专题训练(三)-平行四边形中的动态问题.doc

专题训练（三）　平行四边形中的动态问题

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（教材P68习题第13题的变式与应用）
【原题】(人教版八年级下册教材第68页第13题)
如图,在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm,BC＝26 cm。点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动,规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始,使PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么?

1．如图,在四边形ABCD中,AD∥BC，AD＝6，BC＝16,点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．

2．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB＝25 cm，AD＝8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．
(1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD？
（2)试问:P,Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．

3．如图，平行四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8,点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动,点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动．
（1)经过几秒,以P,Q，B，D为顶点的四边形为矩形？
（2)若BC⊥AC垂足为C,求（1）中矩形边BQ的长．

4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm,BC＝18 cm,点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1)作DE⊥BC于E，则CD边的长度为10cm；
（2)从运动开始，当t取何值时,四边形PQBA是矩形？
(3）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

　　　　　　　　　　　　　备用图

5．如图,已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10,P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2)请直接写出当AP为何值时,四边形PMEN是菱形；
（3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．

参考答案
【例】　（人教版八年级下册教材第68页第13题)
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm。点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发,以3 cm/s的速度向点B运动,规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？

【解答】①设经过t s时，四边形PQCD是平行四边形，
∵AP＝t，CQ＝3t，DP＝24－t，
∴DP＝CQ.∴24－t＝3t.
∴t＝6，即经过6s时，四边形PQCD是平行四边形,此时PQ∥CD，且PQ＝CD.
②设经过t s时,PQ＝CD，即四边形PQCD是等腰梯形,
∵AP＝t，BQ＝26－3t，
∴t＝26－3t＋2，t＝7。
综上所述当t＝6 s或7 s时，PQ＝CD。
【方法归纳】　根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解．

1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6,BC＝16,点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
解：由题意可知，AP＝t，CQ＝2t，CE＝BC＝8。∵AD∥BC，∴当PD＝EQ时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
当2t＜8，即t＜4时，点Q在C、E之间，如图甲．此时,PD＝AD－AP＝6－t,EQ＝CE－CQ＝8－2t，
由6－t＝8－2t得t＝2.
当8<2t〈16,且t〈6，即4<t〈6时，点Q在B、E之间,如图乙．此时,PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CQ－CE＝2t－8,由6－t＝2t－8得t＝。
∴当运动时间为2s或s时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．

图甲　　　　 　　　　图乙
2．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB＝25 cm，AD＝8 cm，动点P，Q分别从点A,C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动,运动到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．
(1）P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD？
(2)试问：P,Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．
解：（1)设P，Q两点从出发开始到第x秒时，PQ∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,即AP∥DQ.
∵PQ∥AD，
∴四边形APQD是平行四边形．
∴AP＝DQ。
∴3x＝25－2x.解得x＝5.
答：P,Q两点从出发开始到第5秒时，PQ∥AD。
（2)设P，Q两点从出发开始到第a秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米,
∵BP＝25－3a，CQ＝2a，
∴根据梯形面积公式得：
(25－3a＋2a）·8＝84。解得a＝4。
答：P，Q两点从出发开始到第4秒时,四边形PBCQ的面积为84平方厘米．

3．如图，平行四边形ABCD中,AC＝6,BD＝8,点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动．
(1）经过几秒，以P，Q,B，D为顶点的四边形为矩形?
(2）若BC⊥AC垂足为C，求（1）中矩形边BQ的长．
解：(1）当t＝7秒时,四边形BPDQ为矩形．
理由如下：当t＝7秒时，PA＝QC＝7，
∵AC＝6，
∴CP＝AQ＝1。
∴PQ＝BD＝8.
∵四边形ABCD为平行四边形,BD＝8，AC＝6，
∴AO＝CO＝3.
∴BO＝DO＝4。
∴OQ＝OP＝4。
∴四边形BPDQ为平形四边形．
∵PQ＝BD＝8，
∴四边形BPDQ为矩形．
(2）由(1)得BO＝4，CQ＝7，
∵BC⊥AC，
∴∠BCA＝90°。
∴BC2＋CQ2＝BQ2.
∴BQ＝＝2.

4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°,AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发,以2 cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）作DE⊥BC于E，则CD边的长度为10cm；
(2)从运动开始，当t取何值时，四边形PQRA是矩形?
（3）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形?若存在,请求出t值；若不存在，请说明理由．

　　　　　　　　　　　　　备用图

解：(2）如图1，由题意得：AP＝t,DP＝12－t,CQ＝2t,BQ＝18－2t。
要使四边形PQBA是矩形，已有∠B＝90°，AD∥BC即AP∥BP，只需满足AP＝BQ即t＝18－2t，解得t＝6，因此,当t＝6秒时，四边形PQBA是矩形．

(3)不存在,理由:
如图2，要使四边形PQCD是平行四边形，已有AD∥BC即DP∥CQ,
只需满足DP＝CQ即12－t＝2t，
∴t＝4时，四边形PQCD是平行四边形，
但DP＝12－t＝8≠10,即DP≠DC，
∴按已经速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，但不可能是菱形．

5．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10,P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
(1）求证:四边形PMEN是平行四边形;
（2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
(3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．

解：(1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线．
∴ME∥PC,EN∥PD.
∴四边形PMEN是平行四边形．
（2)当AP＝5时，
在Rt△PAD和Rt△PBC中，
∴△PAD≌△PBC（SAS）．
∴PD＝PC.
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴NE＝PM＝PD,ME＝PN＝PC.
∴PM＝ME＝EN＝PN。
∴四边形PMEN是菱形．
（3)四边形PMEN可能是矩形．
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°。
设PA＝x,PB＝10－x,
则DP＝,CP＝.
∵DP2＋CP2＝DC2，
即16＋x2＋16＋(10－x)2＝102,
∴x2－10x＋16＝0。
解得x＝2或x＝8.
故当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形．

八年级数学备课组 8