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系统的稳定性以及稳定性的几种定义
一、系统
研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理 论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的 时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的 语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是 序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统， 利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、 单位脉冲响应、差分方程和图形。
中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特 定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。
二、系统的稳定性
一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入 有界输出(Bound Input Bound OutputBIB稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系
统对所有的激励|f()KMf，其零状态响应|yzs(・)|<My(M为有限常数)，则称该系统稳 定。
三、连续(时间)系统与离散(时间)系统
连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。系统的激励和响 应均为连续信号。
离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散 的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。系统的激励和响应均为离散信号。
四、因果系统
因果系统(causal system)是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现 输出(响应)的系统。也就是说，因果系统的(响应)不会出现在输入信号激励 系统的以前时刻。即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也 就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。
判定方法
对于连续时间系统：
t=t1的输出y(t1只取决于t< t1的输入x(t< t1)时，则此系统为因果系统。
特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(t)在^的条件下， h(t)=0则此系统为因果系统；
对于离散时间系统：
n=n1的输出y(n1)只取决于n <n1的输入x(n<n1)时，则此系统为因果系统，特殊的: 当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(n)，在n <n1的条件下，h(n)=0， 则此系统为因果系统。
举例说明
函数：1.y(t)=x(sin(困是因果系统，因为y(-n)=x(0),表明y(t在一段时间内可能取 决于未来的x(t)
2. y(t)=x(t) cos ( t+1)是因果系统，cos ( t+1)是时变函数，相当于一个已知 的函数波形，所以x ( t)的当前值影响了 y ( t)的当前值。
五、连续系统稳定性与离散系统稳定性的充分必要条件(证明见教材)
(1 )连续系统稳定的充分必要条件
|h (t) |dt M
时域：
S域：若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。
对于因果系统：若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定系统。
(2)离散系统稳定的充分必要条件
ih(k)i m
时域：k
Z域：若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统。
对于因果系统：若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定系统。
举例
例 1y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1)
(1) 若为因果系统，求h(k),并判断是否稳定。
(2) 若为稳定系统，求h(k).
解：
“ /、 z 1zz0.4z 0.4z
H (z)八、, 八一——-
1 1.5z 1 z2 z2 1.5z 1 (z 0.5) z 2) z 0.5 z 2
⑴为因果系统，故收敛域为|z|>2所以h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]k),不稳定。
⑵ 若为稳定系统，故收敛域为0.5<|z|<，2所以h(k)=0.4(0.5以(k)+0.4(-2)由(-k-1)
例2：如图离散因果系统框图，为使系统稳定，求常量a的取值范围 解：设加法器输出信号X(z)

X(z)=F(z)+z-1aX(z)
Y(z) = (2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z)
H(z)= (2+z-1)/(1-az-1) = (2z+1)/(z-a)
为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内，
故|a|<1
六、系统稳定性判别方法
1、系统稳定性判据
在控制和通信系统的分析和设计过程中，研究系统的稳定性是其核心问题。不稳定的系 统是不能有效工作的，而只有在系统稳定的前提下，讨论系统的准确性与快速性才有意义。 对于一个线性时不变系统，若系统对任意有界输入其零状态响应也是有界的，则称此系统 为稳定的，亦称为BIBO稳定系统。由此导出连续时间系统稳定的充分必要条件是单位冲激 响应h(t)绝对可积或其系统函数H(s)的极点全部分布在s平面左半平面；离散时间系统稳 定的充分必要条件是单位脉冲响应h (n)绝对可和或者其系统函数H(z)的所有极点都在z平 面单位圆内。
通过对系统稳定的充要条件的分析，我们发现判断系统稳定性的问题转化为分析系统 函数的极点分布问题，也就是检验系统函数H(s)的特征根是否都具有负实部，H(z)的特征 根的绝对值是否都小于1的问题。对于低阶系统，我们可以求出系统函数的全部极点或特征 根来判断其稳定性；而对于三阶以上的高阶系统，求解过程比较麻烦，据此提出了连续时 间系统的稳定性判据Routh- Hurwitz准则［2,3］和离散时间系统的稳定性准则Jury判据。
2、连续因果系统稳定性判断准则与离散因果系统稳定性判断准则
1)连续因果系统稳定性判断准则一罗斯-霍尔维兹准则
对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)= 0的根(称为系统特征根)是否都在左半平 面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。
所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。
(一) 必要条件一简单方法
一实系数多项式A(s)=ansn+..・+a0=0的所有根位于左半开平面的必要条件是：
(1) 所有系数都必须非0，即不缺项；
(2) 系数的符号相同。
例1A(s)=s3+4s2-3s+2符号相异，不稳定
例2A(s)=3s3+s2+2， a1=0，不稳定
例3A(s)=3s3+s2+2s+8需进一步判断，非充分条件。
(二) 罗斯列表
将多项式A(s)的系数排列为如下阵列一罗斯阵列
第1行 an an-2 an-4 …
第2行an-1an-3an-5 …
第3行cn-1cn-3cn-5 …
它由第1, 2行，按下列规则计算得到：
1
a a
1
a a
c
nn 2
c
nn 4
n 2
8.5 0

a
a a
n 第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面。
a
a a
n 1
n 1n 3
n 1
n 1n 5

第4行由2，3行同样方法得到。一直排到第n+1行。
罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，M(s)=0所有的根均在左半开平面。若 第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。
举例：
例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2
罗斯阵列： 2122
180
2 12
注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为0或某一行元 素全为0，这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。
2)离散因果系统稳定性判断准则一朱里准则

a
a

a
a

a
a
c
n
0
c
n
i
c
n
2
n 1
a
a
n 2
a
a
n 3
a
a

0
n

0
n 1

0
n 2
该行有3个元素。
为判断离散因果系统的稳定性，要判断A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于1。朱里提出
中列表的检验方)
法，称为朱里准则。

朱里列表：

第1行 an
an-1
an-2 …
• a2a1 a0
第2行 a0
a1
a 2..
•an-2 an-1
第3行 cn-1
cn-2
cn-3 •...
• c1c0
第4行 c0
c1
c2
••cn-2 cn-1
第5行 dn-2
dn-3
dn-4 •
• d0
第6行 d0
d1
d2 •
•dn-2
第2n-3行 r2
r1
r0

第3行按下列规则计算：

an

一直到第2n-3行，
朱里准则指出：
A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是:
(1) A(1)>0
(2) (-1)nA(-1)>0
(3) an>|a0| cn-1>|c0| dn-2>|d0| r2>|r0|
即，奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。
特例：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0易得
A(1)>0 A(-1)>0 a2>|a0|
举例：
例 A(z)=4z4-4z3+2z-1
解：排朱里列表
4
-4
0
2
-1
-1
2
0
-4
4
15
-14
0
4

4
0
-14
15

209
-210 56

A(1)=1>0
(-1)4A(-1)=5>0
4>1 ，15>4 ， 209>56
所以系统稳定。
3、Nyquist 准则
采用这两个判据判别系统的稳定性要求系统函数必须是s或z的有理函数，这在实际 应用中不一定能满足，而且在许多实际场合，系统特征方程的系数也不易确定，这时, Routh- Hurwitz准则和Jury判据便无能为力了。此时我们可以应用一种图解方法，即
Nyquist准则［2, 3］来判别系统的稳定性。以连续时间系统为例，Nyquist准则指出，对于 图1所示闭环系统，其转移函数为
G⑶(1)
1+G(侦 6)
若其升环摇率响应(幡并特性)G。邮舸(£G(s)H闭平嫩的图形不与点(4旬0)相交也不包含该点 在I乩则该团环系统是稳定的，可见，即使不知道闭所系统的转莎函数,通过测用开孙系统的幅相特性 就可以依据Nyquist准则来利断闭罪系统的稳定性了。

图2图1的等坡金反馈系统
图】真型留垢系境

对Nyquist准则的讨论：
仍以连续时间系统为例，用Nyquist准则判别系统的稳定性是基于两个假设之上的： ⑴子系统G(s)、H(s)均稳定；⑵G(s)与l+G(s)H(s)无公共零点。
下面就这两点假设来进行分析。
假设1 Nyquist准则中对开环频率响应进行分析实际上是判断l+G(s)H(s)的所有零点 是否都在s平面左半平面的问题。要使此闭环系统稳定，T(s)的所有极点必须在s平面左半 平面，这包括l+G(s)H(s)的所有零点和G(s)的所有极点，因此G(s)子系统必须是稳定的。 另外，图1所示闭环系统可等效为图2所示全反馈系统［4］,只有当串联的两个环节都稳定, 原闭环系统才能稳定。这就要求H(s)和G(s)H(s)的所有极点都在s平面左半平面，那么G(s) 和H(s)的极点都应在s平面左半平面，即H(s)子系统也必须是稳定的。
假设2如果G(s)与l+G(s)H(s)存在公共零点，且这些公共零点都在s平面左半平面，那么 这些零点虽然在⑴式中相消，却并不影响T(s)闭环系统的稳定性。
如果G(s)与l+G(s)H(s)存在公共零点，而这些公共零点中存在不在s平面左半平面的点， 假设不在s平面左半平面的公共零点为zk, zk为一n重极点(n=l表示单极点情形)，zk 可以是实极点，也可以是共辄复数极点。在此情形下令：
M(s)N,(s)
其中Ml(s)表示G(s)除公共零点以外的零点多项式，Nl(s)表示G(s)极点在s平面左半 平面的多项式，Ml(s)、N2(s)分别表示H(s)的零极点在s平面左半平面的多项式(因为 G(s)、H(s)、1/H(s)子系统都必须是稳定的)。则l+G(s)H(s)的零点为下列方程：
M (讷«)或冏气(成一冬,=0
公共零点zk是方程⑵的一个根，那么N1(zk)N2(zk)=0,即zk为G(s)、H(s)的一个极 点。若zk不在s平面左半平面，则与G(s)、H(s)子系统稳定相悖。
综合以上两种情形的分析，假设2可以归结到假设1中，即只要求G(s)、H(s)子系统稳 定即可。
通过以上讨论，可知用Nyquist准则判别闭环系统稳定性时，应先判别G(s)、H(s)子系 统的稳定性，再判别闭环系统T(s)的稳定性。
备注：由于本人只是刚接触信号与系统这门课程，对系统理解并不是很透彻，以上内容是本 人参考信号与系统的稳定性PPT，经本人的理解，及查询相关资料进行自我的编辑 改写。以上定义部分均来自百度百科，Nyquist准则摘自丁蕾的《关于系统稳定性判别方法 的讨论》，中图分类号：TP11文献标识码：A文章编号：17- 4260 ( 27) 04- 77- 03