完整高中数学导数典型例题精讲详细版.docx

厚德启智心、怀天下导
数经典例题精讲

1
1);(2)nx%,叫 7 X0
e(e=2.718281845..).

导数知识点几个常用极限：(1)眄彳 。，顷员、
sinx一
两个重要的极限：(1)lim 1; X2)limXx
X0
导数是一种特殊的极限
函数极限的四则运算法则：若limf(x)a,limg(则b /
Xx0x/

ab;(2) imfxgx
xx
若 lima
nn
(1) Limfx
xx0
数列极限的四则运算法则：
(2) lim%bnab (3)lim包-b0(4)l imc希
nnbnb、’n
f(x在 x°处的导数(或变化率或微商)
,,、・.y..f(x)x) f(x
代胪可0x-
.瞬时速度：s(t)lim-li一(2凶・
寸、t0tt0t
瞬时力速度：av(t)lim-limv(tt)-vA)
t0tt0t
f(x在 (a,b的 导数：f(x)电竺 lim」limf.
ab；(3)吗
x
a,limbb,则⑴ ima
nn
nn
limclimaca(。是常数)
n nn
bh

dxdxxoxxox
函数yf(x在点x。处的导数的几何意义
函数yf(x在点x。处的导数是曲线yf(x在P(),f(x )处的切线的斜率f(l)相应的切线方程是yyf(&)(刈).
几种常见函数的导数
(1、0(C 为常数).(2)对端30).(3彼&)$爆0、乂八&
(4) (lnx一;
导数的运算法则
1 xj ex.xzx.x.
(loga)-log(5)e)e
a
xx
(a)alna

'/c ,' /c uzuvuv
(1) (uv)uv.(2)(uv)uvuv. 2—(-0).
vv
复合函数的求导法则
设函数u(x在点x处有导数ux,,(x)函数yf(u在点x处的对应点U处有导数yuf (u)则复合函数yf((x))
在点x处有导数，且yxyuux?或写作1
f((x))f(u> (x)x
【例题解析】
考点1导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念
13
例1・仁）是J）—x2x1的导函数，则f（1）的值是一.3
［考查目的］本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力八
［解答过程］Qf(x)必f⑴
2
123.

故填3.
例2.设函数f/Y、x_a,集合M={x|f(x)x10},p={x'f(x)0若MRP,则实数a的取值范围是(
T(x) B.(0,1)C.(1,+8)
A.(-8,1)D. ［ 1,+8)
［考查目的］本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能
彳解答过程］由30, 当a>1时，1xa当a<1时,ax1.
a1.
综上可得M至P时，a 1.
考点2曲线的切线
(1关于曲线在某一点的切线求曲
线y=f(x在某一点P(x,y)的切 即求出函数y=f(x在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率
(2关于两曲线的公切线线，
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线
典型例题
1Q1
例3.已知函数f(x)-xaxbx在区间［1,1),(1,3内各有一个极值点.32
2
(1求a4b的最大值;
(I当)a24b8时，设函数yf(x在点A(1,f(1处的切线为l若
l在点A处穿过函数yf(x的图象(即
动点在点A附近沿曲线yf(x!动，经过点
A时，从l的一侧进入另一侧)
,求函数f(x的表达式.
解答过程：(I因为函数f()
x
1ax2bx
2 在区间［
(1, 3］内分别有一个极值点，所以

思路启迪：用求导来求得切线斜率
_2
设两实根为x1?x2 (耳
%则 x2x14a
0Ja24b04,0
4bw16,且当 x1
2,
2
b3时等号成立.故a4b的最大值
(I解法一：由 f(1)
ab知f(x在点(1,
f(1)处的切线l的方程是

yf(1)(f) (x1)即
一,、21y(1ab)x--a,32
f(x)xaxb在 ［1,1),(1,3内分别有一个实根,是16.
因为切线l在点A(1,f(x处空过y
所以 g(x)f(x)[ (1ab)x
f(x的图象,
1a ]在 x2
1两边附近的函数值异号，则
x1不是g(x的极值点.
而 g(x)
1ax2bx(1
2
b)x
3
1c
a,且2

解法2:由解法
1知切点坐标为
(2,2)
31
2,2
2x2 (x§)即
2 (x
/
Vx
ki
故选
(x2)
2)2
x2
/
Vx 1
(2,
3x,y
3
2)
1

x.
A.
/
Vx
0,
/
Vx
31
(2,2)
例6.已知两抛物线C1
x2
2x,C2：y
x2a,a取何值时
C1,C2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程
思路启迪：先对CLyx
2X,c2
a求导数.
解答过程：函数y
x22x
曲线C1在点P(x，x22x1)处的切线方程为
,2
y(X2q)2(x2)(x
2(Xi 1)x ；
曲线C］在点Q (x2, 52a)的切线方程是y (5a)
y2x2xx22a@
若直线1是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是1的方程
故得
Xid，*2X221,消去 乂2 得方程，2xp2x1la0
若左=442(］)0,即1时,解得 此时点P、Q重合.
2(la)&X212
,当时a」，&和C2有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为
24
考点3导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性,
以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的
方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重
视以下问题：
1.1.函数的解析式；2.求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值(最值)；5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7.函数f(x的定义域为开区间(a,b得函数f (x^ (a, bW的图象如图所示，则函数f (x在开区间(a, b内有极小值点()
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
［考查目的］本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力［解答过程］由图象可见，在区间(a,0内的图象上有一个极小值点.
故选A.
yx-
例 8.设函数 f (x) ^ax23bx8c 在 x
1及x2时取得极值.
(I泉a、b的值;
思路启迪：利用函数f (x) ^ax23bx8c在xl及x2时取得极值构造方程组求a、b的值.
(n)若对于任意的x ［ 0,3］,都有f(x)
高中数学导数第4页共14页
2
C成立，求C的取值范围.

斛答过程：(I)f(x)6x6ax3b,
因为函数f(x在 X1及x2取得极值，则有f(1)0,f(2)0.
H66a3b0,即 2412a3b0.
解得a3,b4.
(n)由 (i可知，f(x)Z9x212x8c,
f(x)q18x126(x1)(x2).
当 x(01时，f(x)0;
当 x(1,2时，f(x) ；0
当 x(2,3时，f(x)0.
所以，当x1时，f(x取得极大值f(1) 58又f(0)8c,f(3)98c.
则当x0,3时，f(x的最大值为f(3)98c.
因为对于任意的x0,3有f(x)2c恒成立，
所以98cc2,
解得c1或c9,
因此c的取值范围为(1)U(9,)・
例9.函数y$2x4q右7的值域是.
思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。
解答过程：由2x40得，x2，即函数的定义域为［2,).x30
112Vx3V2x4
y'—.—,_,，
2x42x32.2x4x3
又 24rx_3v'2x4 *勾
2.x32x4
当 x2 时，y/0,
函数y<2x4x'刘在(2,止是增函数，而f(2)1,yv2x4Vx—3的值域是［1,).
例10.已知函数 zhOsAcos其中xR,为参数，且02.
xxuxcoscos
16
(1)当时cos0,判断函数fx是否有极值；
(2要使函数f(x的极小值大于零，求参数的取值范围；
(3诺对(2)中所求的取值范围内的任意参数，函数fx在区间2a1,a内都是增函数，求实数a的取值范围.
［考查目的］本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、问题 解不等式等基础知识，考查综合分析和解决的能力，以及分类讨论的数学思想方法［解答过程］(1当cos0时，f(x)43x^ f(x在 (,)内是增函数，故无极值
由题设，函数f（x在 （2a1,a内是增函数，则
a须满足不等式组
2a1a
a0
由（错误!未找到引用源。参数时（一
)(3_L)时，
(6, 22, 6
Ocos

0 fz （x） b服cos,令 fz （x） 0得 xO,与cos—2由⑴只需分下面两种情况讨论.
①当cos0时，随x的变化f,（的符号及f（x的变化情况如下表:
X
(,0)
0
(0*)2
cos
2
容，）
2
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)

极大值

极小值

因此，
函数f（）在8s处取得极小值f（cos）,且f（cos）1o39
f（x） xf（ f（ 222416

要
使
fp
0,必有
1/2
一 cos(cos4
-)0可得 0cos4
由

一或3-
11
于
0cos
立，故一
.

26
22
6
错误!未找到引用源。当时cos0随x的变化，f'（的符号及f（x）的变化情况如下表:

x
cos
(,一)
cos
2
cos
(2,0)
0
(0,)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)

极大值

极小值

因此，函数f（x•在x0处取得极小值f（0且f（0—cos.

16
若f（0）0则cos0矛盾.所以当cos0时，f（x的极小值不会大于零.
综上，要使函数f（x^（）内的极小值大于零，参数的取值范围为（一一、（3土）.
（6, 226
）与（竺一,）内都是增函数。
（错误!未找到引用源。）解：由（错误!未找到引用源。）知，函数f（x在区间（
必有2a「i,即4 348
综上，解得a0或4也8
所以a的取值范围是(，。/一堆亨
例11.设函数f(x)=a—(a+1)ln(x+其,中a-1求f (乂的单调区间.
［考查目的］本题考查了函数的导数求法，函数的极值的判定，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
［解答过程］由已知得函数f(x的定义域为(1,)且F(x变」(al),
xl
⑴当la0时，£(x)0函数鬟乂在(1,上单调递减，
(2)当a0时，由f(x)(解得xl.a
f(x、f(x随 x的变化情况如下表
史.要使不等式2a12lcos关于参数恒成立,2
X
(1,-)a
1
a
』,)a
1f(x)
一
0
+
f(x)

极小值

当x(1;)时，~~从上表可知

f1 (x)0函数f(x在(1,1上单调递减
当X(1,时，匚仪)0函数般在心上单调递增.a, a,
综上所述：当1 a0时，函数f()在(1,上单调递减.
当a0时，函数f(x在(1,1上单调递减，函数f(x•在(1,上单调递增.aa'
例12已知函数f(x)a?bx2cx在点茂处取得极大值5,其导函数yf'(的图r i
象经过点
(1,0),(2如图所示.求：
\
(I)0x的值;
p I Hf i
(D)a,b,的值.
［考查目的］本小题考查了函数的导数，函数的极值的判定，闭区间上二次函数的最值，函数与方程的转化等基础知识的综合应
用，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
［解答过程］解法一：(I由图像可知，在，1上fix在1,2上f,x0在2,上f,x0
故f(x在(-,1),(2)止递增，在(1,2上递减，
因此fx在x1处取得极大值，所以x01
(D)f(x)3a2bxc,
由 f(1)=0,f(2)=0,f(1)=5,3a2bc0,
2)m； 3mx
2m,
f(x)3a)所c以
5,
2bxc,
解得a2,b

3-
9：c12.
m,c2m
3 2
解法二：(1同解法
m 3f(x)x 3:

一
2|
:2mx,
由f(1)即
mx
m3
3-

-m2m

2

m(x1)(x
c0,
所以 a 2,b9,c12
例13.设x3是函数f
(1求a与b的关系式
5,得 m 6,
(用
a225
ex
axbe3 表
小b),
.若存在
4
xxR的一个极值点.
并求fx的单调区间;
1,20,4使得 f1g2
1成立，求a的取值范围.

［考查目的］本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力［解答过程］(I)f' (—= x2+(a—2)x+b—a 卜 3 — x,
由 f'⑶=得,^一 ［ 32+(a-2)3+b—a ］ e33=0,即得 b=—3—2a,
则 f'(x)=x2+(—2)x—3——2a——a ］ e3x
=-［x2+(a_2)x-3_3ae3x=一 (x—3)(x+a+1)3e.
令 f'(x)=, xi=3或 x2=—a—1,由于 x=3 是极值点，
所以 x+a+1w0,那么 aw —4.
当 a<-4 时，x2>3=xj则
在区间(一 , 3)上，f'(x)<0,f为x减函数；
在区间(3,-a-上，f'(x)>0,为瞻函数；
在区间(一 a—L,+°)上，f'(x)<0,ffe减函数.
当 a>—4 时，x2<3=x1,则
在区间(一 8, —a—1)上，f'(x)<0,f为x减函数；
在区间(一 a-1,3jt, f'(x)>0,为瞻函数；
在区间(3,+°)上，f'(x)<0,f为x减函数.
(n)由 (I知，当a>0时，f(x在区间(0,3上的单调递增，在区间(3,4上单调递减，那么f(x在区间［0,4］上的值域是［min(f(0),f (4)),f,(3)
而 f(0) — (2a+3)e<0,f(4) = (2a+13L»0,f(3)=a+6,
那么f(x在区间［0,4］上的值域是［—(2a+3)e,a+6］.
又gx)(2生存在区间［0,4］上是增函数，
且它在区间［0,4］上的值域是［a2+学，(a2+空)e4］,
44
由于(a2+25)—(a+6)=a—a+l=(］)2>0,所以只须仅须a‘
442
(a2+竺)一 (a+6)< 1且 a>0，解得 0<a<_3.
42
故a的取值范围是(0,0).
2
132
例 14 已知函数 f(x)-abx2 (2b)x1
3
在xxI处取得极大值，在x*2处取得极小值，且0%裁22.
(1证明a0;
(2诺z=a+2b,求 z的取值范围。
(I由函数f(x在 xxI处取得极大值，在x
［解答过程］求函数f(x的导数f(x)&xbx2b.
所以 f(x)a(x)x(xx>
X2处取得极小值，知 X,*是f(x)(的两个根.

当乂乂【时，f(x为增函数，f(x)(由xxI
f(0)02b0
(n)在题设下，0X1X22等价于f⑴即a2b2b0
f(2)04a4b2b0
2b0
化简得a3b20.
4a5b20
此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2b0,a3b20,4a5b20.
所围成的^ABC的内部，其三个顶点分别为：入C［4、2)
7 7
b |
2
iF
BE/
Ml

54,2)
1

，4 6
,
A — ?—

7 7 j11
X0
24
16
z在这二点的值依次为一，6,8.
7
所以z的取值范围为一,8.
7
小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性
规划有机结合.
考点4导数的实际应用
建立函数模型，利用
典型例题
例15.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为各为2： K问该长方体的长、宽、高
多少时，其体积最大？最大体积是多少？
［考查目的］本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能
力解答过程］设长方体的宽为
1812x
h4.53x(m)
4
故长方体的体积为
x(m)则长为2x(m)高为0<xv3.
2
22
V(x)2x(4.53x)9x
6x3 (m3)
3(0<xva).
从而 V(x)18x18x(4.5
3x)18x(1
x).
令V'(x)=解得x=0
(舍去)或
x=1,因止匕x=1.
当 0vxv1 时，V'(x)>(当 1vx<2 时，V'(x)<0,
3
故在x=1处V(x取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值。
从而最大体积V=V'(x)=9X1-6X13(m3)此时长方体的长为2m,高为1.5m.
答：当长方体的长为2m时，宽为1m,高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m 3。
例16.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量y(升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：
yix3-3x8(0x120)已知甲、乙两地相距1千米.
128080
(I当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
］本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能
力
］(1当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了 1 25小时，
403—408) 2.517. 5升)80 4°
(I当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？［考查目
要耗没
(1280
17.5 升。
汽车从甲地到乙地行驶了 1小时，设耗油量为h(x升，依题意得x
答：当7八车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油
(I当速度为x千米/小时时，
h(x)—1—x3
3、
1
12
815,、

1280
一x8).
x
x1280
(0x120),x4

80

8x3803,、
xh'( 40
令h'(x)得x当
(0x120).
x2 640x2
80.
(0 一80时， 一
当x80时，h(x)取到极小值隔函电当*120时’心x)0，h是增函数.
因为h(x在(0,120］上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当7八车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
【专题训练】
一、选择题
18

.y=eincos(sinxMUy'(0等于()
19 .经过原点且与曲线y=x9相切的方程是()
A.x+y=0 或—x_+y=0
25
B.x—y=0 ^_x_+y=0
25
C.x+y=0 或—x_—y=0
25
D.x—y=0 或上一 y=0
25
x5
20 .设 f(x可导，且 f'(0)=0 又1^!对一1
'x0x
A.可能不是f(xl的极值f(x的极小值
C. 一定是 f, (x)=nx2 (1—x)n (n为正整数)，
4.设函数 B.—定是f(xl的极值
则 f(0)()
D.等于0
则fn(x)在 ［ 0,1］上的最大值为()

A.0B.1C. UnD.4n)n1
2nn2
5、函数 y=(x-1)3+1 在 x=- 1处()
A、有极大值B、无极值C、有极小值D、无法确定极值情况
22 .f(x)=a+3x2+2,f'(-1) =4,Ua=()
A、10B、13C、16D、29
3333
23 .过抛物线y=x2上的点M(11)的切线的倾斜角是()
214
A、3B、450C、6D、9
24 .函数f(x)=-6bx+3b在(0,1内有极小值，则实数b的取值范围是()
A、(0,1)B (-巴 1)C、(0,+8)D (01)2
25 .函数y=x3-3x+3在［25 ］上的最小值是()
2’2
A、 ％B、 1C、 33D、 5
88
10、若 f(x)^+ax2+bx+c,且 f(0)=为函数的极值，贝 U()
A、cw0B、当a>0时，f(0为极大值
C、b=0D、当a<0时，f(0为极小值
11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是()
A、(2,3)B (3,+8)C (2,+8)D (-巴 3)
12、方程6x5-15)4+10x3+1=0的实数解的集合中()
A、至少有2个元素B、至少有3个元素C、至多有1个元素D、恰好有5个元素
、填空题
24 .若 f' (x=2,1ifm0k)fx0)=.k02k
25 .设 f(x)=x(x+1)(x+2) (x+n)贝 Uf'(0)=.
26 .函数 f(x)=bjg3)2+5x—2)(a>0且 aw1)的单调 区间.
27 .在半彳至为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为时它的面积最大.
三、解答题
28 .已知曲线C:y=x3—3x2+2x,直线1:y=kxlfL 1与C切于点(x),y)(xW 0)求直线1的方程及切点坐标
29 .求函数 f(x)=2X2(1-x)(pCN+)在［0,1］内的最大值.
30 .证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数八
31 .求函数的导数
(1) y=(2x-2x+3)e2x；
(2) y=; x.
1x
.有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度.
.求和 Sn=12+22x+32x2+一一+nxn1,(xw0,nCN).
.设f(x)=w+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+b+x的两个极值点.
(1试确定常数a和b的值；
(2试判断x=1,x=2是函数f(xl的极大值还是极小值，并说明理由.
.已知a、b为实数，且b>a>e,其中e为自然对数的底，求证：ab>ba.
.设关于x的方程2x2—ax—2=0的两根为“、§(”<§函数f(x)竺.
x21
(1) 求 f(a)f(B的值；
(2) 证明f(x是［a,3上的增函数；
(3) 当a为何值时，f(x在区间［a,B］上的最大值与最小值之差最小？
【参考答案】
一、1.解析：v=esinx［cosxcos(sin-Cosxsin(sinx)］,y，0(tt—e)=1.
答案：B
2.解析：设切点为毒％ )则切线的斜率为k=2,另一方面，v'=(8_9)'4②,故
x0x5(x5)
y'(x)=k即 4y0x09 或 x02+18x0+45=0 得 x0⑴=—3,y⑵=一15,对应有 yO(广3,丫。出=1593，因此得两个
2, 二
(普5)x)XGXg5)1555
切点A(-3,3或 B(—15,W),从而得y'(A)=_4=_—1及y,(B)王工，由于切线过原点，故得切线：虹V=
5(35)3(155)225
一 x 或 b y=-.
25
答案：A
.解析：由limf(。)=—1，故存在含有0的区间(a,b使当xC(a,b),xw时f V0,于是当xC(a,0时化(0)>当xC(0,bx)xx时，f'(0)<这样f(x在 (a,0上单增，在(0,b上单减.
答案：B
2n
.解析:「f；(x)=2xn(1—x)n—n3x2(1—x)n-1=n2x(1—x)n-1［2(—x)—nx］令 fn(x)=0 得 乂］ = 0,为=1，为=2,易知
fn (x)在x=_2—时取得最大值，最大值fn 0 =庄。2 (1-2)n=4-0n+12n2n2n2n2n
答案：D
5、 B6、 A7、 B8、 D9、 B10、 C11、 B12、 C
13.解析：根据导数的定义：f，。九松门用这时xk)
1f
k0
k)f(ox)
2k
lim[ 1f(xo2kk)]f(ox).

1.
!ifkOX2kok
k0
答案：—1
.解析：设 g(x) = (x+1)(x+2)(x则*)f (x)=xg (于是 f,(x)=g(x)+xg,(x),f(0)=g(0)+0-g'(0)=g (® =1 n=n!
答案：n!
.解析：函数的定义域是 x>1 或 xv—2,f/(xi))=e.(3xh5x—2)/=6x5)loge,33x25x2 (3x1)(x2)
xv—2 时，33
① 若 a>1,则当 x>1 时，1ogae>0,6x+5>0,(3—1)(x+2)>0, f'(x)>Qf.函数 f(x在 (1,+)上是增函数，f'(x) <0函数f(x在 (一 —2)上是减函数.
,
② 若0vav1,则当x>1时，f(x)<0,/.f在J1,+8上是减函数，当xv—2时，
33
f(x)>(0, f(x在 (一 8,—2)上是增函数.
答案：(—8,—2)4
16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h,那么h=AO+BO=R+jKAV,解得x2=h(2R—h)于是内接三角形的面积为〃[,S=x-h=J(2Rhh hJ(2Rhh4) 1/
从而 S1(2Rh3h4)2 (2Rh3h4)一
,1,2,、
l(2Rhh4) (6Rh24hs)h(3R2h)
(2Rh)h3
令S'=0解得h=_3R，由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下：
2
h
(0,3R)2
3R2
d,2R)2
S'
+
0
一
S
增函数
最大值
减函数

由此表可知，当X=3R时，等腰三角形面积最大
2
、17.解：由 l过原点，知 k=y_(xW0),点 毒、)在曲线 C 上，Y0=x03-3x02+2x0,x
y_=XO2—3x0+2,y/=32x—6x+2,k=3x 2—6x0+2x0
又 k= y0 , r . 3xo2—6xo+2=xo2—3xo+2,2^o2—3xo=0,^o=0 或 x°=—3.
XO
由 xw0,知 X0=3,2
yo= 3)3—3(02+2 . 3=—3..-k=_yo=-1.
2228XO4
1-l方程 y=-lx切 点(3,—3).428
. f'(x》p(1x) [2(2p)x]
令 f'(x)=得，x=0,x=1,x=
在[0,1上，f(0)=0,f ⑴=3)
「(X)]nax 4(-p-2V
2p
2p
4(p)p2.
2p
2p

.设双曲线上任一点P(xo,yo),
kylxX。-,

令 y=0,则 x=2x
2
a/、
-Ar(xX，
cl
S21x|lyl
2a
X。
2a2

20.解：(1》主意到 y>0,两端取对数，得 lny=ln2—2x+3)+lnec=ln(x—2x+3)+2x,
(为2x3)y-x 2x3
—b
2 _
2(xx2)
x22
x22x3
—'
2 一
2(xx2)
-(x
x22x3
2(星x2)x2x3.
2
、 2x
2x3)e.

ln|y|=2(ln|—ln|1
3
—x|),
22x
1(!」)3x1x 11
,
3x(1x)
11
3
3x(1x) 3x(1x)1x
2(xx2)e.
⑵两端取对数，得
21.解：设经时间
两边解X求导，得
t秒梯子上端下滑s米，则s=5—、； 259t2,当下端移开1.4m时，t0=L4 —
315
▽ , 2-(-9-2t)=911
乂 s=--(2—9t2) -
所以 s' 0=9x7 1=0.875 (m/s).
15 72
259 (2
L2
259t
解：(1)当 x=1 时，Sn=12+22+32+ +n2=1n(n+1)(2n+1,)当 xw1 时，1+2x+3x2+...+nxn-1=1 n
6 _
两边同乘以x,得
x+2x2+3x2+ +nxn=x (n〔*便之两边对x求导，得
(1x2
Sn=12+22x2+32x2+.+n2xn-1
_1x(n1)xn (2n22n1)xi1n2xn2. (1x)
解：f'(x)=3ax1.
若a>0, f'(x)>对xC—8,+oo)恒成立，此时f(x只有一个单调区间，矛盾.
若a=0, f'(x)=1>0, xC( 8 +oo), f(x也只有一个单调区间，矛盾.
若a<0, 「f'(x)=3a(x+10x—J),此时f(x恰有三个单调区间.
— 3|a|,3|a|
'''av且单调减区间为(-0, — 1)和+oo),
,3|a|3|a|
单调增区间为(一AU,_1).
—-3|a|3|a|
15
1)xnx
(1x)2
nn1
.解：f(x)=+2bx+1, x
(1)由极值点的必要条件可知：f'(1)=f'(2)=即a+2b+1=0,且3+4b+1=0,
2
x22x3

⑵ f'(x—2x-i—1x+1,当 xC(0,1时,
33
解方程组可得 a=—2,b=—1,1.f(x—2lnx—1x2+x,3636f'(x)<0, xC(1,2)时，f (x)>0当xC(2,+8 时，
处函数f(x取得极小值5,在x=2处函数取得极大值4-_2in2.
633
F(x)v0故在 x=1
.证法一：<b>a>e,,要证 ab>ba,只要证 blna>alnb设 f(b)=bln—alnb(b>e测
f'(b)=l—i.「b>a>e,, lna>1 且月 v1,, f'(b)>0 函数 f(b)=blna-al在(e,+°)上是增函数，f(b)bbf(a)=aln—alna=0即 blna—alnb>0,blna>alnb)>ba.
岫，，，
证法二：要证 ab>ba,只要证 blna>alnb(evadb即证：；,设 f(x)=Jnx(x>则，f'(x匾v0,,函数 f(x)xxA在(e,+°)上是减函数，又.evavb,
.f(a)>f(l即的 Jnb,/.b>ba.ab
26.解:(1)f(a)=8,f 卬)f=8 “)=f(B)=4
a216aa216a
f(x)
(4xa) 2l)(4xa) (X)
4()21)
7-2772
(x1)
2x(4xa)
~r~2772
(x1)

2(2xiax2)
7-2772
(x1)
「函 数f(x在 (a
(3通数 f(x在 [
(2)设 6(x)=2x—ax
|f(a)f(B)|=4,
f(B)>最小值 fD)<0,

_2(x)
'/0
W)
3)上是增函数.，3]
上最大值
一2,则当 avxv§ 时，({)(x)<0,
当且仅当 f(B)—f(a)=2时 f(B—f(a) = |f(B)| + |f取)最小值 4,此时 a=0,f(3)=2.