量子力学力学量用算符表达.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,量子力学教程,(,第二版,),单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,量子力学教程,(,第二版,),3.1,算 符 的 运 算 规 则,第,3,章,力学量用算符表达,1,量子力学中的算符,表示对波函数,(,量子态,),的一,种运算,.,例如,讨论,量子力学中算符的一般性质,:,(a),线性算符,称为线性算符，,凡满足下列规则的算符,A,3.1,算符的运算规则,2,量子力学中的算符并不都是线性算符,(,例如复,共轭,),但,刻画可观测量的算符都是线性算符,.,为单位算符,与 两个算符相等,其中,是任一波函数,.,注意,其中 和 是,任意,两个波函数，与 是两个任意常数（一般为复数）,.,例如 就是线性算符,.,3,(b),算符之和,对于任意波函数,有,显然,算符的求和满足交换律和结合律,:,所以,两个线性算符之和仍为线性算符,.,4,(c),算符之积,算符 与 之积,记为,定义为,任意,.,一般说来,算符之积不满足交换律,即,这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处,!,5,由下列关系式,:,概括,量子力学中最基本的对易关系,:,6,对易式,(commutator),不难证明,对易式满足下列代数恒等式,:,定义,:,7,则量子力学中最基本的对易关系可以化成,:,角动量对易式,角动量算符,:,各分量表为,8,推出,由代数恒等式,不难证明,Levi-Civita,符号,是一个三阶反对称张量，定义如下：,9,即,角动量各分量的对易式,为,:,可以写成,还可以证明,:,10,在,球坐标系中,各分量可,表示成,则容易证明,:,定义,:,11,能够,唯一,地解出,则可以定义算符 之逆 为,并非所有的算符都有逆算符,例如投影算符就不存在逆,.,若算符 之逆存在,则,(d),逆算符,设,设 与 之逆均存在,则,12,(e),算符的函数,设给定一函数,其各阶导数均存在,幂级数展开收敛,则可定义算符 的函数 为,例如,可定义,不难看出,算符 的物理意义,是与体系沿 方向平移 有关的算符,.,13,两个,(,或多个,),算符的函数也可类似定义,.,令,则,是指对体系的全部空间坐标进行积分,是坐标空间体积元,.,*,定义一个量子体系的任意两个波函数,(,态,),与,的标积,14,式中 与 为任意常数,.,则可以证明,:,15,算符 的转置算符 定义为,(f),转置算符,即,式中 与 是任意两个波函数,.,16,算符 的复共轭算符 定义为,注意,算符 的共轭算符的表达式与表象有关,.,例如,在坐标表象中,(g),复共轭算符与厄米共轭算符,通常算符 的复共轭,可如下构成,即把 的表达,式中所有量换成其复共轭,.,而在动量表象中,17,算符 之厄米共轭算符 定义为,推出,例如,:,可以证明,由此可得,18,满足下列关系的算符,两个厄米算符之和仍为厄米算符,但它们的积,一,般不是厄米算符,除非,(,可对易,).,(h),厄米算符,称为厄米算符,也称为自共轭算符,.,(,实,),等都是厄米算符,.,19,定理 体系的任何状态下,其厄米算符的平均值必为,实数,.,逆定理 在,任何状态,下平均值均为实的算符必为厄米算,符,.,实验上可观测量,当然要求在任何态下平均值都是实数,因此,相应的算符必须是厄米算符,.,关于厄米算符的重要定理,:,证明如下,:,在 态下厄米算符 的平均值为,20,设 为厄米算符,则在任意态 之下,以上是关于算符的一般规律和定则,在接下来的一节中我们将要学习一类特殊的算符,-,厄米算符,及其本征值与本征函数,!,推论,21,来描述其状态的大量完全相同的,体系,(,系综,),如进行多次测量,所得结果的平均值将趋于一个确定值而每一次测量的结果则围绕平均值有一个涨落,.,对于都用,涨落定义为,涨落,3.2,厄米算符的本征值与本征函数,厄米算符,再利用,3.1,节所学知识,有,因为,为厄米算符,必为实数,因而,仍为,(1),(2),22,如果体系处于一种特殊的态,测量,所得结果是,唯一确定的,即涨落,则这种状态称为力学,量,的,本征态,.,在本征态下,由式,(2),可以看出,被积函数必须为零,即,必须满足,或,23,一般,把常数记为,并把本征态记为,得到,称为 的一个,本征值,为相应的,本征态,.,上式即算符 的本征方程,.,注意,求解时,作为力学量的本征态,还要满,足物理上的一些要求,.,24,测量力学量 时所有可能出现的值,都是相应的线,性厄米算符 的本征值,.,当体系处于 的本征态 时,则每次测量所得结果都是完全确定的,即,.,量子力学中的一个,基本假定,:,推出,所以,在 态下,(,设 已归一化,),定理,1,厄米算符的本征值必为实,.,25,厄米算符的,本征函数,的一个,基本性质,:,定理,2,厄米算符的属于不同本征值的本征函数,彼此,正交,.,证明如下,:,设,并设 存在,对 取复共轭,得到,上式右乘,积分,得到,由于,上式左边,=,因此得,如,则必有,26,简并问题,在,能级简并的情况下,仅根据能量本征值并不能把各能量的简并态确定下来,.,在处理力学量本征问题时,特别是,能量,的本征值问题,常常出现本征态的,简并,这,与体系的,对称性,有密切关系,.,设力学量 的本征方程表为,即属于本征值 的本征态有 个,则称本征值 为 重简并,.,27,出现简并时,简并态的选择是不唯一的,而且也不一,定彼此正交,但总可以把它们适当线性叠加,使之彼此正交,.,在线性代数中,通常采用,Schmidt,正交化程序,来进行正交化,.,令,因为,所以只要选择,使,即可得证,.,证明如下,28,在常见问题中,当出现简并时,往往是用,(,除 之外的,),其他力学量的本征值来对简并态进行分类,从而把它的简并态确定下来,.,两个力学量是否可以有共同本征态,?,或者说,是否可以同时测定,?,此时,正交性问题将自动解决,.,这就涉及两个或多个力学量的共同本征态问题,.,这将是下一节不确定度关系要讨论的问题,!,29,引入,下面我们普遍地分析此问题,.,当体系处于力学量 的本征态时,对其测量,可得一,个确定值,而不会出现涨落,.,但在其本征态下去测量,另一个力学量 时,却不一定得到一个确定值,.,分析下列积分不等式,其中,为体系的,任意,一个波函数,为,任意实,参数,.,3.3.1,不确定度关系的严格证明,设有两个任意的力学量 和,30,引进厄米算符,则,因为与为厄米算符，所以,则得,为实，不妨取,31,即,与 为厄米算符,与 又均为实数,与 也是厄米的,.,在上式中，,让,则,(1),式仍成立,.,再考虑到 就可得出,32,或简记为,(2),上式就是任意两个力学量 与 在任意量子,态下的涨落必须满足的关系式,即,Heisenberg,的,不确定,度关系,(uncertainty relation),的普遍表达式,.,33,能是例外,),或者说他们,不能有共同本征态,.,以,找出,它们的,共同本征态,.,由,(2),式可以看出,若两个力学量 与,不,对易,则一般说来 与,不能同时为零,即,与,不能同时测定,.(,但 的,特殊态,可,反之,若两个厄米算符 与,对易,则可以,找出这样的态,使 与 同时满足,即可,34,坐标 的共同本征态,即 函数,相应本征值为,例如,35,采用球坐标,角动量的平方算符表示为,3.3.2,的共同本征态,球谐函数,由于角动量的三个分量不对易,一般无共同本征态,.,分量,(,例如,),的共同本征态,.,可以找出,但由于,与任何一个,36,考虑到 的本征函数可以同时也取为,的本征态,其中,是 的本征值,(,无量纲,),待定,.,并代入本征方程,的本征函数已分离变量,即令,此时,37,化简本征方程,得,令,则,或,这就是,连带,Legendre,方程,.,38,在 区域中,微分方程有两个正则奇点,其余各点均为常点,.,时,方程有一个多项式解,(,另一解为无穷级数,),即连带,Legendre,多项式,可以证明,只当,它在,区域中是有界的,是物理上可接受的解,.,39,利用正交归一性公式,满足,定义一个归一化的,部分的波函数,(,实,),40,所以,的正交归一的共同本征函数表示为,为球谐函数,它们满足,41,在上面的式子中,和 的本征值都是量子化的,.,对于给定,的本征函数是不确定的,因为,共有 个简并态,.,就,是用 的本征值来确定这些简并态,.,轨道角动量量子数,磁量子数,42,3.3.3,对易力学量完全集,(CSCO),它们的共同本征态记为,设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符,表示一组完备的量子数,.,设给定一组量子数,之后,就能够完全确定体系的唯一,一个可能状态,则我们称,构成体系的一组,对易可,观测量完全集,(complete set of commuting Observables,简记为,CSCO),在中文教材中,习惯称为对易力学量完全集,或简称为力学量完全集,.,对易力学量完全集的概念与体系的一个量子态的制备密切相关,.,43,按照态叠加原理,体系的任何一个状态,均可用,来展开,利用,的正交归一性,上式中的展开系数,可确切定出,.,表示在,态下,测量力学量,得到,值的概率,.,这是波函数的统计诠释的最一般的表述,.,(,这里假定量子数,或力学量,不连续变化,.,若,连续变化,则,而相应的展开系数的模方代表概,率密度,.,例如,坐标表象和动量表象的展开,即属此情况,.),44,如体系的,Hamilton,量不显含时间,则,H,为守恒量,.,在此情况下,如对易力学量完全集中包含,有体系的,Hamilton,量,则完全集中各力学量都是守恒量,这种完全集又称为,对易守恒量完全集,(a complete set of,commuting conserved observables,简记为,CSCCO.),包括,H,在内的守恒量完全集的共同本征态,当然是定,态,所相应的量子数都称为,好量子数,.,在这种展开中,(,无论,是什么态,定态或非定态,),是不随时间,改变的,.,45,关于,CSCO,再做几点说明,:,(1)CSCO,是限于,最小集合,即从集合中抽出任何一个可,观测量后,就不再构成体系的,CSCO.,所以要求,CSCO,中各观测量是,函数独立的,.,(2),一个给定体系的,CSCO,中,可观测量的数目一般等于,体系自由度的数目,但也可以大于体系自由度的数目,.,(3),一个给定体系往往可以找到多个,CSCO,或,CSCCO.,在处理具体问题时,应视其侧重点来进行选择,.,一个,CSCCO,的成员的选择,涉及体系的对称性,.,46,体系的量子态用一组彼此对易的力学量完全集的共同,本征函数来展开,在数学上涉及完备性问题,.,这是一个颇,为复杂的问题,.,李政道曾经给出关于本征态的完备性的如,下重要的定理,.,定理,:,设,为体系的一个厄米算符,对于体系的任一态,有下界,(,即总是大于某一个固定的数,c,),但无上界,则,的本征态的集合,构成体系的态空间中,的一个完备集,即体系的任何一个量子态都可以用这一,组本征态完全集来展开,.,47,这里有两点值得提到,:,(a),自然界中真实存在的物理体系的,Hamilton,算符,都应为厄米算符,(,保证所有能量本征值为实,),并且应有,下界,(,能量无下界是不合理的,在自然界中未发现这种,情况,).,因此,体系的任一量子态总可以放心地用包含,在内的一个,CSCCO,的共同本征态完全集来展开,.,(b),在,本征值有简并的情况下,对于给定能量本征值,本征态尚未完全确定,此时需要用包含,Hamilton,量在内,的一个,CSCCO,根据他们的本征值把本征态完全确定下,来,以便于对任何量子态进行确切的展开,.,48,3.3.4,量子力学中力学量用厄米算符表达,与,Schrdinger,方程是量子力学的一个基本假定一样,量子体系的可观测量,(,力学量,),用一个线性厄米算符来,描述,也是量子力学的一个基本假定,它们的正确性应,该由实验来判定,.,“,量子力学中力学量用相应的线性厄米算符来表达”,其含义是多方面的,:,49,(1),在给定状态,之下,力学量,A,的,平均值,由下式,确定,:,(2),在实验上观测某力学量,A,它的,可能取值,就是算符,的某一个本征值,.,由于力学量观测值总是实数,所以,要求相应的算符必为厄米算符,.,(3),力学量之间关系也通过相应的算符之间的关系反映,出来,.,例如,两个力学量,A,与,B,在一般情况下,可以同时,具有确定的观测值的必要条件为,50,反之,若,则一般说来,力学量,A,与,B,不能,同时具有确定的观测值,特别是对于,H,不显含,t,的体系,一个力学量,A,是否,是守恒量,可以根据,与,是否对易来判断,.,51,3.4.1,连续谱本征函数是不能归一化的,一维粒子的动量本征值为,的本征函数,(,平面波,),为,可以取,中连续变化的一切,实数,值,.,不难看出，只要,则,在量子力学中,坐标和动量的取值是连续变化的,;,角动量的取值是离散的,;,而能量的取值则视边条件而定,.,例如,52,当然,任何真实的波函数都不会是严格的平面波,而是某种形式的波包,.,它只在空间某有限区域不为零,.,如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度,大得多,而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化,极微,则不妨用平面波来近似描述其状态,.,是不能归一化的,.,在上例中,连续谱的本征函数是不能归一化的,.,53,可以引用数学上的,Dirac,的,为方便地处理连续谱本征函数的“归一化”,我们,函数,.,3.4.2,函数,函数的定义,54,由,Fourier,积分公式,对于分段连续函数,(b),函数也可表成,比较式,(a),与,(b),领域连续的任何函数,对于在,(a),等价地表示为,:,55,平面波的,“,归一化,”,问题,还可以采用数学上,传统的做法,即先让粒子局限于有限空间 中运动,(,最,后才让,).,动量本征态为 在周期条件下,3.4.3,箱归一化,此时,为了,保证动量算符,为厄米算符,就要,求波函数满足周期性边条件,.,56,同样,不能归一化的坐标本征态也可类似处理,.,因此,若取动量本征态为,则,这样,就用 函数的形式把平面波的“归一化”,表示出来了,.,57,由周期条件,得,(,粒子波长 即,).,即 或 所以,或,可以看出,动量的可能取值 就是不连续的,.,只要,58,此时,与 相应的动量本征态取为,利用正交归一化条件,利用这一组正交归一完备的函数,可以构成如下 函数,:,59,现在让,即动量的可能取值趋于连续变化,.,于是,此时,可以把,而,或,60,在处理具体问题时,如要避免,计算过程中,出现的平面波“归一化”困难,则可以用箱归一化波函数 代替不能归一化的,.,在计算的,最后结果,才让,.,正交完备的归一化波函数为,结论,则,函数可如下构成:,三维情况,61,上式表明,相空间一个体积元,相当于有一个量子态,.,而,最后,当 时,将连续变化,62,设有,一组彼此对易,且函数独立的厄米算符,它们的,共同本征函数,记为,是,一组量子数,的笼统记号,.,3.4.4,力学量完全集,定义,设给定,之后,就能够确定体系的一个可能状态，,则称,构成体系的一组力学量完全集,.,63,表示在 下测量 得到 值的概率,.,这是波函数统计诠释的一般表述,.,按照态叠加原理,体系的任何一个状态 均可用 展开,(,这里假定 的本征值是,离散的,),利用,的正交归一性,的归一化条件,64,例如,一维谐振子,Hamilton,量本身就构成力学量完全,集,(,也是,守恒量完全集,).,对于一维自由粒子,由于能量本征态有简并,并不构成力学量完全集,.,但把空间反射 考虑进去,力学量完全集可以选为,对于一维粒子,动量 就构成力学量完全集与此类似,坐标 也可以构成力学量完全集,.,65,注意,体系的一组力学量完全集中,力学量的个数,并不一定等于自由度的数目,.,一般说来,力学量完全集,中力学量的个数体系的自由度数目,.,用一组力学量完全集的共同本征函数来展开体,系的任意波函数,在数学上涉及,完备性,这样一个颇,为复杂的问题,.,66,经验,如,力学量完全集中包含有体系的,Hamilton,量,而,本征值又有下界,则可以证明,这一组力学量完全集的共同本征态构成该体系的态空间的一组完备的基矢,即体系的任何一个态均可用它们展开,.,自然界中实际的物理体系的 的本征值都有,下界,.,因此,体系的任何态总可以用包含 在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开,.,在 不显含 的情况下,这种力学量完全集称为,守恒量完全集,.,在量子力学中,找寻体系的守恒量完全集是一个极重要的问题,.,67,量子力学中的,力学量用相应的线性厄米算符来表达,其含义如下,:,实验上,观测 的可能值,必为算符 的某一本征值,.,在量子态 之下,力学量 的,平均值,由下式确定,力学量之间的关系通过,相应的算符之间的关系反映出来,.,例如两个力学量 与 可以同时具有确定的观测值的必要条件,在一般情况下,为,反之,若 则一般说来,力学量 与 不能同时测定,.,68,特别是,在 不显含 的情况下,一个力学量,是否是守恒量,可以根据 与 是否,对易,来判断,.,具体详见,4.1,节,!,69,