资源描述
数学参考答案及评分标准
说明：
一、本解答只给出一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考
查内容参照评分标准酌情赋分．
二、当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度，
可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
C
B
D
B
C
A
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
题号
答案
9
10
11
AD
BCD
ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
3
4
1
2．4047；13． f (x) = x （答案不唯一）；14．
．
四、解答题：共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
5．【解析】
1）由题意可知， A = 2 ，...............................................................................................1 分
（
7
π
π
又
T
=
4
´
(
−
)
=
π
，
所
以
w
=
2
；
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
分
12
3
π
2π
所
以
f
(
x
)
=
2
s
i
n
(
2
x
+
j
)
，
将
(
，
2
)
代
入
得
2
=
2
s
i
n
(
+
j
)
，
3
3
π
π
因为 |j |< ，则j = − ；.........................................................................................5 分
2
6
数学试题答案 第1页（共 6 页）
π
所以 f (x) = 2sin(2x − ) ． ..........................................................................................6 分
6
π
f (x ) = f (x ) =1
f (x) = 2sin(2x − ) =1
（2）因为
，故只需
，
1
2
6
π
1
所以sin(2x − ) = ， ...............................................................................................8 分
6
2
π
p
π
5p
所以 2x −
=
+ 2kp 或 2x −
=
+ 2kp，k ÎZ ，
6
6
6
6
p
p
所以 x = + kp 或 x = + kp，k ÎZ ，......................................................................11 分
6
2
p
p
x = ，x =
结合图象可知，当
时，
1
2
6
2
p
|
x − x |取到最小值 ． .........................................................................................13 分
1
2
3
1
6．【解析】
ì
1
2
1
4
a − a =
ï
a2 − a3
1
2
1
2
（
1）因为 í
，所以 q =
=
，...............................................................2 分
a1 − a
2
ï
a − a =
ï
2
3
î
则 a1 =1，......................................................................................................................4 分
1
所以 an =
．............................................................................................................6 分
2
n−1
1
（
2）由题意可知 S = 2 − ( )n−1 ；......................................................................................9 分
n
2
1
n2 −n
1
1
1
1
Tn =1´ ´ ( )2
´
´ ( )n−1 = ( )1+2+ +(n−1) = ( )
；
............................................12 分
2
2
2
2
2
2
n2 −n
n2 −n
1
1
1
1
所以 + Tn = −
Sn
n−1
+
= 2 +[( )
−
( )n−1]
，
2 ( )
( )
2
2
2
2
2
2
n
2
− n
n
2
− 3n + 2 (n −1)(n − 2)
因为
所以
− (n −1) =
=
³ 0 对任意 nÎN* 恒成立，
2
2
2
n2 −n
1
1
( )
2
−
( )
n−1
£ 对任意 Î 恒成立，
0 n N*
2
2
所以 S + T £ 2 ，得证．...........................................................................................15 分
n
n
1
7．【解析】
（
1）因为 3csin A = acosC ，所以 3sinCsin A = sin AcosC ，................................ 2 分
3
因为sin A ¹ 0 ，所以
=
，
tanC
3
π
因为CÎ(0，π)，所以C = ． ................................................................................ 4 分
6
数学试题答案 第2页（共 6 页）
π
3
5π
π
3
所以sin(A
−
=
，则sin(
−
−
=
，
)
sin B
B
)
sin B
3
2
6
3
2
3
2 7
7
即
=
，所以sin B
=
． ..................................................................8 分
cos B
sin B
2
b
c
（2）由正弦定理
=
，解得
， .............................................................10 分
c = 7
sin B sinC
3
21
14
sin A = sin(B + C) = sin BcosC + cos BsinC =
，
.............................................13 分
1
所以△ABC 的面积 S =
8．【解析】
2 bcsin A = 3 3 ．...............................................................15 分
1
1
（
1）因为函数 f (x) = ln x + ex−1 ，所以 f (x) 的定义域为 (0，+ ¥) ， f ¢(x) = + ex−1 ，
x
1
f ¢¢(x) = ex−1
−
，注意到 f¢¢(x) 为增函数，且 f¢¢(1) = 0， .....................................2 分
x
2
所以 当 xÎ(0，1) 时， f¢¢(x) < 0， f ¢(x)单调递减；
当 xÎ(1
所以 当 x =1时， f (x) 有极小值 2，无极大值． .....................................................4 分
+ ¥ 时， f¢¢(x) > 0， f ¢(x)单调递增；
)
，
+
− ³
−
（
2）由题意可知 ln x ex 1 kx 1对任意 xÎ[1，+ ¥)
恒成立，
对任意 xÎ[1，+ ¥) 恒成立，........................................................5 分
(x −1)ex−1 − ln x
ln x + ex−1 +1
即 k £
x
ln x + ex−1 +1
设 g(x) =
，则 g¢(x) =
，
x
x
2
1
设 h(x) = (x −1)ex−1
−
ln x
，则 h¢(x) = xex−1
−
，
x
因为 h¢(x)在区间[1，+ ¥) 上单调递增，所以 h¢(x) ³ h¢(1) = 0 ，
则 h(x) 在区间[1，+ ¥) 上单调递增，所以 h(x) ³ h(1) 0 ，
=
则 g¢(x) ³ 0 ，................................................................................................................7 分
所以 g(x) 在区间[1，+ ¥) 上单调递增，
所以 g(x) ³ g(1) = 2 ，所以 k £ 2 ．.............................................................................9 分
（3）由题意可知 ln x ex−1 = kx + b有唯一解，
+
设 p(x) = ln x ex−1 kx − b，xÎ(0，+ ¥) ，
+
−
注意到，当 x
→
+¥
时，
p(x) → +¥
；当
x → 0
时，
p(x) → −¥
；
所以 p(x) = 0至少有一个解．...................................................................................11 分
因为 ln x ex−1 = kx + b有唯一解，
+
数学试题答案 第3页（共 6 页）
ln x + ex−1 − b
所以 k =
有唯一解， ............................................................................13 分
x
ln x + ex−1 − b
设 q(x) =
，因为 k ÎR ，所以 q(x) 为单调函数，
x
(x −1)ex−1 − ln x +1+ b
则 q¢(x) =
³ 0 恒成立，
x
2
设 r(x) = (x −1)ex−1
−
ln x +1+ b ，则 r(x) ³ 0 恒成立．............................................15 分
1
1
则 r¢(x) xex−1
=
−
， r¢¢(x) = xex−1
+
>
0 ，
x
x
2
所以 r¢(x) 在区间 (0，+ ¥ 上单调递增，注意到 r¢(1) = 0，
)
所以当 xÎ(0，1) 时， r¢(x) < 0， r(x) 单调递减；
当 xÎ(1
+ ¥ 时， r¢(x) > 0， r(x) 单调递增；
)
，
故只需 r(1) 1 b 0 即可，
=
+ ³
所以b ³ −1 ． ..............................................................................................................17 分
1
9．【解析】
（1）由题意可知，集合 A 包含元素 1 和 2 的 “缺等差子集”
分别为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，4，5}． .............................................................3 分
（
2）考虑集合 A ={1，2，3，4，5，6，7} ，记 A 的“缺等差子集”为 B ，元素个数为| B |
1
1
1
1
因为“缺等差子集”中不能出现连续的三个数，所以集合{1，2，3}与{5，6，7}中至少
有一个数不在任何一个 “缺等差子集”中，所以| B1 |£ 5． ......................................5 分
若| B |= 5 ，因为{1，2，3}与{5，6，7}中有且只有两个元素属于 B ，故 4Î B ，
1
1
1
对于{1，2，3}，显然 2 和 3 不全在 B 中，故1，2Î B 或1，3Î B ．
1
1
1
若1，2Î B ，则 6Ï B 且 7Ï B ，矛盾；
1
1
1
若1，3Î B ，则5Ï B 且 7Ï B ，矛盾；
1
1
1
故| B |£ 4 ，当 B ={1，2，4，5}时，符合| B |= 4 ，
1
1
1
即| B1 |的最大值为 4．..................................................................................................7 分
同理{8，9，10，11，12，13，14}的“缺等差子集”中元素个数最大为 4．
所以 当 m =14时，对于集合 A ，其“缺等差子集”元素个数不超过 8，
数学试题答案 第4页（共 6 页）
因为当 B ={1，2，4，5，10，11，13，14} 时，符合题意；
故集合 A 的“缺等差子集”元素个数的最大值为 8． .................................................9 分
（3）存在，理由如下：
1
对于 m = (3k +1) ，记 Ak ={1，2， ，m}
2
由（1）（2）可知
A ={1，2，3，4，5} ， B ={1，2，4，5}；
2
2
A ={1，2， ，14} ， B ={1，2，4，5，10，11，13，14} ；
3
3
在此基础上，当 k = 4 时，
A ={1，2， ，41}， B ={1，2，4，5，10，11，13，14，28，29，31，32，37，38，40，41} ，
4
4
满足题目要求.
1
下面证明对每一个 Ak ={1，2， ，m}，m = (3k +1) ，若已经构造出元素个数为 2k 的“缺
2
等差子集” Bk ，则可用添项的方法来构造新的 Ak+1 和“缺等差子集” Bk +1 ，使得 Bk +1 的元
1
素个数为 2k +1
.
当
A
k+1
={1 2
(3k+1 +1)}时，Bk +1 = Bk {y | y = 3k + x, xÎ B }
是新的
， ， ，
k
2
“缺等差子集”，且满足 n = 2k +1 ..................................................................................11 分
①
首先证明， Bk +1 是 Ak+1 的子集，即 Bk+1 Í A
.
k+1
1
考虑 B 中的最大项 x ，则 x £ (3k +1) ，
k
0
0
2
1
2
1
2
所以 Bk +1 中的最大项 x0
+
3
k
£
(3k +1)
+
3
k
=
(3k +1 +1)
，
所以 x0 + 3k Î Ak+1 ，于是"xi Î Bk +1 ，都有 xi Î A
，
k+1
所以 Bk+1 Í Ak+1 ............................................................................................................13 分
②
证明 Bk +1 是“缺等差子集”，即 "y ，y ，y Î B ， y < y < y ，都有 y + y ¹ 2y .
1
2
3
k +1
1
2
3
1
3
2
若 y ，y ，y Î B ，由题意可知 y + y ¹ 2y ；
1
2
3
k
1
3
2
若 y ，y Î B ， y Î{y | y = 3k + x，xÎ Bk }，
1
2
k
3
1
则 2y £ 2× (3k +1) = 3k +1£ y < y + y ，故 y + y ¹ 2y ；
2
3
1
3
1
3
2
2
若 y Î B ， y ，y Î{y | y = 3k + x，xÎ Bk } ，
1
k
2
3
数学试题答案 第5页（共 6 页）
则 $x ，x Î B 使得 y = 3k + x ，y = 3k + x3 ，
2
3
k
2
2
3
1
1
1
其中1£ y1 £ (3k +1) ， 2 £ x2 £ (3k +1) ， 4 £ x3 £ (3k +1) ，
2
2
2
故 y + y − 2y = y + 3k + x3 − 2×(3k + x ) = y + x − 3k − 2x2 ，
1
3
2
1
2
1
3
1
1
因为 y + x < (3k +1) + (3k +1) = 3k +1< 3k + 2x2 ，
1
3
2
2
所以 y + y − 2y < 0 ， y + y ¹ 2y ；
1
3
2
1
3
2
若 y ，y ，y Î{y | y = 3k + x，xÎ Bk } ，
1
2
3
则 $x ，x ，x Î B ，使得 y = 3k + x ，y = 3k + x ，y = 3k + x3 ，
1
2
3
k
1
1
2
2
3
1
1
1
其中1£ x1 £ (3k +1) ， 2 £ x2 £ (3k +1) ， 4 £ x3 £ (3k +1) ，
2
2
2
故 y + y − 2y = 3k + x1 + 3k + x3 − 2×(3k + x ) = x + x − 2x
2
1
3
2
2
1
3
由 B 是“缺等差子集”可知， x + x ¹ 2x ，
k
1
3
2
所以 y + y ¹ 2y .
1
3
2
综上所述， Bk +1 是“缺等差子集”. ............................................................................15 分
③
证明 Bk +1 的元素个数| Bk+1 | 2k+1
=
.
由题意可知| Bk |= 2k ，因为集合 Bk 中元素与{y | y = 3k + x，xÎ Bk }中元素一一对应，
所以集合{y | y = 3k + x，xÎ Bk }中元素个数也是 2k
.
考虑集合 B 中的最小元素 x ，
k
0
1
2
则集合{y | y = 3k + x，xÎ B }中的最小元素 x + 3k ³1+ 3k
>
(3k +1) ；
k
0
所以对于集合 Bk +1 = Bk {y | y = 3k + x, xÎ Bk }，| Bk+1 | 2k
=
+
2
k
=
2k+1
即 Bk +1 的元素个数为 2k +1
.
1
综合①②③可得，当 m = (3k +1) ，且 k ³ 2 时，
2
存在满足 n = 2k 的“缺等差子集” B ............................................................................17 分
数学试题答案 第6页（共 6 页）
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