高考北京理科数学试题及答案word解析版.docx

2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学(理科）
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分，在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．
（1)【2013年北京，理1,5分】已知集合，，则（ )
（A） （B） （C） (D）
【答案】B
【解析】，故选B．
（2）【2013年北京，理2，5分】在复平面内,复数对应的点位于（ ）
(A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【答案】D
【解析】，∴该复数对应的点位于第四象限,故选D．
（3)【2013年北京，理3，5分】“”是“曲线过坐标原点"的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵,∴，∴曲线过坐标原点，故充分性成立；∵过原
点，∴，∴，．故必要性不成立，故选A．
（4）【2013年北京，理4,5分】执行如图所示的程序框图，输出的值为( )
（A)1 (B） （C） （D）
【答案】C
【解析】依次执行的循环为,；，；，,故选C．
（5）【2013年北京，理5,5分】函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】依题意，向右平移1个单位之后得到的函数应为,于是相当于向左平移1个单位的结果，∴，故选D．
（6)【2013年北京，理6，5分】若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
（A) （B) （C) （D）
【答案】B
【解析】由离心率为,可知，∴．∴渐近线方程为，故选B．
(7）【2013年北京,理7，5分】直线过抛物线的焦点且与轴垂直,则与所围成的图形的面积
等于（ ）
（A） (B）2 （C） （D)
【答案】C
【解析】由题意可知,的方程为．如图，点坐标为,
∴所求面积，故选C．
(8）【2013年北京，理8，5分】设关于，的不等式组，表示的平面区域内存在点，满足,求得的取值范围是（ ）
（A） (B） （C） （D）
【答案】C
【解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含上的点,只需要可行域的边界点在下方,也就是，即，故选C．
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．
（9)【2013年北京，理9，5分】在极坐标系中，点到直线的距离等于 ．
【答案】
【解析】在极坐标系中,点对应直角坐标系中坐标为,直线对应直角坐标系中的方程为
，所以点到直线的距离为1．
（10)【2013年北京，理10，5分】若等比数列满足,，则公比 ；前项
和 ．
【答案】2；
【解析】由题意知．由，∴．∴．
（11)【2013年北京，理11,5分】如图，为圆的直径,为圆的切线，与圆相交于，若，，则________；______．
【答案】，
【解析】设，则．由切割线定理可得,，即，
可得．∴,．在中,AB=．
（12）【2013年北京，理12，5分】将序号分别为1,2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
【答案】96
【解析】连号有4种情况,从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列,则不同的分法有 (种）．
（13)【2013年北京，理13，5分】向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若
，则_______．
【答案】4
【解析】可设，，为单位向量且，则，．由，
∴，解得，∴．
(14）【2013年北京，理14，5分】如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上,点到直线的距离的最小值为________．
【答案】
【解析】过点作垂直底面,交于点，连接，过点作垂直于底面
，交于点，点到直线CC1的距离就是，故当垂直于时，
点到直线距离最小,此时，在中，,，
∴．
三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（15）【2013年北京，理15，13分】在中，，,．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1)因为,,，所以在中，由正弦定理得．
所以．故．
（2)由（1）知，cos A=,所以．又因为,所以．
．在中, ．．
(16）【2013年北京,理16,13分】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率;
(2）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期
望；
（3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明)
解：设表示事件“此人于3月日到达该市”．根据题意,，且．
（1）设为事件“此人到达当日空气重度污染”，则．．
(2）由题意可知，所有可能取值为0,1,2，且；
；
．所以X的分布列为：
X
0
1
2
P

故X的期望．
（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
（17）【2013年北京,理17，14分】如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．平面平面，,．
（1）求证：平面；
(2）求证二面角的余弦值．
（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值．
解：（1）因为为正方形,所以．因为平面平面,且垂直于这两个平面的交
线，所以平面．
（2）由（1）知，．由题知，,,所以．
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则，，，
．设平面的法向量为，则,即．
令，则,，所以．同理可得，平面的法向量为．
所以cos〈n，m〉=．由题知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
(3）设是直线上一点，且，所以．
解得，，．所以．由，即，解得
．因为，所以在线段上存在点，使得．此时,．
（18)【2013年北京,理18，13分】设为曲线在点处的切线．
（1）求的方程；
（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方．
解：(1）设，则．所以．所以的方程为．
（2)令，则除切点之外,曲线在直线的下方等价于．
满足,且．当时，，，所以，
故单调递减；当时，，，所以,故单调递增．
所以,．所以除切点之外,曲线在直线的下方．
（19）【2013年北京，理19，14分】已知是椭圆上的三个点，是坐标原点．
（1）当点是的右顶点,且四边形为菱形时，求此菱形的面积；
（2）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由．
解：(1）椭圆右顶点B的坐标为．因为四边形为菱形，所以与相互垂直平分．
所以可设，代入椭圆方程得，即．
所以菱形的面积是．
(2）假设四边形为菱形．因为点不是的顶点，且直线不过原点，所以可设的方程为
．由，消并整理得．
设,，则，．
所以的中点为．因为为和的交点，所以直线的斜率为．
因为，所以与不垂直．所以不是菱形，与假设矛盾．
所以当点不是的顶点时，四边形不可能是菱形．
(20)【2013年北京，理20，13分】已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为,第项之后各项的最小值记为，．
（1）若为…，是一个周期为4的数列(即对任意，），写出的
值；
(2)设是非负整数，证明:的充分必要条件为是公差为的等差数列;
（3)证明：若，，则的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．
解:（1),．
（2)（充分性）因为是公差为的等差数列，且,所以．
因此，，．
(必要性）因为,所以．又因为，，所以．
于是，，，因此，即是公差为的等差数列．
（3）因为，，所以,．故对任意，．
假设中存在大于2的项．设为满足的最小正整数，则，并且对任意,
．又因为，所以，且．于是，,
．故,与矛盾．
所以对于任意，有,即非负整数列的各项只能为1或2．
因为对任意，，所以．故．
因此对于任意正整数，存在满足,且，即数列有无穷多项为1．
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