设函数fx的定义域为I市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的单调性,第1页,第1页,设函数,f,(,x,)定义域为,I,:,一、函数单调性,注,:,函数是增函数还是减函数是对定义域内某个,区间,而言,.,有函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上也许是减函数.,假如对于属于定义域,I,内某个区间上任意两个自变量值,x,1,x,2,当,x,1,x,2,时,都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),那么就说,f,(,x,),在这个区间上是增函数;,假如对于属于定义域,I,内某个区间上任意两个自变量值,x,1,x,2,当,x,1,f,(,x,2,),那么就说,f,(,x,),在这个区间上是减函数.,第2页,第2页,假如函数,y,=,f,(,x,)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数,y,=,f,(,x,),在这一区间上含有,(严格),单调性,这一区间叫做函数,y,=,f,(,x,),单调区间.,二、单调区间,1.,取值,:对任意,x,1,x,2,M,且,x,1,0(0,b,0),单调区间,.,x,b,解:,函数,f,(,x,),定义域为(,-,0),(0,+,),典型例题,函数,f,(,x,),导函数,f,(,x,)=,a,-,=,b,x,2,a,x,2,-,b,x,2,函数,f,(,x,),单调递增区间是,(,-,-,),与,(,+,),a,b,a,b,函数,f,(,x,),单调递减区间是,(,-,0),与,(0,).,a,b,a,b,令,f,(,x,)0,得:,x,2,-,x,0,或,0,x,0,得:,x,2,x,;,a,b,a,b,a,b,第6页,第6页,求函数单调区间是单调性学习中最基本问题,但必须注意,假如函数解析式含有,参数,并且参数取值影响函数单调区间,这时必须对参数取值进行,分类讨论,.,注,:,这个函数单调性十分主要,应用非常广泛,它图象如图所表示,:,o,y,x,2,ab,-,2,ab,b,a,b,a,-,第7页,第7页,2.求函数,f,(,x,)=,x,+2,-,ax,单调区间.,解:,函数,f,(,x,),定义域为,-,2,+,),当,a,0,时,f,(,x,)0,(,x,(,-,2,+,),),当,a,0,时,定义域,-,2,+,),为,f,(,x,),单调递增区间;,f,(,x,)=,-,a,=,2,x,+2,1,2,x,+2,1,-,2,a,x,+2,当,a,0,时,令,f,(,x,)0,则,2,a,x,+2,1.,4,a,2,(,x,+2)1,而,f,(,x,),单调递减区间是,(,-,2,+,).,4,a,2,1,x,-,2;,4,a,2,1,令,f,(,x,),-,2.,4,a,2,1,当,a,0,时,f,(,x,),单调递增区间是,-,2,-,2),4,a,2,1,第8页,第8页,3.试讨论函数,y,=2log,2,x,-,2log,x,+,1,单调性.,1,2,1,2,解:,令,t,=log,x,则,t,关于,x,在,(0,+,),上单调递减.,1,2,而,y,=2,t,2,-,2,t,+1,在,(,-,上单减,在,+,),上单增,1,2,1,2,又由,t,得,x,1,2,2,2,由,t,得,0,x,1,2,2,2,故函数,y,=2log,2,x,-,2log,x,+1,在,+,),上单调递增,在,(0,上单调递减.,1,2,1,2,2,2,2,2,第9页,第9页,4.设函数,f,(,x,)=,kx,3,+3(,k,-,1),x,2,-,k,2,+1.(1)当,k,为何值时,函数,f,(,x,),单调递减区间是,(0,4);(2)当,k,为何值时,函数,f,(,x,),在(0,4)内单调递减.,不等式,f,(,x,),0,解集为,(,0,4,),0,与,4,是方程,kx,2,+2(,k,-,1),x,=0,两根,即,kx,2,+2(,k,-,1),x,0,解集为,(,0,4,),故由根与系数关系可求得,k,值为 .,1,3,(2),命题等价于,kx,2,+2(,k,-,1),x,0,对,x,(0,4),恒成立,设,g,(,x,)=,kx,+2(,k,-,1),等价于,kx,+2(,k,-,1)0,对,x,(0,4),恒成立,由于,g,(,x,),图象为一条直线,g(0),0,g(4),0,k,.,1,3,则,(,或分离变量,k,0,得:,x,-,1,或,0,x,1;,由,g,(,x,)0,得:,-,1,x,1.,故,g,(,x,),单调递增区间是,(,-,-,1),与,(0,1);,单调递减区间是,(,-,1,0),与,(1,+,).,5.已知,f,(,x,)=8+2,x,-,x,2,若,g(,x,)=,f,(2,-,x,2,),试拟定,g,(,x,),单调区间.,第12页,第12页,6.已知,f,(,x,)是定义在R上增函数,对,x,R有,f,(,x,)0,且,f,(5)=1,设,F,(,x,)=,f,(,x,)+,讨论,F,(,x,),单调性,并证实你结论.,f,(,x,),1,分析:,这是抽象函数单调性问题,应当用单调性定义处理.,解:,在,R,上任取,x,1,x,2,设,x,1,f,(,x,1,),且:,F,(,x,2,),-,F,(,x,1,)=,f,(,x,2,)+,-,f,(,x,1,)+,f,(,x,1,),1,f,(,x,2,),1,=,f,(,x,2,),-,f,(,x,1,)1,-,.,f,(,x,1,),f,(,x,2,),1,f,(,x,),是,R,上增函数,且,f,(5)=1,当,x,5,时,0,f,(,x,),1,而当,x,5,时,f,(,x,),1.,若,x,1,x,2,5,则,0,f,(,x,1,),f,(,x,2,),1,0,f,(,x,1,),f,(,x,2,)0,F,(,x,2,),F,(,x,1,);,1,-,x,1,5,则,f,(,x,2,),f,(,x,1,),1,f,(,x,1,),f,(,x,2,)1,综上,F,(,x,),在,(,-,5,上,为减函数,在,5,+),上,为增函数.,f,(,x,2,),-,f,(,x,1,)0,F,(,x,2,),F,(,x,1,).,1,-,0,f,(,x,1,),f,(,x,2,),1,第13页,第13页,(1),证:,由已知,对任意,x,1,x,2,(,-,+,),且,x,1,0,f,(,x,2,-,x,1,),1.,f,(,x,2,-,x,1,),-,10.,f,(,x,2,),-,f,(,x,1,)0,即,f,(,x,2,),f,(,x,1,).,f,(,x,),是,R,上,增函数.,(2),解:,f,(4)=5,令,a,=,b,=2,得:,f,(4)=,f,(2)+,f,(2),-,1,从而,f,(2)=3.,原,不等式等价于,f,(3,m,2,-,m,-,2),f,(2).,f,(,x,),是,R,上,增函数,3,m,2,-,m,-,22,即,3,m,2,-,m,-,40.,解得:,-,1,m,.,4,3,4,3,故不等式,f,(3,m,2,-,m,-,2)0,时,有,f,(,x,)1.(1)求证:,f,(,x,),是,R,上,增函数;(2)若,f,(4)=5,解不等式,f,(3,m,2,-,m,-,2)0.,解得:,-,1,x,0.,1,x,2,1,-,x,1,1+,x,1,1,-,x,2,1+,x,2,又对任意,x,1,x,2,(0,1),且,x,1,0,且有:,1,x,1,1,x,2,1+,x,2,1+,x,1,0;1,-,x,1,1,-,x,2,0,1,-,x,1,1+,x,1,1,-,x,2,1+,x,2,-,0.,log,2,-,log,2,0.,1,-,x,1,1+,x,1,1,-,x,2,1+,x,2,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,).,函数,f,(,x,),在,(0,1),内单调递减,.,由于,f,(,x,),是奇函数,故,函数,f,(,x,),在,(,-,1,0),内也单调递减,.,第15页,第15页,9.已知函数,f,(,x,),定义域为,(,-,0)(0,+),且满足条件:,f,(,xy,)=,f,(,x,)+,f,(,y,),f,(2)=1,当,x,1,时,f,(,x,)0.(1)求证:,f,(,x,)为偶函数；(2)讨论函数单调性；(3)求不等式,f,(,x,)+,f,(,x,-,3),2解集.,(1),证:,在中令,x,=,y,=1,得,f,(1)=,f,(1)+,f,(1),f,(1)=0.,令,x,=,y,=,-,1,得,f,(1)=,f,(,-,1)+,f,(,-,1),f,(,-,1)=0.,再令,y,=,-,1,得,f,(,-,x,)=,f,(,x,)+,f,(,-,1)=,f,(,x,).,f,(,x,),为偶函数.,先讨论,f,(,x,),在,(0,+),上单调性,任取,x,1,x,2,设,x,2,x,1,0,f,(,x,2,),f,(,x,1,).,f,(,x,),在,(0,+),上是增函数,由,(1),知,f,(,x,),在,(,-,0),上是减函数.,偶函数图象关于,y,轴对称,(2),解:,在中令,y,=,得:,x,1,由知,f,(,)0.,x,2,x,1,1,x,2,x,1,f,(1)=,f,(,x,)+,f,(,),f,(,),=,-,f,(,x,),x,1,x,1,则,f,(,x,2,),-,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,)+,f,(),=,f,(,).,x,2,x,1,x,1,1,第16页,第16页,(3),解:,f,x,(,x,-,3)=,f,(,x,)+,f,(,x,-,3),2,由,、,得,2=1+1=,f,(2)+,f,(2)=,f,(4)=,f,(,-,4),1,),若,x,(,x,-,3)0,f,(,x,),在,(0,+),上为增函数,由,f,x,(,x,-,3),f,(4),得:,2,),若,x,(,x,-,3)0,x,(,x,-,3),4,x,3,-,1,x,4,-,1,x,0,或,3,x,4;,x,(,x,-,3)0,x,(,x,-,3),-,4,0,x,3.,0,x,3,x,R,原不等式解集为-,1,0),(0,3),(3,4,.,注,抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊问题,其基本办法是变量代换、换元等,应纯熟掌握它们这些特点.,法二,原不等式等价于,f,|,x,(,x,-,3)|,f,(4),(,x,0,x,-,3,0,),由,f,(,x,),在,(0,+),上为增函数得:|,x,(,x,-,3)|,4.再进一步求得解集.,第17页,第17页,10.(04福建)已知,f,(,x,)=,(,x,R),在区间,-,1,1,上是增函数.,(,1,),求实数,a,值所构成集合,A；,(,2,),设关于,x,方程,f,(,x,)=两个非零实根为,x,1,x,2,.试问:是否存在实数,m,使得不等式,m,2,+,tm,+1,|,x,1,-,x,2,|,对任意,a,A,及,t,-,1,1,恒成立?若存在,求,出,m,取值范围；若不存在,阐明理由.,x,2,+2,2,x,-,a,1,x,解,:,(,1,),f,(,x,),=,.,4+2,ax,-,2,x,2,(,x,2,+2),2,-,2(,x,2,-,ax,-,2),(,x,2,+2),2,f,(,x,),在区间,-,1,1,上是增函数,f,(,x,),0,对,x,-,1,1,恒成立,.,即,x,2,-,ax,-,2,0,对,x,-,1,1,恒成立,.,设,(,x,)=,x,2,-,ax,-,2.,办法一,:,-,1,a,1.,(1)=1,-,a,-,2,0,(,-,1)=1+,a,-,2,0,对,x,-,1,1,f,(,x,),是连续函数,且只有当,a,=1,时,f,(,-,1)=,0,以及当,a,=,-,1,时,f,(1)=,0,A=,a,|,-,1,a,1.,第18页,第18页,办法二,:,对,x,-,1,1,f,(,x,),是连续函数,且只有当,a,=1,时,f,(,-,1)=,0,以及当,a,=,-,1,时,f,(1)=,0,A=,a,|,-,1,a,1.,(,-,1)=1+,a,-,2,0,a,2,0,0,a,1 或,-,1,a,0,(1)=1,-,a,-,2,0,a,2,0,x,1,x,2,是方程,x,2,-,ax,-,2=,0,两实根.,从而,|,x,1,-,x,2,|=,(,x,1,+,x,2,),2,-,4,x,1,x,2,=,a,2,+8.,x,1,+,x,2,=,a,x,1,x,2,=,-,2,-,1,a,1,|,x,1,-,x,2,|,=,a,2,+8,3.,要使,m,2,+,tm,+1,|,x,1,-,x,2,|对任意,a,A,及,t,-,1,1,恒成立,当且仅当,m,2,+,tm,+1,3,对任意,t,-,1,1,恒成立,即,m,2,+,tm,-,2,0,对任意,t,-,1,1,恒成立.,设,g,(,t,)=,m,2,+,tm,-,2=,mt,+(,m,2,-,2),第19页,第19页,办法一,:,g,(,-,1)=,m,2,-,m,-,2,0,g,(1)=,m,2,+,m,-,2,0,m,2 或,m,-,2.,办法二,:当,m,=0,时,显然不成立;当,m,0,时,g,(,-,1)=,m,2,-,m,-,2,0,m,0,m,2 或,m,-,2.,g,(1)=,m,2,+,m,-,2,0,或,m,0,存在实数,m,使不等式,m,2,+,tm,+1,|,x,1,-,x,2,|,对任意,a,A,及,t,-,1,1,恒成立,其取值范围是,(,-,-,2),(2,+,),.,存在实数,m,使不等式,m,2,+,tm,+1,|,x,1,-,x,2,|,对任意,a,A,及,t,-,1,1,恒成立,其取值范围是,(,-,-,2),(2,+,),.,第20页,第20页,