二重积分的坐标变换.ppt

首页,上页,返回,下页,结束,二重积分的变量代换,极坐标变换,一般变量代换,广义极坐标变换,一、利用极坐标系计算二重积分,极坐标下的面积元素,注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下,的二重积分需要进行,“三换”：,极坐标变换的适用情形,:,积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如,二重积分化为二次积分的公式,:,-,型区域,(1),区域特征如图,1.,原点在区域的外面,(2),区域特征如图,区域特征如图,2.,原点在区域的边界上,极坐标系下区域的面积,区域特征如图,3.,原点在区域的内部,若,f,1,则可求得,D,的面积,思考,:,下列各图中域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试,答,:,问,的变化范围是什么,?,(1),(2),区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式,:r,-,型区域,解,解,解,由上题结论,解,解,解,二、二重积分的换元法,证明见本课件末,不做要求,.,例,7,解,例,8,解,1.,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用,对称性,）,三、小结,基本要求,:,变换后定限简便，求积容易,思考题,思考题解答,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,练 习 题,练习题答案,定积分换元法,*,附,:,二重积分换元法,满足,一阶导数连续,;,雅可比行列式,(3),变换,则,定理,:,变换,:,是一一对应的,证,:,根据定理条件可知变换,T,可逆,.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换,T,在,xoy,面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,同理得,当,h,k,充分小时,曲边四边形,M,1,M,2,M,3,M,4,近似于平行四,边形,故其面积近似为,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式,:,例如,直角坐标转化为极坐标时,