二重积分的定义.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定积分中会求平行截面面积为已知的,一般立体的体积如何求,先从曲顶柱体的体积开始,.,而曲顶柱体的体积的计算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的,?,回想,立体的体积、,旋转体的体积,.,曲顶柱体的体积,.,二重积分的一个模型,.,可作为,第九章 重积分,第一节 二重积分的概念与性质,1,曲顶柱体体积,=,特点,1.,曲顶柱体的体积,D,困难,曲顶柱体,以,xOy,面上的闭区域,D,为底,D,的边界曲线为准线而母线平行于,z,轴的柱面,侧面以,顶是曲面,且在,D,上连续,).,?,曲顶,顶是曲的,2,柱体体积,=,特点,分析,?,曲边梯形面积是如何求,以直代曲、,如何创造条件使,?,解决问题的思路、步骤与,回忆,思想是,分割、,平顶,平,曲,这对矛盾互相转化,与,以不变代变,.,曲边梯形面积,的求法类似,取近似、,求和、,取极限,.,底面积,高,3,步骤如下,用若干个小平,顶柱体体积之,和,先任意分割曲顶柱体的底，,曲顶柱体的体积,并任取小区域,，,近似表示,曲顶柱体的体积，,4,(1),分割,相应地此曲顶,柱体分为,n,个小曲顶柱体,.,(2),取近似,第,i,个小曲顶柱体的体积的近似式,(,用 表示第,i,个子域的面积,).,将域,D,任意分为,n,个子域,在每个子域内任取一点,5,(3),求和,即得曲顶柱体体积的近似值,:,(4),取极限,),趋于零,求,n,个小平顶柱体体积之和,令,n,个子域的直径中的最大值,(,记作,上述和式的极限即为曲顶柱体体积,6,2.,非均匀平面薄片的质量,(1),将薄片分割成,n,个,小块，,看作均匀薄片,.,(2),(3),(4),近似,任取小块,设有一平面薄片,求平面薄片的质量,M,.,占有,xOy,面上的闭区域,D,在点,(,x,y,),处的面密度为,上连续,7,二重积分的定义,将区域,D,任意,分成,n,个小区域,任取,一点,若存在一个常数,I,使,可积,在,D,上的,二重积分,.,积分和,积分域,被积函数,积分表达式,面积元素,记作,是定义在有界区域,D,上的有界函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,引例,1,中曲顶柱体体积,:,引例,2,中平面薄板的质量,:,如果 在,D,上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域,D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,2.,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域,D,二重积分可写为,注,定积分中,1.,重积分,与,定积分的区别,:,重积分中,可正可负,.,则面积元素为,D,10,二重积分的存在定理,设,f,(,x,y,),是有界闭区域,D,上的连续函数,存在,.,连续函数一定可积,注,今后的讨论中,积分区域内总是连续的,.,或是分片连续函数时,则,都假定被积函数在相应的,11,(2),二重积分的几何意义,(3),(1),在,D,上的,二重积分就等于,二重积分是,二重积分是,而在其它的部分区域上是负的.,这些,部分区域上的,柱体体积的代数和,.,那末,柱体体积的负值,;,柱体体积,;,在,D,上的若干部分区域上是正的,12,例 设,D,为圆域,?,二重积分,=,解,上述积分等于,由二重积分的几何意义可知，,是上半球面,上半球体的体积：,R,D,13,性质,1,为常数,则,(,二重积分与定积分有类似的性质,),二重积分的性质,根据二重积分的几何意义,确定积分值,练习,14,以,1,为高的,性质,2,将区域,D,分为两个子域,性质,3,若 为,D,的面积,D,1,D,2,注,既可看成是以,D,为底,柱体体积,.,对积分区域的可加性质,.,D,又可看成是,D,的面积,.,D,1,与,D,2,除分界线外无公共点,.,15,特殊地,性质,4(,比较性质,),设,则,例,的值,=().,(,A,),为正,(,B,),为负,(,C,),等于,0,(,D,),不能确定,为负,B,16,几何意义,以,m,为高和以,M,为高的两个,证,再用性质,1,和性质,3,性质,5(,估值性质,),则,为,D,的面积,则曲顶柱体,的体积介于以,D,为底,平顶柱体体积之间,.,证毕,.,17,性质,6(,二重积分中值定理,),体积等于,显然,几何意义,证,D,上连续,为,D,的面积,则在,D,上至少存在一点,使得,则曲顶柱体,以,D,为底,为高的平顶柱体体积,.,将性质,5,中不等式各除以,有,18,的最大值,M,与最小值,m,之间的.,由闭区域上连续函数的介值定理,.,两端各乘以,点的值,证毕,.,即是说,确定的数值,是介于函数,在,D,上至少存在一点,使得函数在该,与这个确定的数值相等,即,19,以任意方式将区域,D,分割成,二重积分的几何背景,曲顶柱体的母线平行于,Oz,轴，,下底是,xOy,平面上的区域,D,上顶是曲面,S,:,z,=,f,(,x,y,).,其中,f,(,x,y,),0,.,求这个曲顶柱体的体积。,解,表示它们的面积。,任取一个小区域,D,i,，,将以,D,i,为底，曲面,S,为顶的曲顶柱体,于是整个曲顶柱体就被分成若干小的曲顶柱体。,并且在,D,i,内,任取一点,P,i,，,上页 下页 返回 结束 机动,若干小区域,地看作是以,D,i,为底，高度等于,f,(,P,i,),柱体。,20,因此这个小柱体的体积近似地等于,各个小柱体的体积之和,表示,D,i,的直径,(,i,=1,2,n,),如果这个和式存在极限,:,那么这个极限值就是曲顶柱体的体积。,这个方法的意义不仅在于求曲顶柱体的体积。,而是给出了求连续变量之和的一种普遍的方法。,上页 下页 返回 结束 机动,就是整个柱体体积的近似值：,21,上页 下页 返回 结束 机动,二重积分背景之二：质量非均匀分布的薄板的质量。,设,xOy,平面上有一块薄板,用,D,表示薄板所占据的平面区域,.,假设薄板上任一点,(,x,y,),处,方法：,以任意方式将区域,D,分割成若干小区域,它们的面积表示为,任取一个小区域,D,i,，,并且在,D,i,内,任取一点,P,i,，,D,i,的平均质量密度近似的等于,m,(,P,i,).,于是可以将,D,i,的质量近似地表示为：,质量密度等于,m,(,x,y,).,求薄板质量,M.,22,各小区域质量近似值之和就是整个平板质量的近似值：,表示,D,i,的直径,(,i,=1,2,n,),那么这个极限值就是整个平板的质量。,如果这个近似值存在极限,:,23,