有限元法数学基础.ppt

,*,*,第三章 有限元法,数学基础,有限元法理论及数值分析,本章内容,微分方程的等效积分形式,1,等效积分的“弱”形式,2,加权余量法,3,泛函与变分原理,4,2,3.1,等效积分,偏微分方程,的,数值解法,有限差分法,:,求解域几何形状规则,以与原偏微,分方程及其,定解条件,等,效积分,提法,为基础,变分方法,：若原方程有某些特定性质，归结为泛函的驻值问题。,加权余量法,：适用于所有的偏微分方程，不管是否存在进行变分的泛函,有限单元法,注意,：变分法和加权余量法也只能求解几何形状规则的问题，因为它们都是在求解域上假设近似函数。但已构成了有限元法的理论基础。,3,3.1,等效积分,问题的提出,1,工程中的许多问题，通常以未知,场函数,应满足的,微分方程,和,边界条件,的形式提出。,且，,u,应满足边界条件,:,4,3.1,等效积分,问题的提出,1,由于以上微分方程在,和 中每一点都成立，因此有：,上述方程的简化形式：,5,3.1,等效积分,问题的提出,1,则表明积分形式与微分方程的定解问题等价,这里,为任意函数向量，,并且,v,和 为与微分方程个数相等的函数。对任意 上述积分式均成立。,6,3.1,等效积分,问题的提出,1,7,3.1,等效积分,微分方程的等效积分形式,2,微分方程的等效积分形式,8,3.2,等效积分的弱形式,将等效积分形式,分步积分,，得到的形式就称为,等效积分弱形式,。因为分步积分后，,算子导数阶次降低，对待求变量的连续性降低,，就起到了弱化作用。,将微分方程转化为弱形式，弱并不是弱化对方程解的结果，而是,弱化对解方程得要求,，是,弱化待求变量的连续性,，是,以提高权函数的连续性为代价,的。,9,3.2,等效积分的弱形式,例题,：梁弯曲问题,等效积分形式,等效积分弱形式,10,3.3,加权残量,(,余量,),法,基本概念,1,通过引入,权函数,/,试函数,，将近似解带入微分方程会有,余值,，在余值形式中引入,权函数,，把这种余值的,加权积分,，称为,加权余值法,。,权，然后知轻重。,-,孟子,采用使,余量的加权积分为零,求得微分方程近似解的方法，称为,加权余量,(,余值、残量,),法,。,11,3.3,加权残量,(,余量,),法,基本概念,1,假定一个试函数作为方程的近似解,待定系数,试函数,(,形函数,),3）,完备性。,n,时,1）一定的连续条件。,2）线性独立。,试函数要满足：,一般选用简单形式的函数，一旦选定就是,已知,的了,真正的求解系数,12,3.3,加权残量,(,余量,),法,基本概念,1,假定某一科学问题的控制微分方程及边界条件为：,内部残量,边界残量,13,3.3,加权残量,(,余量,),法,基本概念,1,权函数,用以下,n,个线性无关的函数来代替任意函数,v,和,等效积分形式,强迫残值在某种平均意义上为零。,14,3.3,加权残量,(,余量,),法,基本概念,1,得到的是,近似解,。,等效积分,等效积分形式的,近似方法,，得到的是,近似解,。,加权余量,15,3.3,加权残量,(,余量,),法,基本概念,1,出现在,近似解,中。满足一定的域内条件或边界条件。,试函数,出现在,等效积分表达式中,，不同的权函数涉及不同的计算格式。,权函数,16,3.3,加权残量,(,余量,),法,配点法,2,取：,17,3.3,加权残量,(,余量,),法,配点法,2,相当于简单地强迫残值在域内的,n,个点上等于零。,18,3.3,加权残量,(,余量,),法,子域法,3,将求解域分为,n,个区域 权函数如下确定：,则有：,这种方法相当于强迫残值在,n,个子域内的积分等于零。,19,3.3,加权残量,(,余量,),法,最小二乘法,4,取权函数,：,则有：,这种方法相当于使域,内每一点的残值的平方和最小，或平方的积分最小。,20,3.3,加权残量,(,余量,),法,Galerkin,法,5,取权函数,：,则有：,Galerkin,法精度最高！,21,3.3,加权残量,(,余量,),法,例题,6,边界条件：,x=,0,，,u=,0,；,x=,1,，,u=,0,取近似解：,u,=,x,(1-,x,)(,a,1,+,a,2,x,+),取一项近似解,u,1,=,a,1,x,(,1,-,x,),余量,R,1,(,x,)=,x,+,a,1,(-2+,x,-,x,2,),22,3.3,加权残量,(,余量,),法,例题,6,取,x,=1/2,作为配点,配点法,余量,R,1,(,x,)=,x,+,a,1,(-2+,x,-,x,2,),23,3.3,加权残量,(,余量,),法,例题,6,子域取全域 即,w,=1,子域法,余量,R,1,(,x,)=,x,+,a,1,(-2+,x,-,x,2,),24,3.3,加权残量,(,余量,),法,例题,6,最小二乘法,余量,R,1,(,x,)=,x,+,a,1,(-2+,x,-,x,2,),25,3.3,加权残量,(,余量,),法,例题,6,迦辽金法,余量,R,1,(,x,)=,x,+,a,1,(-2+,x,-,x,2,),26,线性、自伴随微分算子,1,如果微分方程具有,线性、自伴随,的性质，则：,不仅可以建立它的,等效积分形式,，并可利用,加权余量法,求其近似解；还可建立与之相等效的,变分原理,，,基于它的另一种近似求解方法,Ritz,法,。,3.4,泛函与变分,微分方程,in,微分算子,线性微分算子,27,线性、自伴随微分算子,1,3.4,泛函与变分,对上式分部积分，直至,u,的导数消失，得：,若,定义为函数的内积，,称,L,*,为,L,的,伴随算子,。若,L,*,=,L,，则称,算子自伴随,。,28,3.4,泛函与变分,泛函,最速落径问题,-,质量为,m,的小环从,A,处自由滑下，试选择一条曲线使所需时间最短（不计摩擦）,2,A,B,X,Y,设路径为,y=y(x),29,泛函,2,A,B,X,Y,称,T,为,y,(,x,),的泛函，,y,(,x,),为自变函数。即以,函数,作自变量以,积分,形式定义的函数为,泛函,。,函数是变量与变量的关系，,泛函,是,变量与函数,的关系。泛函是一种广义的函数。,3.4,泛函与变分,30,变分,3,称 为,y(x),的,变分,，它是一个无穷小的任意函数。,X,A,Y,y=y,（,x,）,x+dx,dy,x,微分与变分运算次序可以交换,积分与变分运算次序也可以交换,3.4,泛函与变分,31,变分原理,4,变分法是处理,泛函,的数学领域，和处理,函数,的普通,微积分,相对。泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。,变分法最终寻求的是极值函数,：它们使得泛函取得极大或极小值。,3.4,泛函与变分,把一个数学物理问题用,变分法化为求泛函极值,（或驻值）的问题，后者就称为该问题的,变分原理,。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有问题的,某些约束条件,，就称为该问题的,广义变分原理,；如果解除了,所有的约束条件,，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。,32,Thank you,