立体几何中的向量方法(系统).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2.1,立体几何中的向量方法,方向向量与法向量,1,l,A,P,直线的方向向量,直线的向量式方程,换句话说,直线上的非零向量,叫做,直线的,方向向量,一、方向向量与法向量,2,2,、平面的法向量,A,l,P,平面,的向量式方程,换句话说,与平面垂直的,非零向量,叫做平面,的,法,向量,3,o,x,y,z,A,B,C,O1,A1,B1,C1,例,1.,如图所示,正方体的棱长为,1,直线OA的一个方向向量坐标为_,平面,OABC,的一个法向量坐标为,_,平面,AB,1,C,的一个法向量坐标为,_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),4,例,2,5,6,练习,如图，在四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是,正方形，侧棱,PD,底面,ABCD,，,PD=DC=1,E,是,PC,的中点，求平面,EDB,的一个法向量,.,A,B,C,D,P,E,解：如图所示建立空间直角坐标系,.,X,Y,Z,设平面,EDB,的法向量为,7,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的,方向向量,与平面的,法向量,表示空间直线、平面间的,平行、垂直、夹角、距离,等位置关系,.,用向量方法解决几何问题,8,二、立体几何中的向量方法,平行关系,9,m,l,一,.,平行关系：,10,11,12,例,1,四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是正方形,PD,底面,ABCD,，,PD=DC=6,E,是,PB,的中点，,DF:FB=CG:GP=1:2,.,求证：,AE/FG.,A,B,C,D,P,G,X,Y,Z,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG,证：如图所示,建立,空间直角坐标系,.,/,AE,与,FG不共线,几何法呢？,13,例,2,四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是正方形，,PD,底面,ABCD,，,PD=DC,E,是,PC,的中点，,(1),求证：,PA/,平面,EDB.,A,B,C,D,P,E,X,Y,Z,G,解,1 立体,几何法,14,A,B,C,D,P,E,X,Y,Z,G,解,2,：如图所示建立空间直角坐标系，点,D,为坐标原点，设,DC=1,(1),证明：连结,AC,AC,交,BD,于点,G,连结,EG,15,A,B,C,D,P,E,X,Y,Z,解,3,：如图所示建立空间直角坐标系，点,D,为坐标原点，设,DC=1,(1),证明：,设平面,EDB,的法向量为,16,A,B,C,D,P,E,X,Y,Z,解,4,：如图所示建立空间直角坐标系，点,D,为坐标原点，设,DC=1,(1),证明：,解得,x,17,练习,如图，已知矩形,和矩形,所在平面相交于,AD,，点,分别在对角线,上，且,求证：,A,B,C,E,F,D,M,N,几何法呢？,18,三、立体几何中的向量方法,垂直关系,19,二、垂直关系：,l,m,20,l,A,B,C,21,22,例,1,四面体,ABCD的六条棱长相等,AB、CD,的中点分别是M、N,求证MN,AB,MN,CD.,证,1,几,何法,23,例,1,四面体,ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN,AB,MN,CD.,证,2,如图所示建立空间直角坐标系，设,AB=2.,x,y,Z,x,y,24,例,1,四面体,ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN,AB,MN,CD.,证,3,MN,AB,同理 MN,CD.,25,练习,棱长为,a,的正方体 中,E、F,分别是棱,AB,OA,上的动点，且,AF=BE,求证：,O,C,B,A,O,A,B,C,E,F,Z,x,y,解：如图所示建立空间,直角坐标系，设,AF=BE=b.,26,A,B,C,D,P,E,F,X,Y,Z,证,1,：,如图所示建立,空间直角坐标系，设,DC=1.,例,2,27,A,B,C,D,P,E,F,X,Y,Z,证,2,：,例,2,28,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,是,BB,1,，,CD,中点，求证：,D,1,F,练习,正方体,中，,E,、,F,分别,平面,ADE.,证明：设正方体棱长为,1,，为单位正交 基底，建立如图所示坐标系,D,-,xyz,，,所以,29,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,是,BB,1,，,CD,中点，求证：,D,1,F,练习,正方体,中，,E,、,F,分别,平面,ADE.,证明,2,：,30,E,是,AA,1,中点，,例,3,正方体,平面,C,1,BD.,证明：,E,求证：,平面,EBD,设正方体棱长为,2,建立如图所示坐标系,平面,C,1,BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面,EBD的一个法向量是,平面,C,1,BD.,平面,EBD,31,证明,2,：,E,E,是,AA,1,中点，,例,3,正方体,平面,C,1,BD.,求证：,平面,EBD,32,A,B,C,D,P,X,Y,Z,G,练习：,33,3.2.4,立体几何中的向量方法,夹角问题,34,夹角问题：,l,m,l,m,35,夹角问题：,l,l,36,夹角问题：,37,夹角问题：,38,解,1,：,以点,C,为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以 与 所成角的余弦值为,例,1,39,解,3,、补形：,例,1,解,2,补成长方体,重一个同样的三棱柱,40,练习,空间四边形,ABCD,中，,AB=BC=CD,，,ABBC,，,BCCD,，,AB,与,CD,成,60,0,角，求,AD,与,BC,所成的角大小,.,41,例：,的棱长为,1,.,解,1,建立直角坐标系,.,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,例,2,42,例：,的棱长为,1,.,解,2,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,例,2,43,例,3,如图，在四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是正方形，侧棱,PD,底面,ABCD,，,PD=DC,E,是,PC,的中点，作,EFPB,交,PB,于点,F.(3),求二面角,C-PB-D,的大小。,A,B,C,D,P,E,F,44,例,3,如图，在四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是,正方形，侧棱,PD,底面,ABCD,，,PD=DC,E,是,PC,的,中点，作,EFPB,交,PB,于点,F.(3),求二面角,C-PB-D,的大小。,A,B,C,D,P,E,F,X,Y,Z,平面,PBC的一个法向量为,解,1,如图所示建立,空间直角坐标系，设,DC=1.,平面,PBD的一个法向量为,G,45,A,B,C,D,P,E,F,X,Y,Z,(3)解,建立空间直角坐标系，设,DC=1.,46,47,例,3,如图，在四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是,正方形，侧棱,PD,底面,ABCD,，,PD=DC,E,是,PC,的,中点，作,EFPB,交,PB,于点,F.(3),求二面角,C-PB-D,的大小。,A,B,C,D,P,E,F,解,3,设,DC=1.,48,练习,的棱长为,1,.,解,1,建立直角坐标系,.,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,平面,PBD,1,的一个法向量为,平面,CBD,1,的一个法向量为,49,的棱长为,1,.,解,2,A,1,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,50,3.2.4,立体几何中的向量方法,距离问题,51,距离问题：,(1)A(x,1,y,1,z,1,),B(x,2,y,2,z,2,),则,52,距离问题：,(2)点P与直线l的距离为d,则,53,距离问题：,(3)点P与平面的距离为d,则,d,54,距离问题：,(4)平面与的距离为d,则,m,D,C,P,A,55,例,1,如图,1,：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点,A,为端点,的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是,60,，那么以这,个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,A,1,B,1,C,1,D,1,A,B,C,D,图,1,解：,如图,1,，,所以,答,:,这个晶体的对角线,AC,1,的长是棱长的 倍。,56,例,1,如图,1,：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点,A,为端点,的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是,60,，那么以这,个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,A,1,B,1,C,1,D,1,A,B,C,D,图,1,解,2,：,如图,1,，,57,练习,.(P107.2),如图，,60,的二面角的棱上,有,A,、,B,两点，直线,AC,、,BD,分别在这个二面角的,两个半平面内,且都垂直,AB,已知,AB,4,AC,6,，,BD,8,，求,CD,的长,.,B,A,C,D,解,1,58,练习,.(P107.2),如图，,60,的二面角的棱上,有,A,、,B,两点，直线,AC,、,BD,分别在这个二面角的,两个半平面内,且都垂直,AB,已知,AB,4,AC,6,，,BD,8,，求,CD,的长,.,B,A,C,D,解,2,59,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求点,E,到直线,A,1,B,的距离,.,点,E,到直线,A,1,B,的距离为,60,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求点,E,到直线,A,1,B,的距离,.,解,2,61,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求,B,1,到面,A,1,BE,的距离,.,62,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求,B,1,到面,A,1,BE,的距离,.,等体积法,解,2,63,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求,D,1,C,到面,A,1,BE,的距离,.,解,1:D,1,C,面,A,1,BE,D,1,到面,A,1,BE,的距离即为,D,1,C,到面,A,1,BE,的距离,.,仿上例求得,D,1,C,到,面,A,1,BE,的距离为,64,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求,D,1,C,到面,A,1,BE,的距离,.,等体积法,解,2,65,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，求面,A,1,DB,与面,D,1,CB,1,的距离,.,解,1:,面,D,1,CB,1,面,A,1,BD,D,1,到面,A,1,BD,的距离即,为面,D,1,CB,1,到面,A,1,BD,的距离,66,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，求面,A,1,DB,与面,D,1,CB,1,的距离,.,等体积法,解,2,67,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，求面,A,1,DB,与面,D,1,CB,1,的距离,.,解,3,68,例,如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求异面直线,D,1,B,与,A,1,E,的距离,.,69,作 业,P111 2 P112 5,A,1,E,70,作 业,1.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，求面,A,1,DB,与面,D,1,CB,1,的距离,.,2.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,1,，,E,为,D,1,C,1,的中点，求异面直线,D,1,B,与,A,1,E,的距离,.,71,例,四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是正方,形,PD,底面,ABCD,，,PD=DC=6,E,是,PB,的,中点，,PF=FG=GC,.,求证：面,AEF/,面,BDG.,A,B,C,D,P,G,X,Y,Z,F,E,作业,72,三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,D是A,1,C,1,中点,求证,:BC,1,面AB,1,D.,选做题,73,练习,设 分别是平面,的法向量,根据下列条件,判断,的位置关系,.,垂直,平行,相交,74,