三角形四心的向量表示(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三角形“四心”的向量表示,1,一、外心,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称,外心,。,证明外心定理,证明,:,设,AB,、,BC,的中垂线交于点,O,，,则有,OA=OB=OC,，,故,O,也在,AC,的中垂线上，,因为,O,到三顶点的距离相等，,故点,O,是,ABC,外接圆的圆心,因而称为外心,O,O,2,点评：,本题将,平面向量,模的定义与,三角形,外心,的定义及性质等相关知识巧妙结合。,到,的三顶点距离相等。,故,是,解析：,由向量模的定义知,的外心，选,B,。,O,是,的外心,若,为,内一点，,则,是,的（）,A,内心,B,外心,C,垂心,D,重心,B,3,二、垂心,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的,垂心,。,D,E,F,证明,:AD,、,BE,、,CF,为,ABC,三条高，,过点,A,、,B,、,C,分别作对边的平行线,相交成,ABC,，,AD,为,BC,的中垂线；同理,BE,、,CF,也分别为,AC,、,AB,的中垂线，,由外心定理，它们交于一点，,命题得证,证明垂心定理,A,B,C,4,例,1,如图，,AD,、,BE,、,CF,是ABC,的三条高，,求证：,AD,、,BE,、,CF,相交于一点。,A,B,C,D,E,F,H,又点,D,在,AH,的延长线上，,AD,、,BE,、,CF,相交于一点,证：,设,BE,、,CF,交于一点,H,，,垂心,5,A,B,C,O,证：设,例,2,已知,O,为,ABC,所在平面内一点，且满足,:,求证：,化简：,同理：,从而,垂心,6,1.O,是,的垂心,是,ABC,的边,BC,的高,AD,上的任意向量，过垂心,.,7,例,3,O,是平面上一定点，,A,、,B,、,C,是平面上不共线的三个点，,动点,P,满足,则,P,的轨迹一定通过,ABC,的,_,在,ABC,的边,BC,的高,AD,上,.,P,的轨迹一定通过,ABC,的,垂心,.,所以，,时，,解,:,8,解,:,例,4.,（,2005,全国,）,点,O,是,ABC,所在平面上一点，,若 ，,则点,O,是,ABC,的（）,（,A,）三个内角的角平分线的交点,（,B,）三条边的垂直平分线的交点,（,C,）三条中线的交点,（,D,）三条高线的交点,则,O,在,CA,边的高线上,同理可得,O,在,CB,边的高线上,.,D,垂心,5.,(2005,湖南,),P,是,ABC,所在平面上一点，若 则,P,是,ABC,的（）,A,外心,B,内心,C,重心,D,垂心,D,9,三、重心,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的,重心,。,证明重心定理,E,F,D,G,10,3.O,是,的重心,为,的重心,.,是,BC,边上的中线,AD,上的任意向量，过重心,.,2.,在,中，给出,等于已知,AD,是,中,BC,边的中线,;,11,例,1,P,是,ABC,所在平面内任一点,.,G,是,ABC,的重心,证明,:,G,是,ABC,的重心,即,由此可得,（反之亦然（证略）,思考：,若,O,为,ABC,外心，,G,是,ABC,的重心，则,O,为,ABC,的内心、垂心呢？,12,例,2,证明：三角形,重心,与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍,A,B,C,E,F,D,G,证：设,A,G,D,共线，,BG,E,共线,可设,即：,AG,=2,GD,同理可得：,AG,=2,GD,CG,=2,GF,重心,13,例,2,证明：三角形,重心,与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍,另证,:,A,B,C,E,F,D,G,重心,想想看？,14,四、内心,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称,内心,。,证明内心定理,证明,:,设,A,、,C,的平分线相交于,I,过,I,作,IDBC,，,IEAC,，,IFAB,，则有,IE=IF=ID,因此,I,也在,C,的平分线上，,即三角形三内角平分线,交于一点,I,I,E,F,D,151.,设,a,b,c,是三角形的三条边长，,O,是三角形,ABC,内心,的,充要条件是,A,C,B,O,a,b,c,16,2003,天津理科高考题,2.O,是平面上一定点，,A,、,B,、,C,是平面上不共线的三个点，,动点,P,满足,则,P,的轨迹一定通过,ABC,的（,）,A,外心,B,内心,C,重心,D,垂心,B,内心,是,BAC,的角平分线上的任意向量，过内心；,17,3.,（,2006,陕西）,已知非零向量 与 满足,则,ABC,为（）,A,三边均不相等的三角形,B,直角三角形,C,等腰非等边三角形,D,等边三角形,解法一：,根据四个选择项的特点，本题可采用验证法来处理,.,不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时,排除其他三个选择项，故答案必选,D.,D,18,解法二：,由于 所在直线穿过,ABC,的内心，则由,(,等腰三角形的三线合一定理,),；又 ，,所以,即,ABC,为等边三角形，故答案选,D.,注,:,等边三角形,(,即,正三角形,),的“外心、垂心、,重心、内心、中心”五心合一！,19,法一抓住了该题选择项的特点而采用了,验证法,是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些,向量表达式与三角形某个“心”的关系，,如,所在直线一定通过ABC的内心,;,所在,直线过BC边的中点，从而一定通过ABC的重心；,所在直线一定通过ABC的垂心等.,20,【,总结,】1).,是用数量积给出的三角形面积公式,;,(2).,则是用向量坐标给出的三角形面积公式,.,4.,在,ABC,中,:,(1),若,CA,a,，,CB,b,，求证,ABC,的面积,(2),若,CA,(a,1,，,a,2,),，,CB,(b,1,，,b,2,),，,求证：,ABC,的面积,解,:,21,A,B,C,P,22,思考,:,如图，设点,O,在,内部，且有,则,的面积与,的面积的比为,_,(2004,年全国奥赛题,),3,作,AC,、,BC,边上的中点,E,、,D,，,解,1,:,D,E,A,B,C,O,23,作,AC,边上的中点,E,，,解,2:,思考,:,如图，设点,O,在,内部，且有,则,的面积与,的面积的比为,_,(2004,年全国奥赛题,),3,E,24,如图，延长,OB,至,D,，使,OB=BD,；,解,3:,思考,:,如图，设点,O,在,内部，且有,则,的面积与,的面积的比为,_,(2004,年全国奥赛题,),3,E,D,延长,OC,至,E,，使,CE=2OC.,则,:,2OB=OD,3OC=OE.,25,同学们，再见！,26,