考研经典数学讲义第八章多元函数微分法(课堂PPT).ppt

1,一、基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,第八章 多元函数微分法,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意,:,善于类比,区别异同,.,2,(1),区域,邻域,:,区域,连通的开集,(2),多元函数概念,n,元函数,常用,二元函数,(,图形一般为空间曲面,),三元函数,一、基本概念,1.,多元函数,定义域及对应规律,(,无几何直观,),3,解,:,例,1.,求,的定义域,x,o,y,所求定义域为,:,例,2,.,设,解,:,4,则称,常数,A,为函数,描述性定义,对于二元函数,是定义域,D,的聚点,对应的函数值 无限接近,于一个确定的常数,A,，,则称,A,为,的极限,记为：,2.,多元函数的极限,(1),定义：,设函数,的定义域为,D,是,D,的,聚点,.,如果对于任意给定的正数,总存在正数,使,得对于适合不等式,的一切点,都有,成立，,当,时的,极限,.,记为：,或,或记为,这里,5,(2),二元函数的极限与一元函数的极限的区别与联系,不同点：,二元函数极限,的方式（路径）不同,一元函数 的方式有两种，故有,的方式是任意的，有无数个,.,沿,任何路径,时极限存在且相等,确定二元函数极限不存在的方法：,令,P,(,x,y,),沿,y,=,kx,趋向于,若极限值与,k,有关，,则可断言极限不存在；,找两种不同趋近方式，,使,存在，,但,两者,不相等，,此时也,可断言,f,(,x,y,),或有的极限不存在，,处,极限不存在,.,在点,6,共同点：,即有定义,与有极限不能互相推出,.,定义方式相同,.,故一元函数中凡是用定义证明的结论均可推广到,多元函数中,.,用定义只能证明极限,.,在点 是否有定义并不影响极限是否存在，,联系：,由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同,.,所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有界性及极限的四则运算法则，夹逼准则；无穷小的概,念与性质，两个重要极限及求极限的变量代换法，等价,无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来,.,但一元函数极限的充要条件及洛必达法则不能用,于多元函数极限上,.,7,例,3.,考察函数,在原点的二重极限,.,解,:,8,例,4.,求极限,解,:,其中,(,或用等价无穷小代换,),9,3.,多元函数的连续,若令,记,则,设函数,z,=,f,(,x,y,),的定义域为,D,，,聚点,若,则称函数,z,=,f,(,x,y,),在,处,连续,.,(1),定义：,(2),间断点：,点连续,10,例如,函数,在点,(0,0),极限不存在,又如,函数,上间断,.,故,(0,0),为其间断点,.,在圆周,(3),多元初等函数：,如：,所表示的多元函数，,有限次,的四则运算和复合步骤所构成的可用,一个式子,由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过,叫,多元初等函数,.,11,(4),多元函数连续性的应用,-,求极限,求,时，,如果,f,(,P,),是初等函数，,定义域的,内点，,则,f,(,P,),在点,处,连续,且,是,f,(,P,),的,定理,:,定义区域,是指包含在定义域内的区域或闭区域,一切多元初等函数在其,定义区域内,是连续的,例,5.,求,解,:,函数,是二元初等函数，,12,4.,多元函数的偏导数,(1),定义：,13,(2),多元函数的偏导数与一元函数导数的不同点：,连续,可导,偏导记号已不再有“,商,”的,含义,.,(3),多元函数的偏导数与一元函数导数的共同点：,故多元函数偏导的,求法与一元函数类似,.,可以把一元函数的求导公式和法则拿过来用,.,因此,定义方式相同,.,(4),偏导及高阶偏导的记号：,纯偏导,混合偏导,14,例,6.,解,:,由定义可知：,提示：求分界点、不连续点处的偏导数要用,定义,求,.,(08,数学三,),15,5.,多元函数的全微分,对于二元函数,(1),可微的定义,:,微分：,全微分的实质：,可微,能,是,是,16,(2),多元函数连续、可导、可微的关系,函数连续,函数可导,函数可微,偏导数连续,极限存在,连续,可微分,偏导数存在,偏导数连续,(3),判定函数可微的方法,:,不连续,不可微,.,不可导,不可微,.,可微,定义法,:,偏导连续,可微,.,是,有定义,17,函数,在,可微的充分条件是,(),的某邻域内存在,;,时是无穷小量,;,时是无穷小量,.,能,是,是,例,7.,18,(12,数学一,),(12,数学三,),19,(4),几个需要记住的重要函数,(,反例,):,1),函数,它在,(0,0),处可导,不可微,不连续,.,2),函数,它在,(0,0),处不可微、不可导、连续,.,3),函数,它在,(0,0),处连续,可导,不可微,.,20,例,8.,讨论,函数,在原点处连续、可导、不可微,.,所以，所给函数在,(0,0),处连续,.,解,:,(2),21,可微,例,8.,讨论,函数,解,:,(2),由导数的定义知,在原点处连续、可导、不可微,.,则,22,1.,求具体显函数的偏导数,求时，,把,x,看成,变量，,其余变量均看成常量；,求,时，,把,y,看成,变量，,其余变量均看成常量；,2),求一点处偏导数的方法：,先代后求,先求后代,利用定义,3),求高阶偏导数的方法,:,逐次求导法,混合偏导数连续,与求导顺序无关,1),求偏导,(,函,),数的方法：,二、多元函数微分法,23,24,2.,复合函数求导的链式法则,:,3.,全微分形式不变性,:,不论,u,v,是自变量还是因变量,都有：,同路相乘,异路相加,.,单路全导,叉路偏导,.,25,例,1.,解,:,26,例,2.,解,:,27,(09,数学一,),28,法,1,：公式法：,法,3,：微分法：,谁看成变量,.,时把谁看成常量，,注意求,法,2,：直接法：,两边求导，这时若对 求导，把 数,谁是自变量，,把 均看成变量用一阶微分形式不变性及微分法则,.,谁是函数，,两边微分，不用区分,求隐函数 的偏导数也有类似的方法,.,请选用恰当的方法,.,3.,求隐函数 的偏导数的三个方法,29,隐函数的求导公式：,对,两边对,x,求导得,解这个关于 的方程组即可,.,即,30,定理,1.,设函数,则方程,单值连续函数,y=f,(,x,),并有连续,(,隐函数求导公式,),具有连续的偏导数,;,的,某邻域内,可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,31,定理,2.,若函数,的某邻域内具有,连续偏导数则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数,z=f,(,x,y,),满足,在点,满足,:,某一邻域内可唯一确,32,根据隐函数存在定理，,存在,点 的一个邻域，在此邻域内，该方程,(,A,),只能确立一个具有连续偏导的隐函数,(,B,),可以确立具有连续性偏导的隐函数,(,C,),可以确立具有连续性偏导的隐函数,(,D,),可以确立具有连续性偏导的隐函数,设,则,例,3.,提示,:,33,例,4.,设,解法,1:,直接求导法,再对,x,求导,注意：,对,x,求导时,应把,y,看成常量,把,z,看成,x,y,的函数,.,34,例,4.,设,解法,2:,利用公式,设,则,解法,3:,利用微分法求导,35,(10,数学一,二,),(13,数三,),36,解,:,方程两边求微分,得,即,例,5.,设,是由方程,和,所确定的函数,求,(99,考研,),分析,:,自变量个数,=,变量总个数,方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,函数的个数,=,方程的个数,37,一、基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,第八章 多元函数微分法,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意,:,善于类比,区别异同,.,38,1,.,在几何中的应用,求曲面的切平面及法线,(,关键,:,抓住法向量,),三、多元函数微分法的应用,曲面,曲面,在点,1),隐式情况：,的,法向量：,切点,曲面,2),显式情况：,法线的,方向余弦：,法向量：,切点,39,求曲线的切线及法平面,(,关键,:,抓住切向量,),1),参数式情况,.,切向量,2),一般式情况,.,切点,切向量,其指向与,t,的增长方向一致,.,40,已知平面光滑曲线,切点,该曲线在 处的切向量为：,若平面光滑曲线方程为,特别的：,其指向与,t,的增长方向一致,.,若平面光滑曲线方程为,41,思考,:,平面曲线的切线,(,切向量,),与法线,(,法向量,).,1.,已知平面光滑曲线,在点,有切线方程,:,在 处的切向量为：,42,2.,若平面光滑曲线方程为,故在点,有法线方程,43,3.,已知平面光滑曲线,切线方程：,法线方程在点,有,44,例,1.,解,:,切向量为：,所求切线方程为：,法平面为：,求曲线,上对应于,的点处的切线,与法平面方程,.,45,例,2.,求曲线,在点,M,(1,2,1),处的切线方程与法平面方程,.,解,:,令,则,切向量,切线方程,即,法平面方程,即,46,练习：,解,:,令,(13,数一,),47,2.,极值与最值问题,1),定义,:,(1),由定义知,:,极值点应在定义区域,内部,(,内点,),而不能在边界上,.,(3),在点,(0,0),有极小值,;,在点,(0,0),有极大值,;,(2),该极值的概念可推广到三元以上的多元函数上,.,说明：,在点,(0,0),有极大值,;,48,2),极值的必要条件与充分条件,定理,1,(,必要条件,),函数,偏导数,且在该点取得极值,练习,:,(2003,研,),设可微函数 在点 取得极小值,则下列结论正确的是,(),C,49,50,定理,1,简述为：,驻点,极值点,(,可导函数,),注,1,几何意义：,注,2,逆命题不成立,即驻点不一定是极值点,.,故,驻点,极值点,但在该点不取极值,.,因函数在,该点的偏导不存在,.,1),驻点,2),偏导中至少有一个不存在的点,.,51,定理,2,(,充分条件,),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,若函数,令,时,具有极值,则,:1),当,A0,时取极小值,.,2),当,时,没有极值,.,3),当,时,不能确定,需另行讨论,.,1),驻点,2),偏导中至少有一个不存在的点,.,52,例,3.,求函数,解,:,解方程组,得驻点,(1,1),(0,0),故所求函数的极值为,:,对驻点,(1,1):,所以,对驻点,(0,0):,所以函数在,(0,0),处,无极值,.,53,3),求函数,的极值的一般步骤：,第三步,:,定出,的符号，,再判断是否为极值,.,求出在定义区域内部的实数解,第一步,:,解方程组,得驻点,.,第二步,:,求出,二阶偏导数,的值,A,、,B,、,C.,对于每一个,驻点,54,(12,数学一,二,),(09,数学二,),(09,数学一,三,9,分,),5511,年数学一,),56,4),求条件极值的方法,(,消元法,拉格朗日乘数法,),极值问题,无条件极值,:,条 件 极 值,:,条件极值的求法,:,方法,1,代入法,.,求一元函数,的无条件极值问题,.,对自变量只有定义域内限制,.,对自变量除定义域内限制外,还有其它限制条件,.,例如,转化,57,方法,2,拉格朗日乘数法,.,如方法,1,所述,则问题等价于一元函数,的极值问题,故极值点必满足,设,例如,极值点必满足,引入辅助函数,58,拉格朗日乘数法,:,就是可能的极值点的坐标,.,辅助函数,F,称为拉格朗日,(Lagrange),函数,.,利用拉格,朗日函数求极值的方法称为,拉格朗日乘数法,.,以上解正是,的驻点,.,59,推广:,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束,条件的情形,.,例如,求函数,下的极值,.,解方程组,可得到条件极值的可疑点,60,(1),最值的存在性：,如函数,(2),有界闭区域,D,上连续函数的最值的求法与步骤：,.,找最值可疑点,D,内的驻点及不可导点,边界上的可能极值点,.,比较以上各点处的函数值,最,大,(,小,),者即为所求的,最,大,(,小,),值,.,需求函数,(,假定函数在,D,有,有限个可疑点,),定理,：,若,f,(,P,),在有界闭域,D,上连续,则,在,D,上可取得最大值,M,及最小值,m,.,5),求解闭域上连续函数最值问题,61,解,:,如图,例,4.,求二元函数,62,设,解方程组,得条件极值的可疑点为：,另解,求,提示,:,3.,比较以上各点处的函数值,最大,(,小,),者即为所求的最大,(,小,),值,.,练习：,求函数,在闭域,2007,研,答案,:,63,求多元函数在闭区域,D,上的最值,往往比较复杂,.,但如果根据问题的实际意义,知道函数在,D,内存在最值,又知函数在,D,内可微,且只有唯一驻点,则该点处的函数值就是所求的最值,.,特别,当区域内部,最值存在,且,只有,一个极值点,P,时,函数的最值应用问题的解题步骤：,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,.第一步 找目标函数,确定定义域,(,及约束条件,);,6),函数的最值应用问题,64,例,5.,求曲面,与平面,解：,设,为抛物面,上任一点，,则,P,的距离为,问题归结为,约束条件,:,目标函数,:,到平面,之间的最短距离,.,令,得唯一驻点：,根据问题的实际意义,知,65,(08,数学一,11,分,),(10,数三,),66,在山坡上沿不同方向行走时陡缓不一样,.,空气沿不同方向流动的快慢不一样,.,在数学上，即设函数 当,(,x,，,y,),沿不同方向改变时的变化率决定着陡缓与快慢,.,如图,：,3.,方向导数与梯度,问题的提出,:,67,方向导数,1),定义,:,则称,记作,x,o,y,68,的方向导数为：,69,2),方向导数的存在性及其计算方法,:,定理,那么,函数在,该点沿任一方向 的方向导数存在,且有,说明,:,(1),可微,沿任一方向的方向导数存在,.,反之不一定成立,.,如：,在 点处沿任一方向,的方向导数为,1,，,但它在 处不可微（因不可导）,.,70,(3),若计算,，只需在题设中找到,(4),几个关系：,连 续,可微分,偏导数存在,一阶偏导数连续,有定义,注：,反之不成立,.,71,(5),推广可得三元函数方向导数的定义及计算公式,1),定义：,函数 在点,处沿方向,的,方向导数,.,72,例,6.,解,:,方向余弦为,而,同理得,73,方向导数公式,记向量,方向导数取最大值：,这说明,方向：,f,变化率最大的方向,模,:,f,的最大变化率之值,1),定义：,记作,称为函数,f,(,x,y,z,),在点,P,处的梯度,(gradient),向量,梯度,74,即,同样,可定义二元函数,函数,f,(,x,y,z,),在点,P,处的梯度,在点,处的梯度,2),梯度与方向导数的关系,:,(1),区别：,(2),联系：,梯度是向量，方向导数是数量,.,函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得,方向导数的最小值？,最大,方向导数,的方向一致,而它的模为方向导数的最大值,.,即,75,例,7.,求函数,由梯度计算公式得,梯度,并求该函数在点 处的方向导数的最大值,.,解：,则该函数在点 处的方向导数的最大值为：,76,3.,(05,数,1),