连续型随机变量及其概率密度.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 连续型随机变量及其概率密度,教学重点,1 连续型随机变量的概率密度,2 正态分布,要求：,1、连续型随机变量的密度函数的定义和性质，,2、,均匀,分布,、,指数分布,的,定义及性质；,4、,正态,分布,的定义、性质、密度函数及几何性质；,5、一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系；,6、会利用正态分布密度函数的性质求积分,1,一 连续型随机变量,1 定义,2,由定义知道：,连续型随机变量的分布函数是连续函数,2 概率密度的性质,1 非负性,2 规范性,这两个性质是判断一个函数是否为一个连续型r.v.X的概率密度的充要条件,f,(,x,),x,o,分布曲线,面积为1,利用概率密度可确,定随机点落在某个,范围内的概率,3,若,x,是,f(x),的连续点，则：,=,f(x),故,X,的密度,f(x),在,x,这一点的值，恰好是,X,落在区间 上的概率与区间长度,之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，,f(x),相当于线密度.,4,(1)连续型,r.v.,取任一指定实数值,a,的概率均为0.即,这是因为,请注意:,当 时,得到,由,P,(,B,)=1,不能推出,B=S,由,P,(,A,)=0,不能推出,5,对连续型,r.v.X,有,6,说 明:,由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在,某一区间,上取值的问题,(此公式非常重要),7,要注意的是，密度函数,f(x),在某点处,a,的高度，并不反映,X,取值的概率.但是，这个高度越大，则,X,取,a,附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,f,(,x,),x,o,8,若不计高阶无穷小，有：,它表示随机变量,X,取值于 的概率近似等于 .,在连续型,r.v,理论中所起的作用与,在离散型,r.v,理论中所起的,作用相类似.,9,例题选讲,例题1,设随机变量X具有随机密度函数,试求 (1)c,(2)X的分布函数；,10,11,12,13,14,15,1.均匀分布,则称,X,在区间(,a,b,)上服从均匀分布,，,X,U,(,a,b,),三、三种重要的连续型随机变量,若,r.v X,的概率密度为：,记作,16,与c无关,X,a,b,l,l,0,X,x,17,公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.,均匀分布常见于下列情形,：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差,；,18,例2,某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即,7:00，7:15，7:30,7:45,等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间,X,是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解,依题意，,X,U,(0,30),以,7:00为,起点0，以分为单位,19,为使候车时间,X,少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为,：,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,从上午7时起，每15分钟来一班车，即,7:00,，,7:15，7:30,等时刻有汽车到达汽车站，,20,21,返回目录,22,则称,X,服从参数为 的指数分布.,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,若 r.v,X,具有概率密度,常简记为,XE().,2 指数分布,23,若,X,服从参数为 的,指数分布,则其,分布函数,为,事实上,当 时,当 时,24,注意 1）无记忆性,；,25,2）电子元件的使用寿命和各种随机系统的,服务时间在一般情形认为其服从指数分布；,3）指数分布在可靠性理论和排队论的应用,比较广泛。,26,3.正态分布,若连续型 r.v,X,的,概率密度为,记作,其中 和 (0)都是常数,则称,X,服从参数为 和 的,正态分布,或,高斯分布,.,27,曲线 关于 轴对称；,28,函数 在 上单调增加,在 上,单调减少,在 取得最大值；,x=,为,f,(,x,)的两个拐点的横坐标；,29,当,x,时，,f,(,x,),0,.,f,(,x,),以,x,轴为渐近线,根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.,30,正态分布 的图形特点,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.,特点是“,两头小，中间大，左右对称,”.,称为位置参数,31,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,32,设,X,X,的分布函数,是,正态分布 的分布函数,33,4 标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用,和,表示：,34,的性质,:,事实上 ,35,36,它的依据是下面的定理：,标准正态分布的重要性在于，,任何一个,一般的正态分布都可以通过线性变换转化为,标准正态分布.,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,定理 1,37,证,Z 的分布函数为,则有,38,于是,39,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.,正态分布表,当,x,0,时,(,x,),的值.,40,若,N,(0,1),若,X,N,(0,1),41,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，,X,的取值几乎全部集中在-,3,3,区间,内，超出这个范围的可能性仅占不到,0.3%,.,当,X,N,(0,1)时，,P,(|,X,|1)=2,(,1,)-,1,=,0.6826,P,(|,X,|2)=2,(,2,)-,1,=,0.9544,P,(|,X,|3)=2,(,3,)-,1,=,0.9974,5 3 准则,42,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,可以认为，,Y,的取值几乎全部集中在,区间内.,这在统计学上称作“,3 准则,”,（三倍标准差原则）.,43,标准正态分布的上 分位点,设,若数 满足条件,则称点 为,标准正态分布的,上 分位点.,44,45,46,47,例题2,48,这一节，我们介绍了连续型随机变量及三种重要分布.即均匀分布、指数分布、正态分布.其中正态分布,的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道,.,后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布.,四、小结,49,