初中数学九年级下册第二十六章《二次函数》知识点总结和.docx

新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章《二次函数》知识点总结及精品试题
第一部分基础知识
1. 定义：一般地，如果y = ax2 + bx + c（a,b, c是常数，a丰0）,那么〉叫做x的二次函数.
2. 二次函数y = ax2的性质
〔1〕抛物线y = ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.
〔2〕函数y = ax2的图像与a的符号关系.
① 当a > 0时o抛物线开向上o顶点为其最低点；
② 当a < 0时o抛物线开向下o顶点为其最高点.
〔3〕顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y = ax2（a。0）.
3. 二次函数y = ax2+ bx + c的图像是对称轴平行于〔包括重合〕y轴的抛物线.
b ,4ac - b2
4. 二次函数y = ax2+ bx + c用配万法可化成：y = a\x — hJ2+ k的形式，其中h = - —，k =.
2a4a
5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y = ax2 :②y = ax2+ k :③y = a（x - h* ；④y = a（x - h* + k ；
⑤ y = ax 2 + bx + c .
6. 抛物线的三要素：开方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开方向：当a>0时，开向上；当a < 0时，开向下;
a|相等，抛物线的开大小、形状相同.
②平行于y轴〔或重合〕的直线记作x = h .特别地，y轴记作直线x = 0.
7. 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开方向、开大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法
〔1〕
公式法：y = ax2 + bx + c = a x + ——
I 2a)
2+兰土，.・.顶点是（-#,兰土）,对称轴是直线x=- b
4a 2a 4a 2a

〔2〕配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y = aG- h* + k的形式，得到顶点为<h , k >，对称轴是直线
x = h.
〔3〕运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称
轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
9.抛物线y = ax2+ bx + c中，a, b, c的作用
〔1) a决定开方向及开大小，这与y = ax2中的a完全一样.
〔2〕b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y = ax2 + bx + c的对称轴是直线
x =一二，故：①b = 0时，对称轴为y轴；②b > 0〔即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；③b < 0〔即a、b2aaa
异号)时，对称轴在y轴右侧.
〔3〕 c的大小决定抛物线y = ax2+ bx + c与y轴交点的位置.
当x = 0时，y = c,.•・抛物线y = ax2+ bx + c与y轴有且只有一个交点〔0, c )：
①c = 0,抛物线经过原点；②c > 0,与y轴交于正半轴；③c < 0,与y轴交于负半轴.
b 八
以上三点中，当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则一< 0.
a
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式
开方向
对称轴
顶点坐标
y = ax 2
当a > 0时
开向上
当a < 0时
开向下
x = 0〔 y 轴〕
〔0,0〕
y = ax 2 + k
x = 0〔 y 轴〕
<0, k >
y = a (x — h)2
x = h
< h ,0>
y = a (x — h)2+ k
x = h
< h, k >
y = ax 2 + bx + c
b
x =———
2a
b 4ac 一 b 2
< —，>
2a4a

11. 用待定系数法求二次函数的解析式
〔1〕一般式：y = ax2+ bx + c .已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.
〔2〕顶点式：y = a(x - h)2+ k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
〔3〕交点式：已知图像与x轴的交点坐标x、x，通常选用交点式：y = a(x — x )G — x ).
1 212
12. 直线与抛物线的交点
〔1〕y轴与抛物线y = ax2 + bx + c得交点为<0, c >.
〔2〕与y轴平行的直线x = h与抛物线y = ax2 + bx + c有且只有一个交点<h, ah2+ bh + c >.
〔3〕抛物线与了轴的交点
二次函数y = ax2+bx + c的图像与x轴的两个交点的横坐标气、七，是对应一元二次方程ax2 +bx + c =。的两个实数根.抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
① 有两个交点=△>()=抛物线与%轴相交；
② 有一个交点〔顶点在］轴上〕=△ = ()=抛物线与工轴相切；
③ 没有交点=△<()=抛物线与了轴相离.
〔4〕平行于工轴的直线与抛物线的交点
同〔3〕一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等,设纵坐标为灯则横坐
标是ax^ +bx + c = k的两个实数根.
y = kx + n
Y
y = ax 2 + bx + c
〔5〕一次函数〉=奴+ "I。0)的图像/与二次函数y = ax^+bx + c(a^ 0)的图像G的交点，由方程组
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ②方程组只有一组解时
=1与G只有一个交点；③方程组无解时=1与G没有交点.
⑹抛物线与％轴两交点之间的距离：若抛物线y = ax2+ bx + c与x轴两交点为a") b«,0)，由于xi、x2是
方程ax2+ bx + c = 0的两个根，故
AB = x — x
1 2
[-a)
k a)
b )2 4c <b 2 — 4ac /△

第二部分典型习题
1 .抛物线y = x2+2x — 2的顶点坐标是〔
A. 〔2,—2〕
C.
〔1, 一3〕
D. 〔一1, 一3〕

2 .已知二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，则以下结论正确的是〔C 〕
A. ab>0,c>0 B. ab>0,c<0 C. ab<0,c>0 D. ab<0,c<0

第2,3题图第4题图
3 .二次函数y = ax2+bx+c的图象如图所示，则以下结论正确的是〔D 〕
A. a>0,b<0,c>0B. a<0,b<0,c>0
C. a<0,b>0,c<0D. a<0,b>0,c>0
4 .如图，已知中,BC=8,BC上的高,D为BC上一点，，交AB于点E,交AC于点F〔EF不过A、B〕，设E到BC的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为〔D 〕
EF 4 - x
=n EF = 8 - 2x,/. y = -x2 + 4x
84
5 .抛物线y = x2 - 2x - 3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 4.
6. 已知二次函数y=kx2+(2k —1)x—1与x轴交点的横坐标为x、x 〔x<x〕，则对于以下结论：①当x=—2时,y=
1212
1；②当x>x时，y>0；③方程kx2+(2 k—1) x - 1=0有两个不相等的实数根x、x ；④x < - 1 , x >一1；⑤
21212
J1+4k 2
x —x =—，其中所有正确的结论是①③④〔只需填写序号〕.
21k
7. 已知直线y = -2x + b(b丰0)与x轴交于点A,与y轴交于点B； 一抛物线的解析式为y = x2- G + 10)x + c.
〔1〕若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y = -2x + b上，试确定这条抛物线的解析式；
〔2〕过点B作直线BCXAB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y =-2x + b的解析式.
解：〔1〕y = x2-10 或 y = x2- 4 x - 6
小 7、7b +10b2 + 16b +1、° b +10 [b2 + 16b +1
将(0，。)代入，得c = b .顶点坐标为(>—,-)，由题意得-2x>—+ b =—
解得 b =-10, b =-6.
12
〔2〕y = -2 x 一 2
8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为-2,0, 1时，相应的输出值分别为
〔1〕求此二次函数的解析式；
〔2〕在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.
解：〔1〕设所求二次函数的解析式为y = ax2+ bx + c,

a(-2)2 + b(-2) + c = 5
c = -3
a = 1
则<
a - 02 + b - 0 + c = -3 ,即 <
2a - b = 4，解得 <
b = -2

a + b + c = -4
a + b = -1
c = -3

故所求的解析式为：y = x2 — 2x — 3.

〔2>函数图象如图所示.
由图象可得，当输出值y为正数时，
输入值x的取值范围是尤<-1或尤〉3 .
9. 某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温
的体温变化情况绘制成下
的体温是上升的？它的体温
变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼夜图.请根据图象回答：
⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼
从最低上升到最高需要多少时间？
⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少？
⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到
22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式.
解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的
体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时
⑵第三天12时这头骆驼的体温是39°C
(⑶ y = - — x2 + 2x + 24(10 < x < 22)
16
，4 -、，
10.已知抛物线y = ax2 + (3+3a)x+4与x轴父于a、
B两点，与y轴交于点C.是否存在实数a,使得
△ABC为直角三角形.若存在，请求出a的值；若不
存在,请说明理由.
解：依题意，得点C的坐标为〔0,4〕.
设点A、B的坐标分别为〔x ,0〕，〔 x ,0〕，12
,4 c 、，八-4
由 ax2 + (— + 3a)x + 4 = 0,解得 x =一3, x =-—
3123a
4
・.・点A、B的坐标分别为〔-3,0〕，〔,0〕.
3a
4
・•・ AB =1-——+ 31, AC =逆。2 + OC2 = 5,
3a
BC = 1BO2 + OC 2 = J
I 4 |』
I 一——|2 +42 .3a
.„ . 416仁。4168八
AB2 =I — — + 312=— 2 x 3 x — + 9 =— — + 9,
3a9a23a9a2 a
AC2 = 25, BC2 =史 +16.
,9a 2
〈i〉当 AB 2 = AC 2 + BC 2 时，NACB=90°.
由 AB2 = AC2 + BC2,
16816八
得— — + 9 = 25 + (+16).
9a2 a9a2
1
解得a=—.
4
当 a=——时，点 B 的坐标为〔,0〕，AB2 =, AC2= 25, BC2=.
4399
于是 AB2 = AC2 + BC2.
1
当a =—-时，AABC为直角三角形.
4
〈ii〉当 AC2 = AB2 + BC2 时WABC=90°.
由 AC2 = AB2 + BC2，得 25 =(目--+ 9) + (目 +16).
4
解得 a = 9 .
444c
当a = 时，^―= —— =—3，点B〔-3,0〕与点A重合，不合题意.
93a 3 x 4
9
〈iii〉当 BC 2 = AC 2 + AB 2 时，/BAC=90°.
由 BC2 = AC2 + AB2 ,得? +16 = 25 + (? - - + 9).
4
解得a = § .不合题意.
1
综合〈i〉、〈ii〉、〈iii〉，当a =—-时，^ABC为直角三角形.
4
11.已知抛物线 y=—x2+mx—m+2.
〔1〕若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB=&，试求m的值;
〔2〕设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且AMNC的面积等于27,试求m的值.
解：<1〉A〔X],0〕，B<x2,0> .则 X],x2是方程 x2—mx+m—2 = 0 的两根.
,「X] +x2=m , x1-x2=m—2 <0 即 m<2 ;
又 AB=| x1—x2|=（气?2 -4气％ =、邑,
.*.m2—4m+3=0 .
解得：m=1或m=3<舍去〉，「.m的值为1 .
〔2〕M<a,b>,则 N< — a, —b> .
•.•M、N是抛物线上的两点,
.一a2 + ma 一m + 2 = b,・・•①
• •〈
一 a2一 ma — m + 2 = —».••• ^②
①+②得：一2a2—2m+4=0 .a2=—m+2 .
.••当m<2时，才存在满足条件中的两点M、N.
a = ±\,'2 — m .
这时M、N到y轴的距离均为12 - m ,
又点C坐标为〔0,2—m〕，而Sg N C = 27 ,
• 2X 1X〔2—m〕X J2-m =27 .
2
・.・解得m=—7 .
12. 已知：抛物线y=ax 2+4ax+t与x轴的一个交点为A〔一1,0〕.
底的梯形ABCD的面积为9,求
£在〔2〕中的抛物线上，且它
在点P,使^APE的周长最小?
〔1〕求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
〔2〕D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点，且以AB为一此抛物线的解析式；
〔3〕E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点,如果点与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存若存在，求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.
解法
〔1〕依题意，抛物线的对称轴为x=—2.
抛物线与x轴的一个交点为A〔一1,0〕，
..・由抛物线的对称性,可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为〔一3,0〕.
〔2〕・「抛物线y=ax 2+4ax+t与x轴的一个交点为A〔一1, 0〕，
a(—1)2+4a(—1)+t=0..•.t = 3a.・. y=ax2+4ax+3a .
•.・D〔0,3a〕...・ 梯形ABCD中,AB〃CD，且点C在抛物线y=ax2+4ax+3a上,• C〔一4,3a〕.・AB = 2,CD = 4.
11 一
,/ 梯形 ABCD 的面积为 9,・.5 (AB + CD) , OD =9 . •- (2+4)|3a|=9 .
•.a±1.
所求抛物线的解析式为y=x 2+4 x+3或y= - x 2 — 4ax - 3.
〔3〕设点E坐标为 U , y〕.依题意，x V0 , y V0,
lx0
①设点E在抛物线y=x2+4x+3上,
y =x2+4x +3 .
5
y = 一 一 x ,解方程组j 02 0得
、y° *0+4*0+3
x = — 6,
0
y =15；
0
x ' = - 1,02
5
y =04
,/点E与点A在对称轴x=-2的同侧，..・点E坐标为〔—1, 5〕.
2 4
设在抛物线的对称轴x=-2上存在一点P,使AAPE的周长最小.
VAE长为定值，..・要使△ APE的周长最小，只须PA+PE最小.
・.・点A关于对称轴x=-2的对称点是B〔一3,0〕，
・.・由几何知识可知,P是直线BE与对称轴x=-2的交点.
设过点E、B的直线的解析式为y=mx+n,
1, _5
——m+n = —,・•.< 24
-3m+n=0.
解得
1m =—,
2
3n =—.
2
直线be的解析式为y=1x+ 3..•・把x=-2代入上式，得y=1.
点P坐标为〔一2,〕.
②设点E在抛物线y= — x2— 4x — 3上，.•・y0= — x2 — 4x0 — 3 .
，=-5 x
解方程组F02% 消去y，得X2 + |x +3=0.
2 0
、y0= — x《—4 x0— 3.
.•.△V0 ..•・此方程无实数根.
综上,在抛物线的对称轴上存在点P〔一2, 1〕，使△ APE的周长最小.
解法二：
〔1〕\・抛物线y=ax 2+4ax+t与x轴的一个交点为A〔一1,0〕，

a(—1)2+4a(—1)+f=0..•.t = 3a.「. y—ax2+4ax+3a .
令 y=o,即ax2+4ax+3a=0 .解得 x=~1，x2=—3 .
..・抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为〔一3,0〕.
〔2〕由 y=ax2+4ax+3a，得 D〔0,3a〕.
,/梯形ABCD中,AB〃CD,且点C在抛物线
y=ax2+4ax+3a 上，
.C〔一4,3a〕.「・AB = 2,CD = 4.
,/梯形ABCD的面积为9,.・.；(AB+CD) - OD =9 .解得OD=3.
|3a=3 .「.a±1.
・.・所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y= — x2—4x—3 .
〔3〕同解法一得,P是直线BE与对称轴x=—2的交点.
.•・如图，过点E作EQ±x轴于点Q.设对称轴与x轴的交点为F.
1 PF1
艺=^....PF=-.
552
2 4
.„—BF PF
由PF〃EQ,可得—————
BQ EQ
点P坐标为〔一2,〕.
以下同解法一.
13.已知二次函数的图象如图所示.
〔1〕求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标.
〔2〕若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q.当点N在线段BM上运动时〔点N不与点B,点M重
合〕，设NQ的长为1,四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
〔3〕在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使APAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存
在,请说明理由；
〔4〕将△ OAC补成矩形，使AOAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标〔不需要计算过
解：〔1〕设抛物线的解析式y = a(x +1)(x-2),
- 2 = a x 1 x (-2) ..•. a = 1 ..•. y = x 2 一 x 一 2 .
点，第三个顶点落在矩程〕.
……一一」1其顶点M的坐标是—，—
\2

〔2〕设线段BM所在的直线的解析式为y = kx + b，点N的坐标为N〔t,h〕，.J0".解得k = 3,b = -3.
——=—k + b.2
〔4 2
・.・线段BM所在的直线的解析式为y = 3x — 3 .
...h = -1 — 3 其中-< t < 2 ..•・ s = -xlx2 + 1(2 + -1 — 3)t = -12 — -1 +1.
2 222342
311
与t间的函数关系式是S =彳t2— ^t +1,自变量t的取值范围是^ < t < 2 .
〔3〕存在符合条件的点P,且坐标是P
P2

设点P的坐标为P (m, n)，则n = m2一 m一 2 .
PA2 = (m +1)2 + n2 , PC2 = m2 + (n + 2)2, AC2 = 5 .
分以下几种情况讨论:i〕若ZPAC = 90°，则PC2= PA2+ AC2.
n = m2— m 一 2,
・.・<
m2+ (n + 2)2= (m +1)2+ n2+ 5.
5_J 5 7)
解得：m1= ^, m2 = —1〔舍去〕..•・点P侦，彳
ii〕若ZPCA=90°，则 PA2= PC2+ AC2.
I n = m2 — m — 2,
[(m +1)2+ n2= m2+ (n + 2)2+ 5.
解得：m = 3, m = 0〔舍去〕.・点P [3, - 5
3 242k 24 J
iii〕由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA > AC，所以边AC的对角ZAPC不可能是直角.
〔4〕以点O,点A〔或点O,点C〕为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA〔或边OC〕的对边上，如图a,此时未
知顶点坐标是点D〔一1,—2〕，
以点A,点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b,此时未知顶点坐标是
,F
14. 已知二次函数y=ax2—2的图象经过点〔1,—1〕.求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x轴的交点的个数.
解：根据题意，得a—2= — 1.
1....这个二次函数解析式是y=x2 - 2 .
因为这个二次函数图象的开向上，顶点坐标是〔0,—2〕，所以该函数图象与x轴有两个交点.
15. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1：110的比例图上，跨度AB = 5 cm,拱高OC = 0. 9 cm,线段DE表示大桥拱内桥长,DE〃AB,如图〔1〕.在比例图上，以直线AB为x辄抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系，如图〔2〕.
〔1〕求出图〔2〕上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
〔2〕如果DE与AB的距离OM—0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长〔备用数据：<2牝1.4，计算结果精确到1米〕.
解：〔1〕由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为
-,9
y ax2I —.
10
因为点A〔 — 5,0〕〔或B〔 5,0〕〕在抛物线上，所以0=a •2|9，得a=一£8
匕匕JLJL匕。
因此所求函数解析式为y=—125 x 2+奇-1 <x < §.
〔2〕因为点D、E的纵坐标为点，所以品=一得x2+9，得x= 土5 v2 .
所以点D的坐标为〔一—x2 ,由〕，点E的坐标为〔"*，福〕.420420
所以de=m2—（一 4巨）=写
因此卢浦大桥拱内实际桥长为 弋一x110 x 0.01=275巨牝385〔米〕.
16. 已知在平面直角坐标系内，0为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图.二次函数
y = ax2+bx+c〔a/0〕的图象经过点A、B,与y轴相交于点C.
〔1〕a、c的符号之间有何关系？
〔2〕如果线段0C的长度是线段0A、0B长度的比例中项，试证
a、c互为倒数；
〔3〕在〔2〕的条件下，如果b = —4, AB =4、.：3，求a、c的值.
解：
〔1〕a、c 同号. 或当 a>0 时,c>0；当 a<0 时,c<0.
〔2〕证明：设点A的坐标为〔x ,0〕，点B的坐标为〔x ,0〕，则0<x <x .
1212
OA = x , OB = x , OC = c .
据题意，xx 是方程 ax2-\-bx-\~c = Q(a^Q)的两个根.x * % =—.
12i 2 a
「,一 -一 c
由题意，得 OA • OB = OC2,即一=c 2=c2.
a
所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时,a、c互为倒数.
〔3〕当b = —4 时，由〔2〕知，x + x = — — = _〉0 ,「.a〉0.
12a a
解法一：AB=OB—OA= x —x =、(x +x )2— 4xx ,
21*121 2

•「AB =牝3 , ：^— =4<3 .得 a = 2 .3 = 2.
解法二:
4 ± ,.16 — 4ac 4 ^v 16^42 ± 3
由求根公式’x=—=「^=F'

2 +
「•气=，x=——

AB = OB — OA =x —x = H — 7 = M
21a a a
\* AB =4、；3, 2al =4*，得a = 2 . Ac = 2.
I-
17. 如图，直线y =-皇x +巨分别与x轴、y轴交于点A、B, OE经过原点O及A、B两点.
3
〔1〕C是③E上一点，连结BC交OA于点D,若匕COD=ZCBO,求点A、B、C的坐标；
〔2〕求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：
〔3〕若延长BC到P,使DP=2,连结AP,试判断直线PA与。E的位置关系,并说明理由.
解：〔1〕连结EC交x轴于点N〔如图〕.
•/ A、B是直线y =-言3x+v§分别与x轴、y轴的交点..•. A〔3,0〕，B (0,岳).
又ZCOD=ZCBO.；.ZCBO=ZABC.A C 是刃的中点.「• ECXOA.
ON =1OA =3,EN = °B =丑
、，… - 3
连结 OE・. EC = OE =品・「• NC = EC — EN =」
2
2222
C点的坐标为〔3,-旦〕.
22
〔2〕设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为y = ax(x — 3).
•「C〔 ',-弓〕.
・.・J =火3X2 -矣3X为所求.
98
f3)V tanZBAO =^3
3
2 = a - 3(3 - 3) ..•・a = - v 3 .
22 29
.\ZBAQ = 30°，匕ABO = 50°
由〔1〕知ZOBD=ZABD.
・•・ ZOBD = - ZABO - - x 60。= 30。.
22
・.・ OD = OB・tan3O°—1..・・ DA = 2.
VZADC=ZBDQ = 60° ,PD=AD = 2.
.△ADP是等边三角形..•./DAP = 60°.
.\ZBAP=ZBAO+ZDAP = 3O°+6O°=9O。.即 PA±AB.
即直线PA是。E的切线.