湖北省荆州市沙市中学2025届高三12月考-数学试题（含答案）.docx

20242025 学年度上学期 2022 级12 月月考数学试卷命题人：郭松审题人：冷劲松考试时间：2024 年 12 月 26 日一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3-i=z =（其中i 为虚数单位），则 （ ）12已知复数 z1+ 2i52ABC 2D552用最小二乘法得到一组数据 (x , y (i =1, 2,3, 4,5, 6) y = 2x + 3，若的线性回归方程为)ii66xi = 30yi =，则（）i=1i=1A11B13C63Sn 3n + 4D782a6已知等差数列a 和b 的前 n 项和分别为 S 、T ，若=3，则（）nnnnTnn + 2b2 + b10A111B3713C11126D371326r12ar - 2b =，则r-b45设 a,b 为单位向量， a 在b 方向上的投影向量为（）A 2B 3C 5D 7 3 已知函数 f (x) sin x=w +(w 0)的图象向左平移 后所得的函数为奇函数，则w 的最小12值为（）A2B4C6D86记抛物线 y2 = 2px( p 0) 的焦点为 F, A(4,m)为抛物线上一点， AF = 6，直线 AF 与抛物线另AF=一交点为 B ，则（）BF11ABC2D332试卷第 1 页，共 5 页 直三棱柱 ABC A B C 中， AB AC AA 2 2 ，P 为 BC 中点，-=7111111AP = BC ，Q 为 AC 上一点， AQ = AC ，则经过 A，P，Q 三点的1111122平面截此三棱柱所成截面的面积是（）972AB4CD52f (x)定义域为 ，且Rf (2x +1)f (x)(2,3)关于点 成中心对称，则8若函数为偶函数，f (1) + f (2) +L+ f (23)的值是（）A57B 62C 69D 72二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分9下列关于平面向量的说法中正确的是（）A已知点 A,B,C 是直线 l 上三个不同的点，O 为直线 l 外一点，且OC = xOA + 0.4OB ，则x = 0.65,+rrB已知向量 a = (1, 2),b = (1,1) ，且 a 与 a + lb 的夹角为锐角，则l 的取值范围是- 3C已知点 G 为VABC 三条边的中线的交点，则GA+GB + GC=0D已知 AB = (2 3, 2), AC = (-1,- 3) ，则在 AC 上的投影的坐标为( 3, 3)AB10如图所示，若长方体 AC 的底面是边长为 2 的正方形，高为 4E 是DD的中点，则（ ）1A B1E A1B83B三棱锥C1 - B1CE 的体积为C 平面B CE P 平面A BD11D三棱锥C1 B CD 的外接球的表面积为 24-11试卷第 2 页，共 5 页 x22y22F11已知双曲线C :-= 1(a 0,b 0)的左右焦点分别为 F F ，过点 的直线与C 的左支相121abP,QPQ PF4 PQ = 3 PF，且 ，则（交于两点，若）22A PQ = 4aB3PF PQ=122C双曲线C 的渐近线方程为 y = x3D直线 PQ 的斜率为 4三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。2 (x + a)10 的展开式中， x7 的系数为15，则a=_.（用数字填写答案）1a=(9a)8a( ) =log 3a，则_.aa113已知正实数 满足a4在四面体 ABCD 中，ABD 是边长为4 2 的等边三角形，BC CD ， BC = CD，AC = 4 3 ，点 E 在棱 BD 上，且 BD = 4BE所得截面圆的面积最小值与球O 的表面积之比为，过点 E 作四面体 ABCD 的外接球O 的截面，则四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。315ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知bcosC +csin B = a 3（1）求 B；2）若 a2 + c2 = 2，求 b 的取值范围1216已知函数 f (x) = ln x + ax2-3x .函数f (x)在 x =处取得极值.（1）求实数 a；(- )m x2x1x 1,2 ，当x 2）对于任意x1 ，时，不等式恒成立，求实21212x1x2数 m 的取值范围.试卷第 3 页，共 5 页 ABCD - A B C D、QC D BB分别为棱17如图，在棱长为 2 的正方体中，M、N、1111111A1BA N 1AMQ平面的中点.（1）求证：；1N - AM -Q（2）求二面角的余弦.F (-2, 0) F (2, 0)F18已知椭圆 C 的两个焦点，过 点且与坐标轴不平行的直线 l 与椭圆 C 相121交于 M，N 两点，VMNF的周长等于 16.2（1）求椭圆 C 的标准方程；P(-8, 0)AF BFk12）若过点的直线与椭圆 C 交于两点 A，B，设直线，的斜率分别为，11k.2k + k为定值；（i）求证：12ii）求VABF面积的最大值.12，设数列 a ,a ,L,a 是1, 2,L,n 的一个排列，对i1, 2,L,n, x 表示以19给定正整数 n12niaiyai为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度）， 表示以 为首项的iaax = 0iai递减子列的最大长度.我们规定：当 后面的项没有比 大时，当 后面的项没有iiaiy = 0in = 3,a = 2,a =1,a = 3x = 21比小时，.例如数列：，则.，123y = 2, x = 2, y = 0, x = 0, y = 0.122334n = 4,a =1,a = 4,a = 2,a = 3x , y1xi - yi（1）若，求和；12342i=1试卷第 4 页，共 5 页 () (2)2 0；i 1, 2,L,n -1 , x - y + x - y（2）求证：iii+1i+1nxi - y3）求的最值.ii=1试卷第 5 页，共 5 页 高三年级 12 月月考数学答案11C 2D3B4 D 5D6C7A8C 9ACD 10BD 11BC191213.0.562514 /1：82168p1, 2)(2)5. (1) B=1333(1)由正弦定理及bcosC +csin B = a 可得sin BcosC +sinCsin B = sin A，又 B + C = p - A，3333则sin BcosC +sinC sin B = sin(B + C)，即sin BcosC +sinC sin B = sin BcosC + cos BsinC ，3333()sinC sin B = cos BsinC ，因为sinC 0，所以sin B = cos B ， tan B=3 ，因为 ，所以B 0,p则33pB =3(2)由余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2accos B = 2 - ac ，因为 2ac a2 + c2 = 2 ， ac 1，所以b2 1，当且仅当1, 2)a = c =1 时取等号又因为 ac 0，所以b2 2综上所述，1b2 2 ，b 的取值范围是=- f x - f x2( )( )-，构造函数121x1x2x1 x2x1mxm() = ( )-f x=+x2-3x-，即 ( ) ( )，因为任意x1 ， x2 1, 2，当x1 21( )g x1,2 上单调递减，f xf x2x恒成立，所以函数在1x1x21m即 g(x)=+2x -3+x1, 20 在 上恒成立，由xx21m( ) =+2x -3+ 0 -2x3 3x2 - x ，+g xmxx21 1212设 ( )h x -2x3 3x2=+- h x = -6x2 6x 1 6(x( )+- = -2+x1, 2，因为 ，所以-13 h(x) -1，所x)以函数 h(x) = -2x3 + 3x2- x单调递减，故 ( )= h(2) = -6，因此m的取值范围为(-,-6h xm -6，故实数min9817.（1）证明见解析 （2）ABCD - A B C DQC1DA1B的中点，所以【解析】（1）证明：正方体中，M，分别为棱ABB1A平 面 ， 所 以，111111QM /A1DA D ABB1AA1N ，平 面，11111AD A NQM A1NABB1AB BQAQ，所以，正方形中，N为的中点，11111A BAA QA B NQAA = NA B，所以 ，设为的中点，所以、11111111A1NQA H + AQH = 90A1HQ = 90， 所 以 ， 即交 点 为 H ， 则11A1N AQAQ 、 QM AMQ ， AQ QM = Q A1N ，所以；又平面AMQ平面2）如图，以点 D 为原点，分别以 DA 、 DC 、空间直角坐标系.因为正方体棱长为 2， M ， N ，Q.yDDxz（为，轴建立1C D BB分别为棱，111A1BD(0, 0, 0) A(2, 0, 0)， M (0,1, 2) N (2, 2,1)，Q(2,1, 2).， ，的中点. 所以1AN = 0, 2,1()，AM = (-2,1, 2)A NrAMQ平面所以.由（1）知.1A N = 0,2,-1()是平面AQMm (x , y , z )=ANM所以r的一个法向量，设是平面的法向量，则1222m AM = -2x + y + 2z = 0,r 3222m = - ,1,-2uuury =12r取，得，m AN = 2y + z = 0, 222ruuuurrA N m88cos A N,m = uu1uur=N-AM -Q的余弦值为所以r，所以二面角，1A N m1451451x2y2+=1； （2）（i）证明见解析；（ii）VABF面积的最大值为3 3 .18. （1）116 12a = 4c = 24a =16 b = 2 3【小问 1 详解】由题意可得椭圆焦点在 x 轴上，且，a2= b2 + c2c = 2x2y2+=1.所以椭圆的方程为16 12k = k = 0，所以【小问 2 详解】（i）证明：由题意可知直线斜率存在，当直线斜率为 0 时，显然12k + k = 0x = my -8，当直线斜率不为 0 时，设直线方程为；122 x = my -8() 3m2 + 4 y2 - 48my +144 = 0联立 x2y2，+=116 12()2() = -48m - 4 3m2 + 4 144 = 576m2 - 2304 0 m2 4，则14448my y =, y + y =设( , ),( , )，则，112212+12+3m243m24(- )+ (- )y1+y2y1y2y my6y my6k + k =+=+=1221所以，12+-(my )(-x12x22my16my266 my261144+48m因为 (y my - 6 + y my - 6 = 2my y - 6 y + y = 2m)()()- 6= 0，12211212m23m2+344k + k = 0k + k1所以.综上，为定值 0.1222- 48m 14424 m24ii）由（i）可得 y1 y2-=(y1 y )2 4y1 y2+-=- 4=，（22+3m23m2+ 3m 4 4412124 m2 - 4 72 m2 - 4所以 SVABF = SVPAF - SVPBF=PF y - y = 6=，1123m2+3m2+2441117272 m2 - 43m2 + 472 m2 - 43(m2 - 4)+1672= 3 3SVABF=所以16- 416- 4，12 3 m2- 4 3m2- 4 +2m2m1628当且仅当3所以VABFm2- 4 =即m2=4时等号成立，m2- 43面积的最大值为3 3 .14x = 3, y = 2x - y = 719. （1），（2）证明见解析；12iii=1nnn -1nnxi - yn的最小值为 ；当 为奇数时，xi - y的最小值为i（【3）当 为偶数时，；i22i=1i=1小问 1 详解】以 a1 为首项的最长递增子列是a ,a ,a，所以x = 31，因为 后面的项都比 小，所以a2a2134x2 = 0a3a ,ax3=2ax = 0，以为首项的最长递增子列是，所以，因为 后面没有项，所以 ；3444y = 01aa ,aa ,ay = 2，所以因为 a 后面的项都比 a 大，所以，以 为首项的最长递减子列是或者；11223242aay = 03ay = 04因为 后面的项都比 大，所以，因为 后面没有项，所以；3343 44x - y = 3+ 2 + 2 + 0 = 7x = 3, y = 2x - y = 7所以，即，ii12iii=1i=1i 1, 2,L,n，由于数列a ,a ,L,a 是1, 2,L,na a的一个排列，故i+1【若小问 2 详解】对于，12nia xaai+1a x - y，这意味着i+1 i+1故可将 替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以；iii+1iia ay yx xx - y x - y若，同理有，故，ii+1ii+1ii+1iii+1i+1x - y x - yx - y x - yi+1 i+1总之，且和不能同时为零，iii+1i+1ii () (2)2 0.故i 1, 2,L,n -1 , x - y + x - yiii1i+1x - y x - yx - y + x - y 1，i+1 i+1【当小问 3 详解】由（2）可知和不能同时为零，故iii+1i+1iinkknx - y = ( x - y2i-1 + x - y ) 1= k =nn = 2k为偶数时，设，一方面有；ii2i-12i2i2i=1i=1i=1a = k -i +1a ,a ,L,a2i-1，i =1, 2,L,k另一方面，考虑这样一个数列：，12na = k + i2ix = k -i + 2 y = k -i +1则对i =1, 2,L,k有2i-1,2i-1，x = k -i +1y = k -i +12i2inkknx - y =x2i-1 - y2i-1=1= k =故此时；ii2i=1i=1i=1nnn结合以上两方面可得，当 为偶数时，xi - yn的最小值为 ；当 为奇数时，设n = 2m -1，i2i=1nn-1m-1m-1n -1()x - y x - y =x2i-1 - y2i-1 + x2i - y2i1= m -1=一方面有；iiii2i=1i=1i=1i=1a = m1a ,a ,L,aa = m + i ，i =1, 2,L,m -1，2i另一方面，考虑这样一个数列：12na2= m -ii+1x = my = m11则对i =1, 2,L,m -1有 x = m -i ,y = m -i +1，2i2ix2= m -iy= m -i2i+1i+14 nm-1m-1n -1x - y =x - y = 1= m -1=故此时；ii2i 2i2i=1i=1i=1nn -1n结合以上两方面可得，当 为奇数时，xi - y的最小值为i；2i=1nnn综上可得，当 为偶数时，xi - y的最小值为i；2i=1nn -1nxi - y的最小值为i当为奇数时，；2i=15