二重积分的计算(极坐标)PPT参考课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*三、二重积分的换元法,第二节,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算,1,为什么,引用极坐标计算二重积分,2,1,D,0,y,x,D,1,D,2,D,3,D,4,D,:,.,怎么计算？,需使用,极坐标系！,此题用直角系算麻烦,必须把,D,分块儿!,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,又如,计算,其中,的原函数,不是初等函数,故本题,无法用直角坐标计算,.,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本题解法见后面,例题8,还可举例,3,极坐标系下的面积元素,将,变换到极坐标系,0,D,i,r,i,r,i+,1,.,.,.,.,.,.,利用极坐标计算二重积分,i,i,i,+,i,I,=,r,i,r,.,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用,坐标线:,=,常数,；,r,=,常数,分割区域,D,4,怎样利用极坐标计算二重积分(1),1.极点不在区域,D,的内部,0,A,B,F,E,D,D,:,r,r,5,0,A,B,F,E,D,D,:,.,1.极点不在区域,D,的内部,r,6,0,A,B,F,E,D,D,:,.,步骤：,1,从,D,的图形找出,r,上、下限,；,2,化被积函数为极坐标形式；,3,面积元素,d,x,d,y,化为,r,d,r,d,.,1.极点不在区域,D,的内部,r,7,2.极点位于区域,D,的内部,0,D,r,D,:,怎样利用极坐标计算二重积分(2),r,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,D,:,D,0,.,2.极点位于区域,D,的内部,r,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,D,:,.,D,0,步骤：,1,从,D,的图形找出,r,上、下限,；,2,化被积函数为极坐标形式；,3,面积元素,d,x,d,y,化为,r,d,r,d,.,2.极点位于区域,D,的内部,r,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,0,y,x,2,a,.,.,解,例1.,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（第一象限部分）,(极点,不在,区域,D,的内部),11,此题用直角系算麻烦，需使用,极坐标系！,2,1,D,0,y,x,D,:,变换到,极坐标系,.,.,例2.,计算,D,:,=1,和,=2,围成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,2,R,区域,边界：,x,=0,.,0,y,x,即,r=2R,sin,r=2R,sin,例3.,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,0,y,x,1,2,y=x,D,.,.,例4.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,0,y,x,4,r,=4 cos,r,=8 cos,8,D,1,2,例5.,计算,y,=2,x,x,=,y,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,0,y,x,r,=8 cos,D,4,8,.,r,=4 cos,2,1,例5.,.,计算,I,=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,例6,计算,其中,D,为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,例7.,将积分化为,极坐标形式,y,=,R x,D,1,D,2,.,.,R,0,y,x,D,.,.,.,arctan,R,.,I,=,I,=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,r=R,18,若,f,1,则可求得,D,的面积,思考:,下列各图中域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试,答:,问,的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(极点位于区域,D,的内部),19,例8.,计算,其中,解:,在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.,由于,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,注,:,利用,例8,可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的,反常,积分公式,事实上,当,D,为,R,2,时,利用,例8,的结果,得,故,式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,例9,.,求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的,体积,.,解:,设,由,对称性,可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,常用,D,到,D,的转换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极坐标下的二次积分注释,23,作业,P138-139 2,;,3,;,4,(2),(4),;,5,(2),(4),;,6,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,24,定积分换元法,三,*,、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理:,变换:,是一一对应的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25,证:,根据定理条件可知变换,T,可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换,T,在,xoy,面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26,同理得,当,h,k,充分小时,曲边四边形,M,1,M,2,M,3,M,4,近似于平行四,边形,故其面积近似为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,27,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28,例21.,计算,其中,D,是,x,轴,y,轴和直线,所围成的闭域.,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,例22.,计算由,所围成的闭区域,D,的面积,S,.,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,30,例23.,试计算椭球体,解:,由对称性,令,则,D,的原象为,的体积,V,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,31,内容小结,(1),二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32,则,(2),一般换元公式,且,则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,33,(3),计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,34,思考与练习,1.,设,且,求,提示:,交换积分顺序后,x,y,互换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,35,2,-1,1,D,机动 目录 上页 下页 返回 结束,D,1,D,2,36,思考：,-1,-1,1,1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,37,