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第三章 理想气体热力学能、
焓、 比热容和熵的计算
3-1 有1 kg氮, 若在定容条件下受热, 温度由100℃升高到
500℃, 试求过程中氮所吸收的热量。
解 由附表 1 查得氮气的比定容热容为 0.741 kJ/(kg K), 因
·
此, 加热 1 kg氮气所需的热量为
qV = mcV (T )=0.741×400=296.4 kJ/kg
−T
2 1
3-2 有1 mol二氧化碳, 在定压条件下受热, 其温度由800 K
升高到 1 000 K, 试求按定值比热容计算所引起的误差, 并分析
其原因。
解 根据附表 5二氧化碳的热力性质表得
q p = h − h
2 1
=42769－32179=10590 J/mol
该计算结果为描述该过程热量的准确数值。
而如果按附表 1, 则查得二氧化碳的比定压热容为 0.85
kJ/(kg·K), 依此计算, 加热 1mol二氧化碳所需的热量为
= cp0(T )=0.85×44×200=748 0 J/mol
p 2 1
q −T
两种方法的误差
∆ %=10590 − 7480 = 29.37 %
10590
产生如此大误差的原因是, 计算状态偏离定值比热的状态 (25℃)
较远, 且过程温差较大。
3-3 有一个小气瓶, 内装压力为20 MPa、 温度为20℃的氮
气10 cm3。该气瓶放置在一个0.01 m3的绝热容器中, 设容器内为
真空。试求当小瓶破裂而气体充满容器时气体的压力及温度, 并
理想气体的热力学能、 焓、 比热容和熵的计算•23•
分析小瓶破裂时气体变化经历的过程。
解 由附表1查得氮气的气体常数Rg=0.296 8 kJ/( kg K) , 故
20×10 ×0.01
0.2968×(273+ 20) = 229.98 kg
p
i
V
6
m = R
i =
g i
T
气体经历了一个不可逆的等温膨胀过程, 在过程中
Q=0, W=0, ∆ U=0, U2=Ui, T2=Ti
因此小瓶破裂而气体充满容器时的压力为
229.98×0.2968×293 = 20 kPa
p
2
= mRgT 2 =
V
2
0.01
3-4 有一储气罐, 罐中压缩空气的压力为1.5 MPa, 温度为
37℃, 现用去部分压缩空气而罐内压力降为1 MPa, 温度降为3.1
℃。假设耗气时储气罐和环境的热交换可忽略不计, 试说明罐内
所剩空气在储气罐耗气过程中所进行的能量转换过程及其输出能
量的数量。
解 以罐内1 kg的剩余空气为研究对象 , 由于耗气时储气罐
和环境的热交换可忽略不计, 因此
q = 0,
w1−2 = u1 −u2
由附表1查得空气的比定容热容为0.716 kJ/(kg K), 则有
w1−2 = cV (T1 − T2 )
=0.716×(310-276.1)=24.3kJ/kg
状态1、 2的比容分别为:
0.2871×310 = 0.059 4 m3/kg
ν
1
= RgT1 =
p
1
1500
0.2871× 276 = 0.079 3 m3/kg
ν
2
= RgT 2 =
p
2
1000
•24
•
理想气体的热力学能、 焓、 比热容和熵的计算
在压缩空气流出过程中 ,罐内剩余空气经历了一个不可逆的绝热
膨胀过程。
3-5 内燃机用增压器的进气压力为0.1 MPa, 进气温度为27
℃, 而供给内燃机的气体压力为0.2 MPa, 温度为92.7℃。设增压
器中空气的压缩过程可视为绝热的稳定流动过程, 且进、 出口流
速及位置高度的变化可忽略不计, 试求增压器消耗的功。
解 由附表1查得空气的比定压热容为1.004 kJ/(kg·K), 则增
压器消耗的功为
ws = h1 − h2 = c p (T1 −T2)
=1.004(300-365.7=-65.96 kJ/kg
3-6 有一输气管断裂, 管中压缩空气以高速喷出。设压缩空
气的压力为0.15 MPa, 温度为30℃, 当喷至压力等于0.1 MPa的环
境中时, 气流的温度降至0℃。试求喷出气流的流速, 并说明必
要的假设条件。
解 以1 kg压缩空气为研究对象, 则在管内时流动空气的总
能 量 为 h1+ c f 1 + gZ , 而 终 态 时 流 动 空 气 的 总 能 量 为
2
2
h2 + c
2
f 2 + gZ。
2
假设
q = 0, w=0 及c f 1 <<c f 2
,
Z1=Z2,
且由附表1查得空气的比定压热容为1.004 kJ/(kg·K), 则喷出
气流的流速为
10
= 2× 3×1.004×(303− 273) = 245.4
m/s
c
f 2
理想气体的热力学能、 焓、 比热容和熵的计算•25•
3-7 有1 mol氧, 设其温度为300 K, 因受热而升温至520 K,
设比热容按经验公式变化, 试计算氧的热力学能变化。
解 由附表2可知, 氧的摩尔定压热容公式为
C
p0, m = a
0
2 3
+ a T + a + a
T T
1 2 3
= 25.48+1.52×10−3T − 5.062×10−6
2 3
+1.312×10−9
T T
由附表1查得, 氧的摩尔质量为32 g/mol, 于是
T 2
1 − 2 = h − h
2 1
= 1
∫Cp0, mdT
M T1
q
−3× (520
) −
= 1 × [ 25.48×(520 − 300)+1.52×10
2
− 300
2
32
2
(
5203−
3
3003)+1.312×10
(
5204 −
3004) ] J/mol
5.062×10−6
×
−9
×
4
= 4 977.1 J/g
= 4 977.1 kJ/kg
3-8 设在定压条件下加热1 mol氧, 使其温度升高220℃, 若
初始温度分别为300 K及800 K, 试求后者所需热量为前者的几倍,
并说明其原因。
解 由附表4 氧的热力性质表查得:
h
h
520
520
=15 395 J/mol,
h
300 =8 736 J/mol,
h
800 =24 523 J/mol, h1 020=32 089 J/mol。
于是
q300−520 = h520 − h300 = 15 395－8 736=6 659 J/mol
q800−1020 = h1020 − h800 = 32 089－24 523=7 566 J/mol
q800−1020
q300−520
7566
6659
=
= 1.136
其原因是随温度的升高, 定压比热数值增加的幅度大。
•26
•
理想气体的热力学能、 焓、 比热容和熵的计算
3-9 根据氮的热力性质表中25℃及327℃时氮的焓的数值,
试求25℃到327℃间氮的平均比定压热容cpm 32257°C°C
的数值。
解 由附表 5 氧的热力性质表查得, h298=8 669 J/mol以及
h600=17 563 J/mol, 因此
∆h = h600 − h298 =17563−8669 = 8 894 J/mol
327°C
cpm 25°C
∆h
8894
327°C
=
= M∆T = 28×302
cpm 25°C
M
=1.051 J/g=1.051 kJ/( kg K)
3-10 有 0.2 kg空气, 其压力为 0.1 MPa, 温度为 27℃, 若
在定温下压缩使其压力增加到 0.15 MPa, 试求其熵的变化。
解 由附表 1 查得空气的气体常数为 0.287 1 kJ/(kg K) , 则
比熵的变化为
⎛
⎞
m cp0ln TT − R
g
ln p = mR
g
ln pp
∆s = ⎜
2
2
⎟
2
⎜
⎟
⎝
p
1
⎠
1
1
= 0.2×0.2871×ln 00.15.1 =0.023 28 kJ/K
3-11 有1 mol氧, 其温度由300K增加至600 K, 且压力由0.2
MPa降低到0.15 MPa, 试求其熵的变化: (1)按氧的热力性质表计
算; (2)按定值比热容计算。
解 ( 1) 按氧的热力性质表计算时, 比熵的变化为
g
ln p2
0 0
∆s = s2 − s1 − R
p
1
查附表4 氧的热力性质得
T1=300 K时, s1 = 205.213 J/(mol·K) ;
T2=600 K时, s2 = 226.346 J/(mol·K) 。故得
0
0
理想气体的热力学能、 焓、 比热容和熵的计算•27•
∆s = 226.346− 205.213−8.3136ln 0.15 = 23.52 J/(mol·K)
0.2
( 2) 当比热容为定值时, 比熵的变化为
⎛
⎞
⎟
⎟
⎠
∆s = M⎜ p0ln T
− Rg ln p
2
1
2
1
c
⎜
T
p
⎝
由附表1, 氧气的cp0 = 0.917 kJ/(kg·K), 故得
∆s = 32×⎛⎜0.917×ln
600 − 0.2598×ln 2 ⎞⎟ = 22.73 J/(mol·K)
300 1.5⎠
⎝
3-12 有一空储气罐自输气总管充气, 若总管中空气的压力
为0.6 MPa, 温度为27℃, 试求: (1)当罐内压力达到0.6 MPa时,
罐内空气的温度; (2)罐内温度和输气总管内空气温度的关系。
解 对于储气罐( 开口系统) 可写出能量方程:
Q =U 2 −U1+ H e − H i +W
按题意有:
Q = 0( 绝热)
U i = 0( 充气前为真空)
H e = 0( 无质量流出)
W = 0(无功量交换)
因此有:
H i =U 2,
micpT i = m2cνT 2
mi = m2
显然:
因此有:
cp T i = kT i =1.4×300
T 2 = cν
=420K =147℃
3-13 图3-3所示气缸中气体为氢气。设气
体受热膨胀推动重物及活塞上升, 至销钉处后活
塞受阻, 但仍继续对气体受热一段时间。已知该
过程中气体接受的热量为4 000 kJ/kg, 气体温度
图 3-3
•28
•
理想气体的热力学能、 焓、 比热容和熵的计算
由27℃升高到327℃。试求过程中气体所作的功及活塞达到销钉
时气体的温度。
解 由附表1查得空气的比定容热容为10.22 kJ/(kg·K), 气体
常数为0.124 4 kJ/(kg·K), 根据热力学第一定律能量方程式得
w1−2 = q − ∆u1−2 = q −
(
−T1)
cν T 2
= 4 000－10.22×300 = 934 kJ/kg
同时活塞受阻前,缸内气体定压膨胀
w1−2 = p(v2 )=
−
(
Rg T
′ − ′
)
v1
2
T
1
w1−2
Rg
934
′ = T1 ′+
T
2
= 300+
= 526.5 K
4.1244
3-14 如图 3-4所示自输气总管向气缸送
气, 设输气总管中空气压力为 0.6 MPa, 温度为
27 ℃, 而气缸中活塞及重物产生的压力为 0.2
MPa。试求送气过程中气缸内空气的温度。
解 对于如图所使得气缸可写出能量方程:
Q + mihi = mehe + m2u2 − m1u1+W
其中功量可按下式计算:
W = mi p(v2 −v1)= ( − ) ( −T1)
m2 m R T
1
g
2
又知: Q=0 ; me=0 ; m1=0 ; 因此有:
图 3-4
( −T1)
m2hi = m2u2 + m2 Rg T
2
hi = u2 + RgT 2
(T1=0)
cpTi = cvT 2 + RgT 2
T 2 =Ti = 27 ℃
3-15 如图 3-5 所示自输气总管向气缸充
气, 设输气总管中空气压力为 0.6 MPa, 温度为
27℃, 而弹簧变形正比于压缩力。试求充气过
程中气缸内空气的温度。
图 3-5
理想气体的热力学能、 焓、 比热容和熵的计算•29•
解 对于如图所使得气缸可写出能量方程:
Q = mehe − mi hi + m2u2 − m1u1+W
按题意有:
Q=0; me=0; m1=0; m2 = mi; p = av
2
v
2
avdv
∫
∫
v
1
W = pdv =
1
= 12 a(v
− v1
2
)= 12(p2v2 − p1v1)
2
2
= 12 p2v2 = 12 RgT 2
代入能量方程, 可得出:cpTi = cvT 2 + 12 RgT 2
由附表 1 查得空气的比定容热容为 10.22 kJ/(kg K), 气体常数为
·
0.124 4 kJ/(kg·K), 比定压热容为 1.004 kJ/(kg·K), 则有
1.004×300
cpTi
T 2 = cv + 1
= 0.716+ 0.5×0.2871 = 350.65 K=77.45℃
Rg
2
3-16 有50 kg废气, 其质量分数为: wCO ＝0.14, wO2＝0.06,
2
w ＝0.05, wN2＝0.75。又有75 kg空气, 其质量分数为: wO2
H O
2
＝
0.232, wN ＝0.768。试求两者混合物的(1)质量分数; (2)摩尔质量;
2
(3)折合气体常数。
解
(1)50 kg废气含 mCO =0.14×50=7 kg
2
mO =0.06×50=3 kg
2
m
H2O =0.05×50=2.5 kg
mN =0.75×50=37.5 kg
2
75 kg空气中含 mO =0.232×75=17.4 kg
2
•30
•
理想气体的热力学能、 焓、 比热容和熵的计算
m
H2O =0.768×75=57.6 kg
m=125
混合后总质量
因此
3+17.4 = 0.163 2
xO2
=
125
7
xCO2
=
= 0.056
125
37.5+ 57.6 = 0.760 8
=
xN2
125
x
=
2.5 = 0.02
H2O
125
1
(2)
M =
x1 + x2 +L+ xn
M1 M 2 M n
1
= 0.1632 + 0.7608 + 0.056 + 0.02
32
28
44
18
=28.8 g/mol
Rg = R
= 8314.3 = 2.887 kJ/(kg K)
m
·
(3)
M
28.8
3-17 汽油发动机吸入气缸的是空气和汽油蒸汽的混合物,
其中汽油的质量分数wg＝0.06。若汽油的分子量为114, 混合气的
压力为0.095 MPa, 试求: (1)空气和汽油蒸汽的分压力; (2)混合
气的摩尔质量; (3)混合气的折合气体常数。
解 空气的质量分数为 wA=1－0.06=0.94,
摩尔质量为MA=28.97 g/mol
(1) 求空气和汽油蒸汽得分压力
0.06 = yg 114M g
(a)
理想气体的热力学能、 焓、 比热容和熵的计算•31•
0.94 = yA 28.97
(b)
M A
(a)得
(b)
yA
yg
= 61.586
(c)
(d)
又
yA + yg =1
(c)与(d)联立得:
yg = 0.015 987
yA = 0.984 02
因此
pg = yg p =0.015 987×0.095=0.001 52 MPa
pA = p − pg =0.095－0.001 52=0.093 5 MPa
(2) 求混合气体的摩尔质量
1
= 0.06 1
= 30.33 g/mol
+ 0.94
M =
xg
+ x
M g M g
A
114 38.97
(3) 求混合气体的折合气体常数
= 8.314 = 0.274 J/(g K)=0.274 kJ/(kg·K)
Rg = R
m
M
·
30.33
3-18 已知空气的质量分数为: wO ＝0.23, wN ＝0.77, 空
2
2
气的温度为25℃。试求: (1)按氧及氮的热力性质表求取空气的热
力学能及焓; (2)按氧和氮的定值比热容计算空气的定值比热容。
解
(1) 查附表4 氧的热力性质得 UO =620 3 J/mol ;
2
查附表5 氮的热力性质得 U N =619 0 J/mol ;
2
u = wO uO2 + wN uN2
2
2
=0.23×620 3× 1 +0.77×619 0× 1
32
28
=214.7 J/g=214.7 kJ/kg
(2) 查附表1 氧的比定压热容0.917 kJ/(kg·K), 比定容热
容0.657 kJ/(kg·K); 氮的比定压热容1.038 kJ/(kg·K), 比定容热容
•32
•
理想气体的热力学能、 焓、 比热容和熵的计算
0.741 kJ/(kg·K)
cv0 = wO cvO2 + wN cvN2
2
2
=0.23×0.657+0.77×0.741
=0.721 kJ/(kg·K)
cp0 = wO cpO2 + wN cpN2
2
2
=0.23×0.917+0.77×1.038
=1.01 kJ/(kg·K)
3-19 燃烧气体的分数为 wCO ＝0.12, wH O＝0.03, wO ＝
2
2
2
0.07, wN ＝0.78。设比热容为定值, 试求燃烧气体的定值比热容
2
的数值。
解 由附表1 可知
二氧化碳的比定压热容0.85 kJ/(kg·K), 比定容热容0.661 kJ/(kg·K);
水蒸汽的比定压热容1.863 kJ/(kg·K), 比定容热容1.402 kJ/(kg·K);
氧的比定压热容0.917 kJ/(kg·K), 比定容热容0.657 kJ/(kg·K);
氮的比定压热容1.038 kJ/(kg·K), 比定容热容0.741 kJ/(kg·K);
cv0 = 0.12×0.661+0.03×1.402+0.07×0.657+0.78×0.741
=0.745 kJ/(kg·K)
cp0 =0.12×0.85+0.03×1.863+0.07×0.917+0.78×1.038
=1.032 kJ/(kg·K)
3-20 有一密封容器, 用隔板分成A、 B两部分, 并各充有压
缩空气。已知: VA＝2.5 m3, pA＝6.86 bar, TA＝80℃; VB＝1 m3,
pB＝9.8 bar, TB＝30℃。现抽去隔板使两部分混合。若混合过程
中容器向外散热41 900 J, 设比热容为定值, 试求混合后空气的温
度及压力。
解 由附表1 空气的气体常数为0.287 1 kJ/(kg·K)
A、 B两部分的质量分别为
理想气体的热力学能、 焓、 比热容和熵的计算•33•
mA = pAVA
686× 2.5
RgTA = 0.2871×353 =16.91 kg
mB = pBVB
980×1
RgTB = 0.2871×303 =11.26 kg
总质量为
总体积为
m = mA + mB = 28.17 kg
V =VA +VB = 3.5 m3
W=0 因此 Q = ∆U = mcvT2 −(mAcvTA + mBcvTB)
因为
Q + mATA + mBTB
cv
T2 =
m
−
41.9 +16.91×353+11.26×303
0.716
=
28.17
=330.93 K=57.93℃
p2 = mRgT2 = 28.17×0.2871×330.93
V
3.5
=765 kPa=7.65 bar
3-21 在密闭的绝热气缸中, 活塞把气缸分成A、 B两部分,
设A、 B两部分中都充有某种理想气体, 而pA、 pB; VA、 VB; TA、
TB; nA、 nB等均为已知。现使A、 B两部分气体经过活塞传热及移
动活塞而使两部分达到相同的温度及压力。设比热容为定值, 活
塞和缸的摩擦可忽略不计, 试证明:
nA
+ n
nB
B + TB n A
+nB ,
T = TA n
A
p = pA V VA
VB
A +VB + pB VA +VB
•34
•
理想气体的热力学能、 焓、 比热容和熵的计算
解 据题意 A 与 B 两个子系统间有能量,功量交换及热力学
能变化,且其变化值相等,符号相反。
nAcvATA + nBcvBTB = (nAcvA + nBcvA)T2
因为 A, B中充有相同的理想气体, 即
cvA = cvB
nA
nB
nA+nB
因此
T2 =TA n
+ nB +TB
A
根据状态方程
m = p V
nAR
A
TA
A =
p2VA2
T2
m = p V
nBR
B
TB
B =
p2VB2
T2
pAVA = pBVB
TAV
p
可知
T V = T
2
及
nA
nB VB
=
VA2
A2
B
B2
2
2
VA = VB
VA +V
nA + nB
A +VB
nA + nB
B2 = V
因为
因此
2
nA
2 =
nB
2
VA (nA + nB)= nA(VA +VB)
2
VB (nA + nB)= nB(VA +VB)
2
p2 = pAVA ⎛
⎞
nA
nB
⎜T
+ nB +TB nA+nB
⎟
⎟
⎜
⎝
A2
T V
A nA
⎠
A
p V n
p V n
B B B
=
nA(VA +VB) + nB(VA +VB)
A
A
A
VA
VB
= pA VA +VB + pB VA +VB
证毕。</p>
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