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第二章,晶体中原子结合,第1页,第1页,2.1,由,N,个原子（离子）所构成晶体体积,V,可写为,。式中，,v,为每个原子（离子）平均所占据体积；,R,为粒子间最,短距离；是和结构相关常数。试求下列各种结构值：,(1).,简朴立方点阵；,(2).,面心立方点阵；,(3).,体心立方点阵；,(4).,金刚石结构；,(5).,氯化钠型结构。,第2页,第2页,式中，,V,为晶体体积，,N,为晶体包括原子数，,v,为每个原子平,均占据体积。若以,表示晶体包括晶胞数，,中每个晶胞体积，,n,表示晶胞中所含粒子数，则,(1),式完全,等效于,解：题给,表示晶体,(1),于是得,(2),R,为离子间最短距离。题给各种晶格均为立方格子，如令,第3页,第3页,其晶格常数为,a,，则有,。可由式,(2),直接求出各种格子,值。所得结果列表下列：,晶格,(a),晶包体积（）,晶胞中涉及粒子数（n）,离子间最短距离,结构常数（）,简朴立方,1,a,1,面心立方,4,0.71,体心立方,2,0.77,金刚石结构,8,1.54,氯化钠结构,8,1,第4页,第4页,2.2,证实有两种离子构成、间距为 一维晶格马德隆常数 。,证实：,选取负离子,O,为参考离子，相邻两离子间距离用,R,表示。,第,j,个离子与参考离子距离可表示为,。,对于参考,离子,O,，它与其它离子互作用势能为,第5页,第5页,马德隆常数,第6页,第6页,2.3,设两原子间互作用能可由,表述。,式中第一项为吸引能，第二项为排斥能；均为正常数。证实，要使这两原子系统处于平衡状态，必须,mn,。,且,即当,时，,证实：互相作用着两原子系统要处于稳定平衡状态，相应,于平衡距离,处能量应为能量极小值，,第7页,第7页,由于,解之有,（,1,）,因而,另一方面，相应于 处能量取极小值，应有,第8页,第8页,于是,把（,1,）式代入，即得,因此,这个结果表明，排斥力是短程力，与吸引力相比较，它随原子间距离改变更陡峭,。,第9页,第9页,2.4,有一离子晶体，其总互作用势能表示为,试问当离子电荷加大,1,倍时，平衡离子间距、互作用势能和体积弹性模量将受何影响？,解：,按题给,由平衡条件,第10页,第10页,得到离子平衡间距作为离子带电状态函数,从而晶体内能也作为离子带电状态函数,（,1,）,（,2,）,由（,1,）、（,2,）两式可知，当离子带电量加倍时，则有,第11页,第11页,体积弹性模量可按下式求出,第12页,第12页,2.5,有一晶体在平衡时体积为 ，原子间总互作用能为,。若原子间互作用能由式 表述，试证实晶,体体积弹性模量为 。,证实：,设晶体共含有,N,个原子，则总能量为,由于晶体表面层原子数目与晶体内原子数目相比少得多，,因此可忽略它们之间差别，,于是上式简化为,第13页,第13页,设最近临原子间距离为,R,，则有,再令,得到,平衡时,，,则由已知条件,，,得,第14页,第14页,由平衡条件,得,由（,1,）、（,2,）两式可解得,利用体积弹性模量公式,第15页,第15页,得,由于,，,因此,，,于是,第16页,第16页,2.6,已知有,N,个离子构成,NaCl,晶体，其结合能为,今若排斥项 由 来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对互作用势能奉献相同，试求出,n,与 关系。,已知,（,1,）,由,解：晶体平衡时，原子间最近邻距离一定为,（不因求解时排斥势选择不同而不同）,第17页,第17页,得,又,（,2,）,得,（,3,）,第18页,第18页,将（,1,）、（,3,）两式代入（,2,）式,可得,即,第19页,第19页,2.7,立方,ZnS,晶格常数,a=5.41A,，试计算其结合能 。,解：,已知公式,和,，,，,，,，,则,第20页,第20页,2.8,已知由,N,个惰性气体原子结合成含有面心立方结构晶体，其互作用能可表示为,式中,R,为最近邻原子间距离，,为常数，试求,（,1,）平衡时原子间最短距离；,（,2,）平衡时晶体体积；,（,3,）平衡时体积弹性模量；,（,4,）抗张强度。,解：,（,1,）,由,第21页,第21页,得,可知,（,2,）,对于面心立方，,N,个原子构成晶体体积,可得,由（,1,）中结果知,第22页,第22页,因此,可知,第23页,第23页,可得,（,3,）,体积弹性模量,（,4,）,抗张强度公式为,第24页,第24页,又面心立方结构,可知,又,第25页,第25页,因此抗张强度,第26页,第26页,第27页,第27页,2.9,设有一离子晶体,只计及最近邻离子间排斥作用时,其两个,离子间势能含有下列形式,:,(,最近邻间,),(,最近邻以外,),其中,为参数,;R,是最近邻距离.试求平衡时晶体总互作用势能表示式.晶体共包括2,N,个离子.,解,:,第28页,第28页,以负离子为参考离子,同号取“,-”,异号取“,+”;,令最近邻离子间距离为,R,则 ,设最近邻离子数目为,Z,第29页,第29页,2.10,由两种一价离子交替排列构成一维晶体，若离子总数,为,2,N,，试证实,(1),平衡时互作用势能为,(2),假如晶体被压缩，使,，则外力对每个离子,所作功,可表示为,解：,(1),计入排斥作用，晶体中任意两离子,i,、,j,之间互作用,式中，同号离子取“,+”,号。异号离子取“”号。若取负离,子,i,作为参考离子，并忽略表面效应，则总互作用能为,能,第30页,第30页,括号内对正离子取,“,+,”,号，对负离子取,“,”,号。以,R,表示最近,邻离子间距，并令,，则上式可写为,式中，,为马德隆常数；,。对于一维离子晶体，,马德隆常数为,第31页,第31页,因此,式中代定参量,B,可下列拟定：由于平衡时，,故有,从而得到,(1),第32页,第32页,(2),假如晶体被压缩，,，则互作用能从,变为,由,(1),、,(2),两式求得势能改变,（,2,）,(3),由于,，因而,第33页,第33页,于是,(3),式可化简为,能量改变应等于外力所作功。由于晶体一共由,2N,个离子，由上式可知，外力对每个离子所作功就是,第34页,第34页,2.11,金刚石是共价键晶体，试求其键间夹角大小。,解：金刚石中每个碳原子与其最近邻碳原子构成一个正四周,体，原子间靠共价键结合，四周体键之间夹角等于立方体体,对角线间夹角。,式中，,是直角坐标系,则矢量,中方向单位矢量。,设置方体边长为,a,，选取中心,原子为坐标原点，,z,y,x,o,第35页,第35页,因此,。,和,间夹角，设为,，有,键角就是矢量,第36页,第36页,2.12,试验测得,NaCl,晶体密度,=2.16,g/cm,3,试求,NaCl,晶体中离子,间平衡间距,R,0,.(,已知Na原子量为23,Cl原子量为58.5,),解,:,设晶体共有,2N,0,个离子,晶体体积,NaCl,晶体,N,0,=6.022,10,23,与,N,0,相应质量应为,M=23+35.5=58.5(g),Na,原子量,Cl,原子量,阿伏加德罗常数,第37页,第37页,解,:,(1),面心立方,最近邻原子有,12,个,(1),只计及最近邻原子；,(2),计及最近邻和次近邻原子。,和 为参数；是参考原子,i,与其它任一原子,j,距离,r,ij,同最近邻,原子间,距,R,比值(),。,试计算面心立方,A,6,和,A,12,。,2.13,：由,N,个惰性气体原子构成分子晶体，其总互作用势能可表示为,式中,第38页,第38页,(2),计及最近邻和次近邻,次近邻有,6,个。,第39页,第39页,2.14 KCl,晶体体积弹性模量为,相邻离子间距缩小,0.5%,，需要施加多大压力。,，若要使晶体中,解：依据体积弹性模量,K,定义，,得,，因而,设,R,为相邻离子间距离。,KCL,含有,NaCL,结构，平均每体,才有一个离子，若晶体中共含,N,个离子，则晶体体积,积,第40页,第40页,即,于是,依题给,因此,由于在自然平衡时，作用在晶体上仅是大气压力,晶体体积影响很小，可认为,，它对,。,第41页,第41页,2.15,试用埃夫琴法求由正负一价离子相间构成二维正方格,子马德隆常数。,解：取如图所表示单元，采用电,荷中性组法进行计算。注意到,所取单元边上粒子仅,1/2,属于,单元，角上离子仅,1/4,属于单元，容易验证，所取单元恰,好是一个电荷中性组,。,用,R,表示最近邻离子间距离，,y,x,o,R,第42页,第42页,取中心负离子为坐标原点，则其它离子坐标为,，,这里,。对图中各离子，,列表下列：,为正负整数，该离子到原点,距离,4,22,8,21,2R,4,20,-4e,4,11,4e,R,4,10,有效电荷数,到原点距离,同类离子数,坐标,第43页,第43页,因此，所取单元中各离子与中心负离子互作用势能,故马德隆常数,。,假如采用边长加倍中性组计算，得到结果是,。,第44页,第44页,2.16 NaCl,体积弹性模量,K,为2.40,10,11,dyncm,-2,计算在0.2,Mbar(10,6,bar=10,12,dyncm,-2,),下最近邻距离改变分数(相对改变),假定,K,为恒量.,解,:,对于,NaCl,晶体,V=NR,3,(N,为正负离子总个数),R,为最近邻离子距离.,第45页,第45页,晶体中最近邻原子间距离缩短了约,24%.,第46页,第46页,2.17 采用雷纳德,-,琼斯势，求体心立方和面心立方,Ne,结合能之比(阐明,Ne,取面心立方结构比体心立方结构更稳定),。,已知(,A,12,),f,=12.13,；,(,A,6,),f,=14.45,；,(,A,12,),b,=9.11,；,(,A,6,),b,=12.25,。,解,:,Ne,取面心立方结构比取体心立方结构更稳定,。,第47页,第47页,
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