矩阵及其运算习题课.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,*,第二,章 矩阵,1.,矩阵的定义,由,m,n,个数,a,ij,(,i,=1,2,m,;,j,=1,2,n,),排成的,m,行,n,列的数表,:,称为,m,行,n,列的矩阵,.,简称,m,n,矩阵,.,简记为,:,这,m,n,个数,a,ij,称为,矩阵,A,的元素,.,A,=,A,m,n,=(,a,ij,),m,n,=(,a,ij,).,元素是实数的矩阵称为,实矩阵,元素是复数的矩阵称为,复矩阵,.,一、基本概念,2.,特殊矩阵,(1),行数与列数都等于,n,的矩阵,A,称为,n,阶方阵,.,也可记作,A,n,的方阵,称为,对角矩阵,(2),形如,(,或,对角阵,),其中,1,2,n,不全为零,.,记作,ding(,1,2,n,),(3),如果,E,n,=diag(,1,2,n,)=diag(1,1,1),则称,E,n,为,(,n,阶,),单位矩阵,或简称,单位阵,.,简记为,E,.,(4),元素全为零的矩阵称为,零矩阵,m,n,阶零矩阵记作,O,m,n,或,O,.,(5),只有一行,(,列,),的矩阵称为,行,(,列,),矩阵,(,或,行,(,列,),向量,).,2.,两个矩阵,A,=(,a,ij,),与,B,=(,b,ij,),为同型矩阵,并且对应元素相等,即,a,ij,=,b,ij,(,i,=1,2,m,;,j,=1,2,n,),则称,矩阵,A,与,B,相等,记作,A,=,B,.,1.,两个矩阵的行,列数对应相等,称为,同型矩阵,.,3.,同型矩阵和相等矩阵,4.,矩阵的加法,设有两个同型的,m,n,矩阵,A,=(,a,ij,),与,B,=(,b,ij,),那末矩阵,A,与,B,的和定义为,(,a,ij,+,b,ij,),记作,A,+,B,即,矩阵加法的运算规律,(1),交换律,:,A,+,B,=,B,+,A,.,(2),结合律,:(,A,+,B,)+,C,=,A,+(,B,+,C,).,矩阵,A,=(,a,ij,),称,A,=(,a,ij,),为,矩阵,A,的负矩阵,.,A,+(,A,)=,O,A,B,=,A,+(,B,).,5.,数与矩阵相乘,数,与矩阵,A,=(,a,ij,),的乘积定义为,(,a,ij,),记作,A,或,A,简称为,数乘,.,设,A,B,为同型的,m,n,矩阵,为数,:,(1)(,),A,=,(,A,).,(2)(,+,),A,=,A,+,A,.,(3),(,A,+,B,)=,A,+,B,.,数乘矩阵的运算规律,矩阵的加法与数乘运算,统称为矩阵的,线性运算,.,设,A,=(,a,ij,),是一个,m,s,矩阵,B,=(,b,ij,),是一个,s,n,矩阵,定义矩阵,A,与矩阵,B,的乘积,C,=(,c,ij,),是一个,m,n,矩阵,其中,6.,矩阵与矩阵,相乘,(,i,=1,2,m,;,j,=1,2,n,).,并把此乘积记作,C,=,AB,.,矩阵乘法的运算规律,(1),结合律,:(,AB,),C,=,A,(,BC,);,(2),分配律,:,A,(,B,+,C,)=,AB,+,AC,(,B,+,C,),A,=,BA,+,CA,;,(3),(,AB,)=(,A,),B,=,A,(,B,),其中,为数,;,(4),A,m,n,E,n,=,E,m,A,m,n,=,A,;,把矩阵,A,的行列互换,所得到的新矩阵,叫做,矩阵,A,的,转置矩阵,记作,A,T,.,7.,转置矩阵,(1)(,A,T,),T,=,A,;,(2)(,A,+,B,),T,=,A,T,+,B,T,;,(3)(,A,),T,=,A,T,;,(4)(,AB,),T,=,B,T,A,T,;,转置矩阵的运算性质,8.,方阵的运算,方阵的幂满足幂运算律,:,A,k,A,m,=,A,k,+,m,(,A,m,),k,=,A,mk,其中,k,m,为正整数,.,若,A,是,n,阶方阵,则,A,k,为,A,的,k,次幂,定义为,A,1,=,A,A,k,+1,=,A,k,A,1,(,k,为正整数,),由,n,阶方阵,A,的元素所构成的行列式叫做,方阵,A,的行列式,记作,|,A,|,或,det,A,.,方阵行列式的运算性质,(1)|,A,T,|=|,A,|;,(2)|,A,|=,n,|,A,|;,(3)|,AB,|=|,A,|,B,|=|,B,|,A,|=|,BA,|.,9.,一些特殊的矩阵,设,A,为,n,阶方阵,:,(1),如果,A,T,=,A,称,A,为,对称矩阵,;,(2),如果,A,T,=,A,称,A,为,反对称矩阵,;,(3),如果,AA,T,=,A,T,A,=,E,称,A,为,正交矩阵,;,(6),主对角线以下,(,上,),的元素都为零的,方阵,称为,上,(,下,),三角矩阵,;,(7),行列式,|,A,|,的各个元素的代数余子式,A,ij,所构成的如下矩阵,称为矩阵,A,的,伴随矩阵,.,性质,:,AA*,=,A*A,=,|,A,|,E,.,对于,n,阶方阵,A,如果存在一个,n,阶方阵,B,使得,AB,=,BA,=,E,则称矩阵,A,是,可逆的,(,非奇异的,非退化的,),并称矩阵,B,为,A,的,逆矩阵,.,A,的逆矩阵记作,A,-1,.,10.,逆矩阵,(2),矩阵,A,可逆的充要条件是,|,A,|,0.,(3),若,A,是可逆矩阵,则,(4),若,AB,=,E,(,或,BA,=,E,),则,B,=,A,-1,.,(1),若,A,是可逆矩阵,则,A,的逆矩阵是,唯一的,.,(5),若矩阵,A,可逆,且,0,则,A,亦可逆,且,(7),若矩阵,A,可逆,则,A,T,亦可逆,且,(,A,T,),-1,=(,A,-1,),T,.,(6),若,A,B,为同阶可逆方阵,则,AB,亦可逆,且,(,AB,),-1,=,B,-1,A,-1,.,(8),若矩阵,A,可逆,则有,|,A,-1,|=|,A,|,-1,.,逆矩阵的计算方法,:,(3),初等变换法,(,下一章介绍,).,(2),伴随矩阵法,:,(1),待定系数法,;,矩阵的分块,主要目的在于简化运算及便于论证,.,分块矩阵的运算规则,与矩阵的运算规则相类似,11.,分块矩阵,矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于,论证,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则,相类似,分块,矩阵,一、填空题,测试题答案,