【专升本高数】导数的概念习题课PPT课件.ppt

1,导数的定义,2,求导法则,3,微分与应用,一、本 章 要 点,1,导数的定义,1),导数,左导数,右导数,函数可导 左导数,=,右导数,可导与连续的关系：函数在一点可导，则在该点连续,导数的几何意义：函数在一点的导数为函数曲线在该点,曲线的切线方程及法线方程：,切线,法线,的切线斜率,2),求导法则 设 为可导函数，则,反函数的求导法则 设函数 为 的反,函数，直接函数 在区间 上连续、单调，可导且,其导函数 ，则,对于具有更多中间变量的复合函数，则相应的导数为,复合函数的导数 设函数 均为可导,函数，则函数 为可导函数，且,3),高阶导数 若函数 是 阶可导，则递归定义,，或 ，,其中，记 ,阶导数的,Leibniz,公式 设 为两个 阶可导的函数，,则函数 也 阶可导，且有,由隐函数求导法，得到对数求导法,4),隐函数的导数 设函数 由方程,确定，在一定的条件下，可以求出函数 的导数,注意，一般情况下，其导函数的表达式仍然以隐式方程的,形式给出,5),由参数方程确定的函数的导数 设函数 由参,数方程,确定，则当 时，可确定 为 的函数,(,或,为 的函数,),，相应的导数为,由此方法，可得到更高阶的导数,若令 ，则,3,微分,1),微分的定义 若函数 的增量具有表达式,则函数 可微，相应的微分为,2),可微的条件 函数 在点 处可微的充要条件,是 在点 可导，且有,3),微分应用 近似计算公式,二、例题选讲,例,1,设 求 ,解 当 时，,当 时，,当 时，,即 不存在因此,例,2,设 且 存在，,求 ,解 因 存在，故 在 处连续，所以,即得 ,又因 存在，而,因此 ,例,3,设 在 的某个邻域内有定义，又,，讨论下列函数在 的可导性：,；,解 设 ，则 ，,即 ,设 ，则 ，,故极限存在的充分必要条件为 ，此时,例,4,设,其中 ，且 ，证明,证 ，,故 ，因此,即得 ,例,5,可导函数 的图形与 相切于原,点，试求 ,解 由条件得 ，,例,6,证明可导的周期函数的导函数为周期函数,因此有,证 设 为周期函数，,为其周期，即,即 为周期函数,例,7,设 ，求 ,解法一 因 ，因此,解法二 因 ，,其中 为一多项式，故,例,8,设 ，求 ,解,故切线方程与法线方程分别为,例,9,曲线 上哪一点的切线与直线,平行，并求过该点的切线与法线方程,解 设切点为 ，则切线的斜率为,例,10,试求垂直于直线 且与曲线,相切的直线方程,解 设切线的斜率为 ，切点为 ，因切线与已知,直线 垂直，得 又由,得 ，从而切点为 故切线方程为,例,11,设 ，其中 为可导函数，求 ,解,解 两边取对数，得,例,12,设 由 确定，求 ,两边对 求导，得,两边继续求导，得,即,所以,将代入上式并整理，得,例,13,设 ，求 ,解 ，因此,即,例,14,求由参数方程 所确定的函数,的二阶导数 ,解,解 将极坐标转化为参数方程，得,切线方程,例,15,求由三叶玫瑰线 在对应 处的,则当 时，切线斜率,故切线方程为,直的方向航行，求经过,5s,后，人与小船分离的速度,例,16,某人以,2m/s,的速度通过一座桥，桥面高出水面,20m,，在此人的正下方有一条小船以,m/s,的速度在与桥垂,解 设经过 秒后，船与人的距离为,m,，人行走距离,船的距离为,为,m,，船行走距离为,m,，则人与,20m,当 时，代入上式，得,已知 ，方程两边对 求导，得,例,17,求 的近似值,解,三、练习,1,求下列函数的导数 ：,1),；,2),；,3),；,4),；,5),；,6),；,7),；,8),2,求高阶导数,1),，求 ；,2),求 ；,3),，求 ；,4),，求 ；,数，求 ,5),设 ，其中 为 阶可导函,