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微积分公式与定积分计算练习（附加三角函
数公式）
一、基本导数公式
(12)
(15)
cosx
secx
ex
logx
a
ex
arctaix
sinx
secx tanx
x Ina
1 x2
(13)
(16)
tanx
ax
sec2 x
ax
Ina
arcsin
arccotx
sinx ⑶
cosx
cotx
csc2 x
cscx
1 x2
x2
(11)
(17)
Inx
(14)
cscx cotx
arccosx
1尸
(18)
1 x2

、导数的四则运算法则
u v uv
uv
uv
V2

三、高阶导数的运算法则
u x V x
(1)
xn
cu
cu n
(2)
u ax b n
(3)
anu
n ax
(4)
cku a
n
0
k x V(k) x
四、基本初等函数的
阶导数公式
n xn
(1)
n!
eax
bn
a n eax b
五、
sin ax
ax b
(2)
an sin ax b
an n!
n
ax b n 1
微分公式与微分运算法则
cos ax
In ax
an cos ax b
an n 1 n 1
ax b n

sinxdx
cosx
c
⑺

C0S2 x
1 dx arctaix c
1 x2
cotxdx l^sin^l c
cscxdx ln|cscx cotx] c
——i——dx —arctanx c
a2 x2 a a
dx
-1lnl-

c
x a2
2a x
a

d c
0
d x
x idx
d sinx
cos xdx
⑴

⑵

⑶

d ⑷
cosx
sinxdx
d tanx ⑸
sec2 xdx
d ⑹
cotx
csc2 xdx
d ⑺
secx
secx tanxdx

d ⑻
cscx
cscx
cotxdx
d ⑼
ex
exdx
d ax ⑽
axinadx
d
1
inx
idx
x

d
(12)
logx _^dx ax lna

d arcsiix
(13)
V1 x2
:dxd
(14)
arccosx
] dx
<1 x2
d
(15)
1 arctaix
1 x2
dx

d
(16)
arccotx
-^dx 1 x

六、
d ⑴
微分运算法则
u v du dv

d ⑵
cu cdu

d ⑷
u vdu
udv

d ⑶
七、
uv vdu udv
基本积分公式

v
v2

⑴
kdx kx c

x dx ⑵
—cfx
1⑶x
ln|x| c

⑷
.ax
axdx c
lna
⑸
exdx ex c
⑹)
cosxdx sinx c

1
dx
sec2 xdx tanx c

csc2 xdxcotx c
⑼ sii2 x
, dx arcsiix c
(11) E X2
八、补充积分公式
tanxdxln|cosx| c
secxdx iqsecx tanx] c
积分型
换元公式
f ax b dx — f ax b d ax b a
u ax b
f x x idx -1 f x d x
u x
f Inx — dx f Inx d Inx x
u Inx
f ex exdxf ex d ex
u ex
f ax axdx -L f ax d ax
Ina
u ax
f sinx cosxdx f sinx d sinx
u sinx
f cosx sinxdxf cosx d cosx
u cosx
f tanx sea xdx f tanx d tanx
u tanx
f cotx csc2 xdx f cotx d cotx
u cotx
f arctaix —i—dxf arctan x d arctan x
1 x2
u arctanx
f arcsiix:dx f arcsiix d arcsiix
Ji x2
u arcsiix
九、下列常用凑微分公式
十、分部积分法公式
xneaxdx “
⑴形如，令U

1
<a2 X2
dx
arcsiiX c
a
dx In x 7X2a2 c
yJX2a2
形如xnsinxdx令u
形如xncosxdx令u
（）形如 xnarctaixdx
形如对山血，令u
xn dv eaxdx
，
xn dv sinxdx
，
xn dv cos xdx
，
令 u arctanx dv xndx
Inx dv xndx
⑶形如 eax sinxdxeaxcosxdx令u eax, siix, cosx均可
十一、第二换元积分法中的三角换元公式
⑴ Ja2 x2 x asint ⑵
.Y’a2
1
2
x2
(3)
x a tant
(3)t'x2 a2x a sect
【特殊角的三角函数值】
si『
6
一
si『
3
豆
2
si— 1
(4)2(5) sin
0
(1)
sin0 0
(2)
(1)
cos0 1
(2)
cos—
6
旦
2
(3)
cos—
3
1
2
—0
(4)2(5)cos
1
(1)
tan0 0
(2)
ta『
6
豆
3
(3)
tan-
3
<3
ta『
(4)2不存在(5) tan
0
(1)
cot0不存在
(2)
cot—
6
•侦3
(3)
cot-
3
3
(4) c°0 0 (5) cot 不存在
十二、
(1)
(4)
(7)
(10)
(12)
十三、
重要公式
sinx1
lim1lim 1 x x e
x 0 x(2)x0
lim 如 1limarctaix -^
limarccox 0limarccotx
x(8) x
limexlimxx 1
x(11) x 0
a
—0 n m
b
1. a xna xn1•..a*
lim 10 n m
x b xmb xm1...b
01mn m
下列常用等价无穷小关系(*0)

lim<a (a o) 1
(3 ) n
limarctanx
(6) x
limex 0
(9) x
(系数不为0的情况)
-
2
arctacx1 哈~2幻
sinx 〜x tanx~x arcsirx 〜x
ln1 x~x ex 1〜x
ax 1〜x Ina

十四、三角函数公式 1.两角和公式

sin A B) sinA cosB cos A sinB
sin A B) sinA cosB cos A sinB

cos(A B) cos A cosB sinA sinB
cos(A B) cos A cosB sinA sinB

tan A B)
cot A B)
tanA tanB
1 tanA tanB cotA cotB 1
cotB cotA
tan A B)
cot A B)
tanA tanB
1 tanA tanBcotA cotB 1
cotB cotA
2.二倍角公式
sin2 A 2sinA cos A
cos2 A
cos2 A sin A 1 2sinA 2cos2 A 1
c .2 tanA
tan2A
1 tan2 A
3.半角公式
A sin—
2
1 cos A
A ，1 cosA cos—
2
,A'1 cosA
ta『，:
2\，1 cos A
sinA
4.和差化积公式
sina
sinb
cosA
,A .'1 cosA cot — J- 2\'1
cosA
sinA
cosA
cosa
cosb
tana
tanb
2sinO_
2
2cos£
2
a b
cos
2
b
bcosL
2
sina b
cosa cosb
5.积化和差公式
1
—cos
2
1a sin a
2
sina sinb
sina cosb
6.万能公式
atan
sina
a
1 tan —
2
7.平方关系
sin x cos2
8. 倒数关系 tanx cotx 1
9. 商数关系
sinx
tanx
cosx
cos
sina sinb
cosa cosb
cosa cosb
sin a
1
cosa -
cosa sinb
a tan2 — 2 .~ a 1 tan —
2
sec2 x tan2 x 1
secx cosx 1
cosx
cotx
sinx
十五、几种常见的微分方程
2cosL
2
2sinO_
2
.a b
si
2
.a b
si
2
tana
cos a
sin a
csc2 x cot2
2 tana
2
— a
tan —
2
cscx sinx 1
cos a b
sin a b

1.可分离变量的微分方程:
dy
dx
xgy f x g y dx
， i i
f x g y dy 0
22
业f
、dx
2 .齐次微分方程：
dy
3. 一阶线性非齐次微分方程：dx
y e P x dx 解为：-
Q x e p x dxdx c