 > 4，
则
1
44
48m
y y =
, y + y =
设퐴(푥 ,푦 ),퐵(푥 ,푦 )，则
，
1
1
2
2
1
2
+
1
2
+
3
m
2
4
3m2
4
(
- )+ (
- )
)
y1
+
y2
y1
y2
y my
6
y my
6
k + k =
+
=
+
=
1
2
2
1
所以
，
1
2
+
-
-
(my )(
-
-
x1
2
x2
2
my1
6
my2
6
6 my2
6
1
1
44
+
48m
因为 (
y my - 6 + y my - 6 = 2my y - 6 y + y = 2m´
)
(
)
(
)
- 6´
= 0
，
1
2
2
1
1
2
1
2
m2
3m2
+
3
4
4
k + k = 0
k + k
1
所以
.综上，
为定值 0.
1
2
2
2
-
æ 48m ö
144
24 m2
4
ii）由（i）可得 y1 y2
-
=
(y1 y )2 4y1 y2
+
-
=
- 4´
=
，
（
ç
÷
2
2
+
3m2
+
3m2
+
è 3m 4 ø
4
4
1
2
1
24 m2 - 4 72 m2 - 4
所以 SVABF = SVPAF - SVPBF
=
PF y - y = ´6´
=
，
1
1
2
3m2
+
3m2
+
2
4
4
1
1
1
7
2
7
2 m2 - 4
3m2 + 4
72 m2 - 4
3(m2 - 4)+16
72
£
= 3 3
SVABF
=
=
=
所以
16
- 4
16
- 4
，
1
2 3 m2
- 4 ´
3
m
2
- 4 +
2
m
2
m
1
6
2
8
当且仅当3
所以VABF
m
2
- 4 =
即
m2
=
>
4时等号成立，
m
2
- 4
3
面积的最大值为3 3 .
1
4
å
x = 3, y = 2
x - y = 7
1
9. （1）
，
（2）证明见解析；
1
2
i
i
i=1
n
n
n -1
å
n
å
n
xi - y
n
的最小值为 ；当 为奇数时，
xi - y
的最小值为
i
（
【
3）当 为偶数时，
；
i
2
2
i=1
i=1
小问 1 详解】以 a1 为首项的最长递增子列是
a ,a ,a
，所以
x = 3
1
，因为 后面的项都比 小，所以
a
2
a
2
1
3
4
x2 = 0
a
3
a ,a
x
3
=
2
a
x = 0
，
以
为首项的最长递增子列是
，所以
，因为 后面没有项，所以 ；
3
4
4
4
y = 0
1
a
a ,a
a ,a
y = 2
，所以
因为 a 后面的项都比 a 大，所以
，以 为首项的最长递减子列是
或者
；
1
1
2
2
3
2
4
2
a
a
y = 0
3
a
y = 0
4
因为 后面的项都比 大，所以
，因为 后面没有项，所以
；
3
3
4
3

4
4
å
å
x - y = 3+ 2 + 2 + 0 = 7
x = 3, y = 2
x - y = 7
所以
，即
，
i
i
1
2
i
i
i=1
i=1
iÎ 1, 2,L,n
{
}，由于数列
a ,a ,L,a 是1, 2,L,n
a ¹ a
的一个排列，故
i+1
【
若
小问 2 详解】对于
，
1
2
n
i
a < a
a
i+1
a
a
i
，则每个以
为首项的递增子列都可以在前面加一个 ，得到一个以 为首项的更长的递增
i
i+1
i
x > x
a
a
i+1
a < a
，且
i+1
子列，所以
，而每个以 为首项的递减子列都不包含
，
i
i+1
i
i
a
a
i+1
y £ y
x - y > x - y
，这意味着
i+1 i+1
故可将 替换为
，得到一个长度相同的递减子列，所以
；
i
i
i+1
i
i
a > a
y > y
x £ x
x - y < x - y
若
，同理有
，
，故
，
i
i+1
i
i+1
i
i+1
i
i
i+1
i+1
x - y ¹ x - y
x - y x - y
i+1 i+1
总之
，且
和
不能同时为零，
i
i
i+1
i+1
i
i
{
} (
) (
2
)
2
¹ 0.
故"iÎ 1, 2,L,n -1 , x - y + x - y
i
i
i+1
i+1
x - y x - y
x - y + x - y ³1，
i+1 i+1
【
当
小问 3 详解】由（2）可知
和
不能同时为零，故
i
i
i+1
i+1
i
i
n
k
k
n
å
å
å
x - y = ( x - y2i-1 + x - y )³ 1= k =
n
n = 2k
为偶数时，设
，一方面有
；
i
i
2i-1
2i
2i
2
i=1
i=1
i=1
ìa = k -i +1
a ,a ,L,a
í
2
i-1
，i =1, 2,L,k
另一方面，考虑这样一个数列
：
，
1
2
n
a = k + i
î
2
i
ìx = k -i + 2 ìy = k -i +1
则对i =1, 2,L,k
有
2
i-1
,
2i-1
，
í
í
x = k -i +1
y = k -i +1
2i
î
î
2
i
n
k
k
n
å
å
å
x - y =
x2i-1 - y2i-1
=
1= k =
故此时
；
i
i
2
i=1
i=1
i=1
n
å
n
n
结合以上两方面可得，当 为偶数时，
xi - y
n
的最小值为 ；当 为奇数时，设
n = 2m -1，
i
2
i=1
n
n-1
m-1
m-1
n -1
å
å
å
å
(
)
x - y ³
x - y =
x2i-1 - y2i-1 + x2i - y2i
³
1= m -1=
一方面有
；
i
i
i
i
2
i=1
i=1
i=1
i=1
ìa = m
1
ï
a ,a ,L,a
ía = m + i ，i =1, 2,L,m -1
，
2i
另一方面，考虑这样一个数列
：
1
2
n
ï
a
2
= m -i
i+1
î
ìx = m
ìy = m
1
1
ï
ï
则对i =1, 2,L,m -1有 íx = m -i ,íy = m -i +1
，
2
i
2i
ï
ï
x
2
= m -i
y
= m -i
2i+1
î
î
i+1
4

n
m-1
m-1
n -1
å
å
å
x - y =
x - y = 1= m -1=
故此时
；
i
i
2i 2i
2
i=1
i=1
i=1
n
n -1
å
n
结合以上两方面可得，当 为奇数时，
xi - y
的最小值为
i
；
2
i=1
n
å
n
n
综上可得，当 为偶数时，
xi - y
的最小值为
i
；
2
i=1
n
n -1
å
n
xi - y
的最小值为
i
当
为奇数时，
；
2
i=1
5