高中数学数列专题大题训练.docx

高中数学数列专题大题组卷
一.选择题(共9小题)
1.等差数列｛a｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(
A・130B,170C・210D・260
2 .已知各项均为正数的等比数列｛an｝ ,3[3233=5,时8&9=10,则44&5&6=()
A.I&V2 B.7C6D. |'472
3 .数列｛an｝的前 n 项和为 Sn,若 a1=1，ai+1=3Sn(n>1)^J a6=()
A・3X44B・3X44+1C・4D・44+1
4 .已知数歹！ J｛an｝满足3an+1+an=0,*=—,贝八八门｝的前10项和等于()
A.一6(1—310)B,-1-(1-3c)C,3(—310)D,3(1+30)
5 .等比数列｛an｝的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a^。
A.5B・-4-C—D.
3399
6 .已知等差数列｛an｝满足a2+a4=4，由+二5=10,则它的前10项的和Si0=()
A.138B.135C.95D.23
7 •设等差数列｛ an｝的前n项和为Sn,若$田-1=-2,§=0,§+1=3，贝Um=()
A・3B・4C・5D・6
8 .等差数列｛an｝的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列，则｛an｝的前n项和Sn=()A•n(n+1)B,n(n-1)武门；口
9 .设｛an｝是等差数列，下列结论中正确的是()
A,若 a〔+a2>0,则 a2+a3>0B.若 a]+a3<0,则 a]+a2<0
C・若 0<a1<a2,则 a2AJ%D.若 a1<0,^ (a2_a1) (a2_a3)>0
二解答题(共14小题)
10 .设数列｛an｝ (n=1,2,3.,.)的前n项和S「满足Sn=2&-a],且a1，a2+1,再成等差数列・
(I求数列｛&｝的通项公式；
(I耽数列｛」二｝的前n项和为Tn,求使得lTn-冰一八成立的n的最小值.%1000
11 .设等差数列(an｝的公差为山前n项和为Sn,等比数列(bn｝的公比为q,已知b「ai,"2,q=d,沪00.
(1泳数列(an｝ , ｛bn｝的通项公式
⑵当d>l时，记Cn=A-求数列｛%｝的前n项和L.
12 .已知数列｛an｝满足 a〔 =1, %+i=3ai+1.
- +-A_< jL
钉1 a2 an 2
(i证明｛an+彳｝是等比数列，并求｛an｝的通项公式；
13 .已知等差数列｛%｝的公差不为零，纣=25,且al, an,由3成等比数歹i」・
(I求｛an｝的通项公式；
(H)求 a1+a4+a7+—+§n2.
14 .等差数列( an ｝中,劣7=4,由9=2尚，
(H) 设bn=一，求数列｛bn｝的前n项和Sn.
nQR
15.已知等比数列｛an｝中皿卷
(I求(an｝的通项公式；
,、，工「1-
(I) S功｛an｝的前n项和，证明：&二,
■ 膈=10甄1+10甄2+ +1。甄n,求数列｛膈｝的通项公式.
16 .已知数列(an｝满足an+2=qan (q为实数，且q*l), nCN*, @=1,列=2,且
a2+a3,a3+a4,a4+a5 成等差数列
(1求q的值和｛an｝的通项公式；
logoa-x.
(2)设bn=，隹N*,求数列(bn｝的前n项和.
a2n-l
17 .已知数列(an｝是首项为正数的等差数列，数歹支｝的前n项和为不*.
(1)求数列｛an｝的通项公式；
(2股bn=&+1)?2”求数歹I」｛bn｝的前n项和Tn.
18 .已知数列｛an｝和｛bn｝ #两足 a=2，b=1，ai+=2an(ngN),
ii.1・.
b+-b2+—b3+-+Atn=bn+i-1(n：N)
23n
(1求 an 与 bn;
(n)记数列｛anbn｝的前n项和为Tn,求Tn.
19 .已知数列｛an｝是递增的等比数列，且aj+a4=9，纹劣3=8.
(1)求数列｛an｝的通项公式；
(2设$为数列｛an｝的前n项和，bn=,求数列｛bn｝的前n项和T..% 31rH
20 .设数列｛an｝的前n项和为S,已知2S=3n+3.
(1求｛an｝的通项公式；
(n若数列｛bn｝，满足anbn=lo传an，求 g｝的前n项和T,.
21 .设数列｛an｝的前n项和为S.已知a=a,en+r$+3n,nCN*.由
(I设bn=Si-3,求数列｛bn｝的通项公式；
(H)若an+i>an,nCN*,求a的取值范围.
22 .已知等差数列｛an｝的公差为2,前n项和为Sn,且Si,成等比数列.
(1求数列｛an｝的通项公式；
(H)令 bn=(T>1，求数歹 I」｛bn｝的前 n 项和.anaUtl
23 .数列｛an｝ ?两足 a=1,na1+=(n+1)a+n(n+1),nCN.
(I证明：数列｛乱■｝是等差数列；n
(H)设bn=3n?JZ],求数列｛bn｝的前n项和Sn.
数列.
2. （2010狄纲版【）已知各项均为正数的等比数列&｝,ai%a=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=（）
【分析】由数列｛an｝是等比数列，则a〔，2〉3=5?。23=5; aya8a9=10?a83=10.有
【解答】解：aia2a3=5?a23=5;
aya8a9=10?a83=10,.2
a5=ma 8,
;,二二 5Q , ; % 35ag 二, 二, 故选 A.
A r； "B.7C.6D.1：
【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幕的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
3. （2011?四川）数列｛an｝的前n项和为S「,若，1=1,铲1=3$3>1）则，6=（）A・3X44B・3X44+1C・44D・44+1
【分析】根据已知的an+1=39，当n大于等于2时得到an=39-1,两者相减，根据Sn-Sv^n,得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2）所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，a.+1=39,令n=1,即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值.
【解答】解：由an+1=38,得到an=3$- （n>2）,
两式相减得：an+1_an=3（SI-Sn1）=3 日，
J^ Uan+1=42 （n>2）又 a t=1，a）=3S=3ai = 3,
得到此数列除去第一项后，为首项是3,公比为4的等比数列，
所以 an=a2Qn2=3X4n2 （n>2）
则 a6=3X44.
故选A
【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题.
4. (2013双纲版)已知数列｛a.｝满足3a.+i+an=0,er-言，则｛a.｝的前10项和
等于()
A・-6(1iB)B上[1—3-i0)C・3(—3i0)D,3(1+3o)g
【分析】由已知可知，数列｛a.｝是以-L为公比的等比数列，结合已知电二-里可313求a1,然后代入等比数列的求和公式可求
【解答】解：：3an+1+an=0
.工二一
数列｛a.｝是以-一为公比的等比数列
…一巴
•生一3
a1=4
一严]
由等比数列的求和公式可得，S°===3(1-30)
IH
故选C
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础
试题
a1=(
-B
XC
D.

a]q+10a]
，解出即可.

曰/&退+之"=a1q+10a1
q，
,
日遇"二 9 口 1-9
故选C.
二 9
1
aL9

【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.
6. （ 2008?全国卷i）已知等差数列｛a.｝满足a2+，4=4，电+a5=10,贝沱的前10项的和s0=（）
A.138B.135C.95D.23
【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据
m+a 4=4,电+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前「项和公式，即可求解.
【解答】解：=（a3+a5）_（a2+、4）=2d=6,d=3,a1=-4-410X（10-l）d
2
故选C
【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，问接求其通项公式.
7. （2013?新课标I）设等差数列｛a.｝的前n项和为S.，若4尹-2,§ =0,$+广3,
则 m=（）
A.3B.4C.5D.6
【分析】由an与Sn的关系可求得am+i与am,进而得到公差d,由前n项和公式及Sm=0可求得ai,再由通项公式及am =2可得m值.
【解答】解：am =Sn_Smi =2,第+i=Sm+i_Sn=3,
所以公差d=3m+i—am =i,
$=—31A=° 彳 aa=-2 2
所以 am=-2+(m—1)?1=2解得 m=5,故选C.
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an与与的关系，考查学生的计算能力.
8. (2014?新课标n)等差数列 菖「｝的公差为2,若m,a*a8成等比数列，则｛a「｝的前n项和Sn=()
A・n(n+1)B・n(n-1)C六门 一 口
22
【分析】由题意可得a42=(%_4)(a+8)解得a4可得a1，代入求和公式可得.
【解答】解：由题意可得a42=a2?a8,
即 a42=(a4—4)Q+8),
解得a4=8,
n(n-1I二^najaL=a4-3X2=2,
n(n L)
=2n+
2
x2=n(n+1),

故选:评1本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题.
9. (2015?匕京)设｛an｝是等差数列，下列结论中正确的是()
A,若 a]+a2>0,则 a+a3>0B.若 a]+a3<0,则 a]+a2<0
C・若 0<a1<a2,则 a2〉正]〉D・若 a1<0,^ (a2—a1) (a2—a3)>0
【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论.
【解答】解：若 a〔+a2>0,贝 U2a〔+d>0,a2+a3=2ai+3d>2d,d>0时，结论成立，即 A不正确；
若 a1+a3<0，aL+a2=2a1+d<0，a+a3=2ai+3d<2d,d<0时，结论成立，即 B
不正确；
{an}是等差数列，0<ai<a2,2a2=a〔+a3>2J/一弓,a2>j力叼，即 C 正确;
若 ai〈O贝 U(a2-ai) (a2-as)^fl,即 D 不正确.
故选：C.
【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础.
二.解答题(共14小题)
10. (2015?四川)设数列｛%｝ (n=12,3,..的前n项和&满足&=2a「—此且此处+1, %成等差数列.
(I求数列｛an｝的通项公式；
(n)记数列｛」二｝的前n项和为Tn,求使得|TnT|成立的n的最小值.
%1000
【分析】(油已知数列递推式得到an=2anl (n>2)再由已知"助+lq成等差数列求出数列首项，可得数列(an｝是首项为2,公比为2的等比数列，则其通项公式可求；
(H)由(I求出数列｛」一｝的通项公式，再由等比数列的前n项和求得L,
结合斤_1|〈二八求解指数不等式得n的最小值.
InlOOO
【解答】解：(油已知Sr2an-a1?有
an=Sn-Sr2an-2^ (n>2)即 an=2snl (nl2),
从而 3,2=2a^as=2a2=4a^
又，两,邕+iq成等差数列，
「纣+4&1=2 (2由+1)解得：a〔=2.
an 2n

旧七，得『看-1K焉

即 2n>1000.
数列(an｝是首项为2,公比为2的等比数列.故"二2八;
2=512<lOOOVlO24=2lo?
n>10.
于是，使lTn」l〈一成立的n的最小值为10.
1000
【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
11. （2015?湖北）设等差数列｛%｝的公差为d,前n项和为Sn,等比数列｛膈｝的公比为 q,已知 b〔 =a i, "2, q=d, So=l 00.
（1 ）求数列（an｝ , ｛bn｝的通项公式
（2）当d>l时,记Cn=>求数列（cn｝的前n项和L.
【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；
（2）当d>l时，由（1）知Cn令竦，写出不、n的表达式，利用错位相减
【解答】解：（1 ）设纣=研由题意可得10a+45d=1|ad=2
时,an=2n-l, 1g=2n1；
n ndL膈=9? 一」
（2 ）当 d>l 时，由（1 ）知 an=2n-l, 1g=2nl?法及等比数列的求和公式，计算即可.
L=2 +
+_ +(2nT7
+ (2n—1)
Ch=
Ti=6 一
22 , 、
an1(2n+79),
2n

+7?i+9?\
2324
*++(2n-3)?
2n+3
2n
2”
+ 1+-
24
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注
意解题方法的积累，属于中档题.
12. ( 2014渐课标侦已知数列(an｝满足"1, Vr3an+1.
(I证明｛an+1｝是等比数列，并求(an｝的通项公式；
(H)证明：旦.
al a2 an 2
【分析】(I根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即数，又b1
首项不为0,所以为等比数列；乙母=常
b
再根据等比数列的通项化式，求出(an｝的通项公式；
(n)将」二进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证％明不等式.
all+1
(H)由 (I知
【解答】证明
当 n》2 时，：& 1>3n 3n1
A=A<74A=A
二当n=1时，-L ■成立
「数列菖日塌多首项为多公比为3的等比数歹I」
二 3,

1-住)n

当 n》2时， 1+ 一+_^ v\_=
&L s2P 323d"1]
5
.二对 n N+-十■• + . + 1
时，”1 扣J
an — &-1
(1) V
2n
J

9
【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数歹I」，

只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，
通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列.属于中档题.
13. (2013渐课标h)已知等差数列｛a,｝的公差不为零，a=25,且〉体弥成等比数列.
(1求｛a,｝的通项公式；
(H) 求 a+a4+a7+..+a3n-2.
【分析】(I设等差数列｛an｝的公差为dW0,利用成等比数列的定义可得，
4i=a再利用等差数列的通项公式可得(/+ L2a)，化为d
1L11J*11. 1
(2ai+25d)=0解出d即可得到通项公式an；
(I由(I可得 a3n-2=-2(3n-2)+27=-6n+可知此数列是以 25 为首项，
-6为公差的等差数列.利用等差数列的前n项和公式即可得出ai+a4+a7+-+a3n
2.
【解答】解：(I设等差数列｛an｝的公差为dW0,
由题意 aiai^i3成等比数列，日窘二挤］叫多，
丽欣产海日+西,化为d(2ai+25d)=0,
.dw0, ・2X25+25d=0解得 d=-2.
an=25+(n-i)X(-2)=-2n+27.
(I由 (I可得 a3n-2=-2(3n-2)+27=-6n+可知此数列是以 25 为首项，
-6为公差的等差数列.
. c门(力+曰如-2)
,&-a+a4+az++a3n-2
2
舐+31)
14. ( 2013/纲版)等差数列｛an｝中，a?=4，此9=2ag,
(I) 求｛an｝的通项公式；
(H)设bn=l，求数歹I」｛bn｝的前n项和Sn.
【分析】（I）由&z=4,印尸2尚,结合等差数列的通项公式可求a/进而可求3^
⑴由L*.=J煮利用裂项求和即可求解
【解答】解：（I）设等差数列｛an｝的公差为d
az=4,印厂2 a 9
解得，a「l,
仔堂1）号
(ID , k= ===L__ -
m nanii ( n+1) nn+1

Sn=2 （ 1 - —- —+ *** 1— - 一）
2 23 n n+1 r
=顼］_ —— 'i 二―口
n+1n+1
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易
15. （20i渐课标）已知等比数歹1」｛a「｝中，ai
,、，工……、「1”
（I）Sn为｛an｝的前n项和，证明：Sn=，7n
（H）设 bn=logai+log〉2+ +logan，求数列｛bn｝的通项公式.
【分析】（I）根据数列｛an｝是等比数列，ai=i〃比q』,求出通项公式a「和前
n项和然后经过运算即可证明.
（I）根据数列｛an｝的通项公式和对数函数运算性质求出数列｛bn｝的通项公式.
【解答】证明：（I）...数列｛an｝为等比数列，a=y,q=y

一 &
二I I).・%=]
二 bn=lo§a^lo§a2+ +lo§ah=_10g33+ (—210g33) + + (―nlo&S)
(1+2+Tn)
数列｛bn｝的通项公式为：bn=-叫D
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质.
16. （ 2015?天津）已知数歹! J｛a.｝满足 an+2=qa「（ q 为实数，且 q*1 ）,nCN*，o<2=2,
且&2+&3,&3+&4,&4+&5成等差数列
（1）求q的值和｛an｝的通项公式；
10g
一、、Pa° .,,
(2)设bn=,n N,求数列｛bn｝的刖n项和.
a2n-1
【分析】（1）通过 an+2=qan、a^a?,可得 a3、a5、a4,利用 a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列，计算即可；
（2）通过（1）知bn=旦7, n博,写出数列｛bn｝的前n项和T「、2T「的表达
式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可.
【解答】解：（1）an+2=qan （ q 为实数，且 q*1）,nCN*,q 二 1,%=2,
-a3=q,a）=q2,ai=2q,
又，「&2+，3—3+&4 — 4+45成等差数列，
・ 2X3q=2+3q+q2,
即 Q2-3q+2=0,
解得q=2或q=l (舍)，
n-1
2之，n为奇数
旦
Fn为偶数
r.1 口 g9a1 口 g92*
(2)由(1知 bn=二 "A==-A一, n N,
-211"1 广一『
贝 UTn=1+2?—+3?—+4?
・史
2Tn=2+2+3?=+4?,一 -
两式相减，得Tn=3+— +- +1
2 "上
f[1-=3+
+n?d
2n-
+n?-
2…
-n?
2
=3+1—-n?-
2
=4-
2n-
【点评】本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.
17.（2015山东）已知数列｛a｝是首项为正数的等差数列，数列｛-a.
利用错位相
——｝的前
3nti
n项和为
—
记数列仍*｝的前n项和为Tn,
+5?1+-+(n-1，[一2 …
23
+ +一

（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2股bn=&+1）?2%求数列｛bn｝的前n项和Tn.
【分析】（1通过对％=—分离分母，并项相加并利用数列｛｝的
I
前n项和为7八丁即得首项和公差，进而可得结论；
Zn-Fl

(2)通过bn=n?4n,写出Tn、4Tn的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论.
【解答】解：(1 )设等差数列(an｝的首项为ai、公差为山则ai>0,an=a (n—1) d, R+「a+nd,
-1 [
一1+nd
1 i i i
一1)d'+nd
二 C1+C2+^ ^Cn-1— -—K—*—
d aj aj +d a +d
lr 1I 1
d 气 □|+nd
又二.数列｛
令■
)的前n项和为宙+l

[%+(口-1(为+nd)d力
二 aj=l 或一 1 (舍),d=2,
++--+
aj-F2dajln
(2)由(1知 bn=(aI+1)?2 匕=(2n-1+1)?21=n?4n,
二 an=l+2 (n—1) =2n—1;
L=bi+b2+—+h=l ? 4i+2 ? 42+-+n? h
日 1(a1+nd)
两式相减，得-3Tn=41+42+--+4-n?4n+1二1-?4n+1
4Tn=l?42+2?43+ +(n-l)?>?4n+1?
Tn=:
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.
18. (2015?浙江)已知数列｛an｝和｛bn｝满足 a〔=2,b=1,%+i=2&(nCN *)
b]+—b2+—b3+_+Atn=bn+i-1(nDN)23
(I求 an 与 bn;
(n)记数列｛anbn｝的前n项和为Tn,求Tn.
【分析】(I直接由a1=2,an+1=2an可得数列｛an｝为等比数列，由等比数列的通项
再由 b1=1,bL+—b2+yb3+-+Atn=bn+1-1,取 n=1 求得 b2=2，当 n>2 时，得另
递推式，作差得到bn,整理得数列｛工｝为常数列，由此可得｛bn｝
的通项公式；
(H)求出％b/n，2n,然后利用错位相减法求数列｛anbn｝的前n项和为Tn.
【解答】解：(I由 a1=2,ann1=2日，得％.
由题意知，当n=1时，bj=b2-1,故b2=2,
顼〉2时,瞄他+…23bn-广田1,和原递推式作差得，
公式求得数列｛an｝的通项
公式；
整理得：b时1J 口
nnirinn+1-1
b =n(n N*)n
因止匕 T]『2+2,2+3-23+--4n*22Tn=22+2-23+3-24+---+n-1*1
两式作差得：
-1门二 2 + 2工+ t21-)一口.？门+1,
1u
J 二 2nA+2 (nCN*).
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时
考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题.
19. （2015?安徽）已知数列｛a,｝是递增的等比数列，且ai+a4=92〉3=8.
（1求数列｛an｝的通项公式；
（2）设Sn为数歹【」｛a,｝的前n项和，bn一二求数歹i」｛b,｝的前n项和T,.snsn+1
【分析】（1根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列｛an｝的通项
公式；
（2求出喝=利用裂项法即可求数列｛bn｝的前n项和Tn“附1
【解答】解：⑴ 数歹u ｛an｝是递增的等比数歹!；且aj+a4=9，a）a3=8.
a+a4=9，a^4=&a 3=8.
解得&=1,由=8或&=8,由=1（舍），
解得q=2,即数列｛an｝的通项公式an=2n1；
（2） S.A=2n-1,
1 -Q
by =
SnSn+1SnSn+1SnSn+1
，数列｛bn｝的前n项和「周核心、-『岗-最等-青=1-
•;.
2n+1-1
【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键.
20. （2015?山东）设数列｛an｝的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.
（1求｛a」｝的通项公式；
（n若数列｛bn｝，满足anbn=1og3an，求｛b「｝的前n项和Tn.
【分析】（1利用2&=3n+3,可求得a=3;当n>1时，2$前=3「1+3,两式相
减2an=2S-2&-i,可求得an=3nl,从而可得｛an｝的通项公式；
(n侬题意，anbnTogan，可得 b=j-当 n>1 时，bn=3in?10g33ni=( —1)
x3in，于是可求得 丁油广八”；当 n>1 时，Tn=bj+b2+-+b!=A+(1X3i+2X32+ +
■ --rJ
(n-l)X§)利用错位相减法可求得(bn｝的前n项和
【解答】解：(咽为2Sn=3n+3,所以2al=31+3=6,故a [=3,
当 n>l 时,2Sni=3ni+3,
止匕时，2a*$—2$-i=3n—3i=2X3f
[3p=l
所以
匕…，n>L
(n)因为anbn=logan?所以族
当 n>l Eff, b1=3ln?10g33nl=(n-U3ln；
所以 Ti=bi=「；
当 n>l 时，Tn=b]+b2+-+t|I=/x+(L31+2X32+-+(nT) ,3
两式相减得：2Tn=U (3°+3i+32+--+^_(n-l) X3r n)l-3i-ii
!_1
31--1
J
6 2X 3n
所以*口技，经检验
12 4X 3n
所以 3Tn=l+ (1X30+2X3^3X3^-+ (n-1) *
【点评】本题考查数列的求和，着重考查薮列递推关系的应用，突出考查错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题.
21. (2008?全国卷H)设数歹1」｛%｝的前n项和为Sn.已知纣=研为+i=$+3n, n N椅(I设源=$-&,求数列｛眼｝的通项套=1时也适合，
(H)若a综上可得听，聿-.的取值范围.
123n
【分析】(I依题意何■$+23+3,由此可知Sn+1 -4+1 = 2 (S-§所以bn=S
-4=(a-3) Zi,nCN*・
(I曲题设条件知 S=3n+(a-3)2「i,nCN *,于是，an=$l
an-2
1=厂2 ［12华)+a-3］由此可以求得a的取值范围是［-9十八).
【解答】解：(依题意，s+i-^=an+rs+3nJP Sn+=2$+3n)由此得
&+-3「尸2&+3 n-3n+1=2 (A3n).(分)
因此，所求通项公式为bn=S-"a-3)2—*CN*.①(6分)
(H)由①知 Sn=3n+(a—3)2，,nCN*
于是，当n》2时，
an=Sn-Si1=3n+(a-3X2n1-311-(a-3X2n2=2X3n+(a 3) 2,an+1—an=4X3M+(a-3)n2=2n 汩即
弓)+m-3］
当n12时，％*>自产12,总产2十亘_3,o?a>-9.
又 a2=ai+3>a_.
综上，所求的a的取值范围是［-9,+8)・(分)
【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件.
22. (2014?山东)已知等差数列｛an｝的公差为2,前n项和为且Si,8,成等比数列.
(1求数列｛前的通项公式；
(I令bn=(-1)i ,求数列｛bn｝的前n项和
anarrtl
【分析】。利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
(R)由 (I)可得bn= (--r( TA+TA).对n分类讨论裂项求和” 2n_】2nH即可得出.
【解答】解：(i.).等差数列｛an｝的公差为2,前n项和为Sn,
.cn二一・・2
-Si=n/+d=n2-n+na1
,
・「Si,S,S成等比数列，
间，
-2十2曰1)2二：口［ (/—4+4a1,化为匕+%)*二力0力)，解得日=1.
an=a1+(n—1)d=1+2(n—1)=2n-1.
(H)由(1)可得 bn=(
——__+工)
anaid-l ||）：； b1FV7 求数歹U ｛bn｝的前n项和
' 玉’Sn.
【分析】（i捋nan+i=（n+l）@+n（n+l）的两边同除以n（n+l）彳果W ,
n41n
由等差数列的定义得证.
（H）由 （I ）求出bn=3"/[=n?M利用错位相减求出数列｛bn｝的前n项和
I-3
2n-l

【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列;
法：错位相减法.求和的关键是求出通项选方法.
(2n_ 1) (2n+l)2n_ 1 2n+l |
F。)-(—-(―-———).
upq厂［)k2n-l 2n-bl
当 n为偶数时，L=(l 玲)一|+、• + i ---
'3 5 q |、5 "3 2n- 1
/I. 1——1 一 2n
况-官）i2nH2讯.
当n为奇数时，Tn=
呜）一44>+<14开-

1+—++=- =1+A -2
2n-32n-17%T2n 十 1」2n+l2n+l
/巴，n为偶数
2n+I
Tn=沼，门为奇数
、二J1
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、裂项求和"、分类讨论思想方法，属于难题.
23. （2014 安徽）数歹!j｛an｝满足 a=15noI+r（n+1）Vn（n+1）,nCN*.
n
（i证明：数列｛d｝是等差数列；n
bn=3n?A=n?3n,
Sn=lX3+2X&+3X3、…十(n-1)3ni+n?3n
3%=1X32+2X3,... + (>1)?3"+门？ 3"1 ②
-2Sn=3+32+33+—+3n-n?&+1
3-3114-1
考查数列求和的方
=-3n,+28n.
【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关
键.
5.(2013?新课标H)等比数列｛ an ｝的前n项和为8b已知与=&+10&, as=9,WJ
a1+aLq4a1q2
9◎二
【分析】设等比数列｛时的公比为q,利用已知和等比数列的通项公式即可得到
【解答】解：设等比数列｛an｝的公比为q,
S3=a2+10a1,a5=5 * * * 9,