线性代数期末复习试卷.docx

线性代数期末练习（四）
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“5”，错的打“ X”）
每小题3分，共12分）
1、
齐次线性方程组总是有解的.
2、
设A与B都是n阶矩阵，则
(A B)2 A2
2AB B2.()
3、
设A是n阶矩阵，c是常数，
则 |cA| c|A|.
4、
若A是n阶矩阵，其n个特征值均为非零的
则A是非奇异的（）
、单项选择题在每小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题中括号内）
1、行列式
103 1
199 2
204
395
6
=(
)
301
3
A 5
；
B
5
;C 20;
D
12
2、若 13
x
1
x2
y
1
y
2

16
45,则(
).
A x
5,y
3 ；
B
x
5, y 8; C x
3,y

每小题4分，共20分）
1
1
1
1
1
1
20 .
x 8, y 1 .
11
3、设
...,均为n维向量，下列结论中，正确的是（m
k2 2 ... k
0,则1, 2,... m线性相关
若对任意一组不全为零的数k ,k ,..k,,都有k k
12 m112 2
...k
m
12
若1，
,...,线性相关，则对任意一组不全为零的数k ,k ,..k,,
2 m12m
都有% 1
% 2 . .. k 0

5、设A
m
0
12
...0
:m
。，则
,，.…，线性无关.
12
m
a
a a

a
aa
11
1213

21
22
a
a a ,
B
a
aa
21
2223

11
12
a
a a

a a
a a a
31
3233

1131
123213
1 0

1 0
0

0 0
,P
7
0 1
0 ,则
B =()成立.
0 1

1 0
1

AP'

B AP
p .
2 P
C P』2A;
,B ,
则以下正确的结论是（）

D若0
23
A
秩(AB)
B
0
1
0
4、设A
13
a
33
D P2P』；
A 秩(AB)秩(A),< (AB)秩(B)；
秩(A)> (AB)秩(B)
C 秩(AB)秩(A)秩(B)；
秩(AB)
秩(A)秩(B)

三、填空形正确答案填在题中横线上，每小题4分，共24分）
1、设已知|A|
4 ,则 |AA |=

2、设,5 • • *
, 5 是AX。的基础解系，79 ••-
为A的n个列向量，若
12
r
12
n
• • •
12
,则方程组AXn
的通解为
•
3、常数a ,a ,
1 2
a ,a ,a ,满足a a
3 4 512
a a a
345
0是方程组
x x a

121

x x a

232

x x a
有解的
—条件

3
X
4
X
5
4
X
5
X
1
3
a
4
a
5

0 0 0 5

10
4、设方阵A° A A，则|A|= , A的逆矩阵是
U o u u

2 0 0 0

5、设A为4阶矩阵，|A|
2 ,则 3A 1
四、设］1, 1,1, 1 ,
2 山,1，
1,2,4,8 ,
4
1,3,9,27 ,试讨论向量
组，
12
,的线性相关性。
34
（4分）
五、
设］1,2,3, 4
2,3, 4,1
2, 5,8, 3 ,
4 5,26, 9, 12 ,
3,
5
4,1,2 ,求向量组
5的一个极大线性无关组
并将其余的向量表示成

它的线性组合.（10分）
六、
求齐次线性方程组
x
1
2x
1
2x
2
3x
2x
3
x
七、
设 A2 3A
3x
5x x
1
23
x
3x 2:
2
3
A
2E可逆

求证:
,
x
1
3
2
x x
4 5
x 2x
45
x 0
5
x 3x
45
0
0
的基础解系.（8分）
并求(A 2E) 1. ( 6 分)
八、
求正交矩阵T
，使TtAT为对角阵，并写出对角阵.（11分）
九、
设A是n阶方阵
A2
E ,证明矩阵的秩的关系式：（7分）
线性代数期末练习
（四）答案

试卷说明：
1. 本次考试为闭卷考试。认真审题，请勿漏答；
2. 考试时间为120分钟，请掌握好答题时间;
3. 本试卷所有试题答案写在试卷纸上，其它无效;
4. 答题完毕，请将试卷纸正面向外对叠交回，不得带出考场；
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“ ^”，错的打“ X”）
每小题3分，共12分）
1、
齐次线性方程组总是有解的.
2、
设A与B都是n阶矩阵，则
(A B)2 A2
2AB B2.( x )
3、
设A是n阶矩阵，c是常数，
则 |cA| c|A|.
4、
若A是n阶矩阵，其n个特征值均为非零的
则A是非奇异的 （5 ）
、单项选择题在每小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题中括号内）
每小题4分，共20分）
1、行列式
103
199
301
1
2
3
204
395
6
A 5 ;
B
5 ;
C 20 ;
D
20 .

103 1 204

103 1 204

3 1 4

3 5 4

3 5
199 2 395
1
199 2 395
1
1 2 5
1
0 0 5
5 1

1 3
301 3 6

301 3 6

1 3 0

1 3 0

C
20
答案:
2、
x
1
x
2
y
1
y
2
则（
).
答案:
5,y
1
5,y
1
3,y
1
8,y
1
x
1
x
2
y
1
y
2

3、设
. . •,均为n维向量，下列结论中，正确的是m
k2 2 ... k
B若对任意一组不全为零的数k ,k ,..k,,都有k
12 m1
则1，2
...,线性无关m
...，线性相关，则对任意一组不全为零的数k,k ,..k,,
12 m
2m
都有% 1
k2 2 ... k
...0
2
0,则
...,线性无关.
m
4、设A
a
11
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33
a
11
a
21
a
11
a
31
a
22
a
12
a a
1232
a
23
a
13
a
1333
0
P 1
1
0
10

01
）成立.
AP1P2
AP2P1；
P1P2A；
D P2P1A;
5、设A
m
,B ，则以下正确的结论是（s s n
A 秩 AB)秩 A),秩 (AB)秩(B)；
秩AB)
秩A),秩(AB)秩(B)
C 秩AB)秩(A)秩(B)；
秩AB)
秩（A）秩（B）
三、填空将正确答案填在题中横线上，每小题4分，共22分）
1、设已知 |A|4，则 |AA |=16
解：|AA | |A"・|A| 4, |AA | |A|216
2、
设 1，2,
是AX 0的基础解系，
12
为A的n个列向量，
则方程组AX
的通解为X
3、
常数a ,a ,a
12
,a ,a ,满足a
3451
a50是方程组

xxa
1 21
xxa
2 32
xxa有解的 充分必要条件
3 43
xxa
4 54
xxa
5 15

4、设方阵A
0
0
0
2
0
0
8
0
0
1
0
0
5
0
0 ，则lA|
0
80, A的逆矩阵是a
5、
阶矩阵
lAl
2 ,则 3A 1
四、
1, 1,1,
1,1,1,1
2
1,2,4,8
的线性相关性。
（4分）
解：因为
1
1
1
1
1
1
2
3
1
1
4
9
1
1
8
27
五、
1,2,3, 4
2,3, 4,1 ,
2, 5,8, 3 ,
3,
5
4,1,2 ,求向量组
,的一个极大线性无关组
45
1,3,9,27 ,试讨论向量
48 0
5,26, 9, 12 ,
并将其余的向量表示成

解：令A

它的线性组合.（10分）
对人作初等行变换:

1
2
2
3
2
5
5
26
3
4
1
0
2
1
2
9
5
16
3
10
1
0
2
1
2
9
5
16
3
10
A

3
4
8
9
1
0
5
1
12
4
0
0
46
92
46

4
1
3
12
2
0
9
5
8
14
0
0
76
152
76
1
2
2
5
3
1
20
9

1
1 0 0
5
1

0
1
9
16
10
0
1 0
2

1
0 1 0
2
1

0
0
1
2
1
0
01
2

1
0 0 1
2
1

0
0
0
0
0
0

0

A
0
0 0 0
0
0

2
2
5
故
2
2
3
4
1
4
1
3
12
3是它的一个极大线性无关组。
六、
x
1
2x
2
2x
3
x
i
2x
3x
x
x
1
2 3
4

3x
5x
x

1
2
3
x
x
3x
2x
1
2
3
4

4
求齐次线性方程组
5
3x
5
x
5
2x
5
x 0
0
0
的基础解系.
(8分)

答案：对系数矩阵作初等变换:

1
A 2
A
3
1
2
3
5
1
2
1
1
3
1
1
0
2
1
2
1
3
1
0
0
0
0
1
0
0
8
5
0
0
5
3
0
0
7
4
0
0
得同解方程组

x
1
0
0
8x 5x 7x
3

345
取x
0 ,
，
1 ,
0
5x 3x 4x ,
4

'

345
x
0
0
1

5

(8,5,1,0, 0)
(5,
3, 0, 1, 0)

(7,4, 0, 0, 1)
得一个基础解系:
2
3
2E可逆，并求（A 2E） 1.
求证：A
x
1
x
2
七、设A2 3A
（6分）
证明：（凑项法）
0A2 3A
2E 2E ,
(A E) A
2E) 2E
E )(A
2E) E
A 2E可逆；且（A
2E) 1
2(a
E).

210
八、设A120
3
求正交矩阵T ,使TtAT为对角阵，并写出对角阵.（11分）
解：A的特征值为
对应于
1的特征的向量为匕
3时，3E A
对应于
3的特征向量为x
2
将X ,x ,x单位化，
123
1
二,
1 履
0
,
令T 二
、：）
0
1
草
1
段
0
,则T是正交矩阵，
T AT
九、设A是n阶方阵
A2
E，证明矩阵的秩的关系式:
（7分）

证明：・.・A2 E |A|2 1|A| 0
・.・(A E) (A E) 2A, r A
・.・(A E)A E) A2 E O,所以 r A E r A E n
A可逆r(A) n
E r A E r (2A) r (A) n
r A Er A En