紧致性与分离性公理(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,72 紧致性与分离性公理,本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系.,掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.,1.,定理,7.2.1,设,X,是一个,Hausdorff,空间如果,A,是,X,的一个不包含点,xX,的紧致子集，则,点,x,和紧致子集,A,分别有,开邻域,U,和,V,使得,UV,=,一、Hausdorff空间中紧致子集,1,A,x,y,U,y,V,y,2,令，它们分别是点x和集合A的开邻域,证明设A是一个紧致子集，x,对于 每一个yA，由于X是一个Hausdorff空间，,故存在x的一个开邻域 和y的一个开邻域,集族|yA明显是紧致子集 A的一个开覆盖，,它有一个有限子族，设为，覆盖A,此外，由于对于每一个i=1，2，n有：,所以,3,2.,推论,7.2.2,Hausdorff,空间中的每一个紧致子集都是闭集,证明 设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集,推论722结合定理715可见：,3.,推论,7.2.3,在一个紧致的,Hausdorff,空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集,U,x,V,A,4,1.推论7.2.4 每一个紧致的Haudorff空间都是正则空间,证明 设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中的一个不属于集合A的点,紧致空间：闭集 紧致子集,Hausdorff,空间：闭集 紧致子集,紧致的,hausdorff,空间：闭集 紧致子集,二、紧致空间中的分离性公理,这就证明了X是一个正则空间,由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理7.1.5），所以A是一个紧致子集,U,x,V,A,5,2.定理7.2.5,设X是一个Hausdorff空间如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得UV=,集族|xA 是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为，覆盖A,证明设A和B是X的两个无交的紧致子集,对于任何xA，根据定理7.2.1，点x和集合B,分别有开邻域 ,由于对于每一个i1，2，n有 V=，所以UV=,令,6,空间,空间,空间,空间,正规空间,完全正则空间,正则空间,紧致空间中：,推论,7.2.6,每一个紧致的,Hausdorff,空间都是的,.,7,3.定理7.2.7 设X是一个正则空间如果A是X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域，则存在A的一个开邻域V使得,证明设A是正则空间X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域,令，它是 A的一个开邻域，并且,对于任何,x,A，点,x,有一个开邻域使得,集族|xA是紧致子集A的一个开覆盖，它有有限子族，设为，覆盖A,8,每一个紧致的正则空间都是正规空间,紧致的正规空间可以不是正则空间,1.定理7.2.8,从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射,证明 设 X是一个紧致空间，Y是一个 Hausdorff空间，f:XY是一个连续映射,三、紧致空间到T,2,的连续映射,因此它的象集f（A）是 Hausdorff空间Y中的一个紧致子集（参见定理7.1.4），,如果A是紧致空间X中的一个闭子集则它是紧致的.（参见定理 7.1.5）,所以又是闭集.这证明f是一个闭映射,9,因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：,2.推论7.2.9 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个既单且满的（即一一的）连续映射都是同胚,10,