生活中的优化问题举例-优秀公开课!.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,单击此处编辑母版标题样式,Page,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,单击此处编辑母版标题样式,1.4,生活中的优化问题举例,新源县第二中学高二数学组,授课人：李中辉,高二（,6,）班,知识回顾,一、如何判断函数的单调性？,f(x),为,增函数,f(x),为,减函数,设函数,y=f(x),在,某个区间,内可导，,二、如何求函数的极值与最值？,求函数极值的一般步骤,（,1,）确定定义域,（,2,）求导数,f(x),（,3,）求,f(x)=0,的根,（,4,）列表,（,5,）判断,求,f,(,x,),在,闭区间,a,b,上的最值的步骤：,(1),求,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内极值；,(2),将,y,=,f,(,x,),的各极值与,f,(,a,),、,f,(,b,）比较,从而确定函数的最值。,知识背景：,生活中经常遇到,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,，,这些问题通常称为,优化问题,.,通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题,.,课题引人：,小游戏,游戏规则：,把一根电线从中间任意一点剪断就得到两根较短的电线，把这两根电线折成两个小正方形，如果两个小正方形面积之和最小的一位同学获胜！,思考：,从哪里剪开可以使面积和最小？并且动手试试看。,例,1,：,海报版面尺寸的设计,学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为,128dm,2,，上、下两边各空,2dm,，左、右两边各空,1dm,，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,2,分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？,128,y,x,1,因此，,x=16,是函数,S(x),的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为,16dm,，宽为,8dm,时，能使四周空白面积最小。,2,128,y,x,1,2,、在实际应用题目中，若函数,f,(,x,),在定义域内,只有一个极值点,x,0,，,则不需与端点比较，,f,(,x,0,),即是所求的最大值或最小值,.,说明,1,、设出变量找出函数关系式；,(,所说区间的也适用于开区间或无穷区间,),确定出定义域,；,所得结果符合问题的实际意义。,练习,1,、一条长为,l,的铁丝截成两段，分别,弯成两个正方形，要使两个正方形,的面积和最小，两段铁丝的长度分,别是多少？,则两个正方形面积和为,解：设两段铁丝的长度分别为,x,l,-,x,其中,0,x,2,时，,f(r)0,它表示,f(r),单调递增，即半径越大，利润越高；,当,r2,时，,f(r)0,它表示,f(r),单调递减，即半径越大，利润越低。,（,1,）半径为,2,时，利润最小。这时,f(2)3,时,利润才为正值,.,解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示,:,方法小结,优化问题,用函数表示数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,建立数学模型,解决数学模型,作答,思考,1,表面积,设半径为,R,则高为,h,表面积写成,R,的函数,问题就转化求函数的最值问题,R,h,R,h,R,h,作业,:,在边长为,60cm,的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,(,如图,),做成一个无盖的方底铁皮箱,.,箱底边长为多少时,箱子容积最大,?,最大容积是多少,?,x,h,解,设箱底边长为,x,则箱高为,箱子容积为,由,解得,x,1,=0(,舍,),x,2,=40.,x,h,解,设箱底边长为,x,箱子容积为,由,解得,x,1,=0(,舍,),x,2,=40.,当,x(0,40),时,V(x)0;,当,x(40,60),时,V(x)0.,函数,V(x),在,x=40,处取得极大值,这个极大值就是函数,V(x),的最大值,.,答,当箱箱底边长为,40cm,时,箱子容积最大,最大值为,16000cm,3,练习,3:,某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省,?,R,h,解,设圆柱的高为,h,底面半径为,R.,则表面积为,S(R)=2Rh+2R,2,.,又,V=R,2,h(,定值,),即,h=2R.,可以判断,S(R),只有一个极值点,且是最小值点,.,答 罐高与底的直径相等时,所用材料最省,.,问题,3:,如何使一个圆形磁盘储存更多信息,?,知识背景：,计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域。磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常称为比特（bit）。磁盘的构造如图1.4-3所示。,解,:,存储量,=,磁道数,每磁道的比特数,.,设存储区的半径介于,r,与,R,之间,由于磁道之间的宽度必须大于,m,且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达,(R-r)/m,。,由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到,所以，磁道总存储量为：,(1),它是一个关于,r,的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是,r,越小，磁盘的存储量越大。,解：存储量,=,磁道数,每磁道的比特数,(2),为求,f,(,r,),的最大值，先计算,解得,