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,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,w,华,*,Click to edit Master title style,数学建模,微分与模糊专题,w,华,专题板块系列,概率统计专题,1,优化专题,2,模糊方法及微分方程专题,3,图论专题,4,2,w,华,模糊方法及微分方程专题,Part1:,微分方程,模糊微分,Part2:,模糊数学,3,w,华,part1,：微分方程,一,微分方程模型,二,差分方程模型,4,w,华,在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之间的关系，但却能容易得出包含变量导数在内的关系式，这就是微分方程,.,在现实社会中，又有许多变量是离散变化的，如人口数、生产周期与商品价格等,而且离散的运算具有可操作性,差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁,.,5,w,华,不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解,(,必要时，可以利用计算机求其数值解,),，既使得到其解析解，尚有未知参数需要估计,(,这时可利用第二章参数估计方法,).,而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论,.,6,w,华,如果,则称平衡点,x,0,是,稳定,的,.,称代数方程,f,(,x,)=0,的实根,x,=,x,0,为方程,(4-1),的,平衡点,(,或奇点,).,它也是方程,(4-1),的解,.,设,一维微分方程模型平衡点的稳定性,7,w,华,由于,在讨论方程,(4-1),的,来代替,.,稳定性时，可用,一阶微分方程模型平衡点的稳定性,8,w,华,易知,x,0,也是方程,(4-2),的平衡点,.(4-2),的通解为,关于,x,0,是否稳定有以下结论：,若,则,x,0,是稳定的；,若,则,x,0,是不稳定的,.,这个结论对于,(4-1),也是成立的,.,一阶微分方程模型平衡点的稳定性,9,w,华,代数方程组,的实根,x,=,x,0,y,=,y,0,称为方程,(4-3),的,平衡点,记作,P,0,(,x,0,y,0,).,它也是方程,(4-3),的解,.,微分方程组的平衡点的稳定性,10,w,华,如果,则称平衡点,P,0,是,稳定,的,.,微分方程组的平衡点的稳定性,11,w,华,下面给出判别平衡点,P,0,是否稳定的,判别准则,.,设,则当,p,0,且,q,0,时，平衡点,P,0,是稳定的；,当,p,0,或,q,0,时，平衡点,P,0,是不稳定的,.,微分方程组的平衡点的稳定性,12,w,华,稳定性模型,建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势,平衡状态是否稳定。,不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。,13,w,华,再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）,再生资源应适度开发,在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,问题及 分析,在,捕捞量稳定,的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。,如果使捕捞量等于自然增长量，,渔场鱼量将保持不变,，则捕捞量稳定。,背景,实例：捕鱼业的持续收获,14,w,华,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从,Logistic,规律,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,r,固有增长率,N,最大鱼量,h,(,x,)=,Ex,E,捕捞强度,x,(,t,),渔场鱼量，,产量模型,15,w,华,平衡点,稳定性判断,x,0,稳定,可得到稳定产量,x,1,稳定,渔场干枯,E,捕捞强度,r,固有增长率,产量模型,16,w,华,图解法,P,的横坐标,x,0,平衡点,y=rx,h,P,x,0,y,0,y=h,(,x,),=Ex,x,N,y=f,(,x,),P,的纵坐标,h,产量,产量最大,f,与,h,交点,P,h,m,x,0,*,=,N,/2,P,*,y=E,*,x,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,产量模型最大产量,17,w,华,效益模型,假设,鱼销售价格,p,单位捕捞强度费用,c,单位时间利润,稳定平衡点,求,E,使,R,(,E,),最大,渔场鱼量,收入,T,=,ph,(,x,)=,pEx,支出,S,=,cE,18,w,华,对于,k,阶差分方程,F,(,n,;,x,n,x,n,+1,x,n,+,k,)=0 (4-6),若有,x,n,=,x,(,n,),满足,F,(,n,;,x,(,n,),x,(,n,+1),x,(,n,+,k,)=0,则称,x,n,=,x,(,n,),是差分方程,(4-6),的,解,包含,k,个任意常数的解称为,(4-6),的,通解,x,0,x,1,x,k,-1,为已知时称为,(4-6),的,初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为,(4-6),的,特解,.,差分方程模型,19,w,华,若,x,0,x,1,x,k,1,已知,，,则形如,x,n,+,k,=,g,(,n,;,x,n,x,n,+1,x,n,+,k,-1,),的差分方程的解可以在计算机上实现,.,若有常数,a,是差分方程,(4-6),的解,，,即,F,(,n,;,a,a,a,)=0,则称,a,是差分方程,(4-6),的,平衡点,.,又对差分方程,(4-6),的任意由初始条件确定的解,x,n,=,x,(,n,),都有,x,n,a,(,n,),则称这个平衡点,a,是,稳定,的,.,差分方程模型,20,w,华,一阶常系数线性差分方程,x,n,+1,+,ax,n,=,b,(,其中,a,b,为常数，且,a,-,1,0),的通解为,x,n,=,C,(,-,a,),n,+,b,/(,a,+1),易知,b,/(,a,+1),是其平衡点，由上式知，当且仅当,|,a,|,1,时，,b,/(,a,+1),是稳定的平衡点,.,差分方程模型,21,w,华,二阶常系数线性差分方程,x,n,+2,+,ax,n,+1,+,bx,n,=,r,其中,a,b,r,为常数,.,当,r,=0,时，它有一特解,x,*,=0,；,当,r,0,，且,a,+,b,+1 0,时，它有一特解,x,*,=,r,/(,a,+,b,+1).,不管是哪种情形，,x,*,是其平衡点,.,设其特征方程,2,+,a,+,b,=0,的两个根分别为,=,1,=,2,.,差分方程模型,22,w,华,当,1,2,是两个不同实根时，,二阶常系数线性差分,方程的通解为,x,n,=,x,*,+,C,1,(,1,),n,+,C,2,(,2,),n,;,当,1,2,=,是两个相同实根时，,二阶常系数线性差分,方程的通解为,x,n,=,x,*,+(,C,1,+,C,2,n,),n,;,则,差分方程模型,23,w,华,当,1,2,=,(cos,+,i,sin,),是一对共轭复根时，,二阶常系数线性差分,方程的通解为,x,n,=,x,*,+,n,(,C,1,cos,n,+,C,2,sin,n,).,易知，当且仅当特征方程的任一特征根,|,i,|,1,时,平衡点,x,*,是稳定的,.,差分方程模型,24,w,华,对于一阶非线性差分方程,x,n,+1,=,f,(,x,n,),其平衡点,x,*,由代数方程,x,=,f,(,x,),解出,.,为分析平衡点,x,*,的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程,时,上述近似线性差分方程与,原,非线性差分方程的,稳定性相同,.,因此,当,时,x,*,是稳定的；,当,时,x,*,是不稳定的,.,当,差分方程模型,25,w,华,问,题,供大于求,现,象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,价格下降,减少产量,增加产量,价格上涨,供不应求,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,市场经济中的蛛网模型,26,w,华,g,x,0,y,0,P,0,f,x,y,0,x,k,第,k,时段商品数量；,y,k,第,k,时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,供应函数,需求函数,f,与,g,的交点,P,0,(,x,0,y,0,),平衡点,一旦,x,k,=,x,0,，则,y,k,=,y,0,x,k+,1,x,k+,2,=x,0,y,k+,1,y,k+,2,=y,0,模型建立,27,w,华,设,x,1,偏离,x,0,P,0,是稳定平衡点,P,0,是不稳定平衡点,蛛 网 模 型,稳定性分析,28,w,华,x,y,0,f,g,y,0,x,0,P,0,x,1,x,2,P,2,y,1,P,1,y,2,P,3,P,4,x,3,y,3,P,1,P,2,P,3,P,4,x,y,0,y,0,x,0,P,0,f,g,曲线斜率,稳定性分析,29,w,华,在,P,0,点附近用直线近似曲线,P,0,稳定,P,0,不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,稳定性分析,30,w,华,商品数量减少,1,单位,价格上涨幅度,价格上涨,1,单位,(,下时段,),供应的增量,消费者对需求的敏感程度,生产者对价格的敏感程度,小,有利于经济稳定,小,有利于经济稳定,x,k,第,k,时段商品数量；,y,k,第,k,时段商品价格,经济稳定,结果解释,31,w,华,1.,使,尽量小，如,=0,以行政手段控制价格不变,2.,使,尽量小，如,=0,靠经济实力控制数量不变,x,y,0,y,0,g,f,x,y,0,x,0,g,f,需求曲线变为水平,供应曲线变为竖直,结果解释政府干预,32,w,华,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,模型的推广,33,w,华,方程通解,(,c,1,c,2,由初始条件确定,),1,2,特征根，即方程 的根,平衡点稳定,的条件,:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,x,0,为平衡点,研究平衡点稳定，即,k,x,k,x,0,的条件,模型的推广,34,w,华,一,模糊集合及其运算,二,模糊聚类分析,三,模糊综合评判,四,模糊线性规划,Part2:,模糊数学,35,w,华,一、经典集合与特征函数,集合：,具有某种特定属性的对象集体。,通常用大写字母,A,、,B,、,C,等表示。,论域：,对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。,通常用大写字母,U,、,V,、,X,、,Y,等表示。,论域,U,中的每个对象,u,称为,U,的,元素,。,模糊集合及其运算,36,w,华,在论域,U,中任意给定一个元素,u,及任意给定一个,经典集合,A,，则必有 或者 ，用函数表示为：,其中,函数 称为集合,A,的特征函数。,模糊集合及其运算,37,w,华,罗素（,Russell,）悖论：,在一个孤岛上唯一的一个理发师，其工作是“专门替那些不给自己刮胡子的人刮胡子”，现问理发师本人该不该给自己刮胡子？,取论域,U,=,全岛刮胡子的人,，,集合,A,=,不给自己刮胡子的人,，用特征函数刻画为,问题：,显然理发师 ，那么理发师是否属于,A,？,模糊集合及其运算,38,w,华,二、模糊集合及其运算,美国控制论专家,Zadeh,教授正视了经典集合描述的,“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数,概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以,中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。,基于此，,1965,年，,Zadeh,教授在,Information and,Control,杂志上发表了一篇开创性论文“,Fuzzy Sets,”,标志着模糊数学的诞生。,模糊集合及其运算,39,w,华,1,、模糊子集,定义：,设,U,是论域，称映射,确定了一个,U,上的,模糊子集,。映射 称为,隶属函,数,，称为 对 的隶属程度，简称,隶属度,。,模糊子集 由隶属函数 唯一确定，故认为二者,是等同的。为简单见，通常用,A,来表示 和 。,模糊集合及其运算,40,w,华,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：,（,1,）,Zadeh,表示法,这里 表示 对模糊集,A,的隶属度是 。,如“将一,1,2,3,4,组成一个小数的集合”可表示为,可省略,模糊集合及其运算,41,w,华,（,3,）向量表示法,（,2,）序偶表示法,若论域,U,为无限集，其上的模糊集表示为：,模糊集合及其运算,42,w,华,2,、模糊集的运算,定义：,设,A,，,B,是论域,U,的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,表示取大；,表示取小。,模糊集合及其运算,43,w,华,几个常用的算子：,（,1,）,Zadeh,算子,（,2,）取大、乘积算子,（,3,）环和、乘积算子,模糊集合及其运算,44,w,华,（,4,）有界和、取小算子,（,5,）有界和、乘积算子,（,6,）,Einstain,算子,模糊集合及其运算,45,w,华,3,、模糊矩阵,定义：,设 称,R,为,模糊矩阵,。,当 只取,0,或,1,时，称,R,为,布尔（,Boole,）矩阵,。,当模糊方阵 的对角线上的元素 都为,1,时，,称,R,为,模糊自反矩阵,。,（,1,）模糊矩阵间的关系及运算,定义,：设 都是模糊矩阵，定义,相等：,包含：,模糊集合及其运算,46,w,华,并：,交：,余：,例：,模糊集合及其运算,47,w,华,（,2,）模糊矩阵的合成,定义：,设 称模糊矩阵,为,A,与,B,的合成，其中 。,例：,模糊集合及其运算,48,w,华,（,3,）模糊矩阵的转置,定义：,设 称 为,A,的,转置矩阵，其中 。,（,4,）模糊矩阵的 截矩阵,定义：,设 对任意的 称,为模糊矩阵,A,的 截矩阵，其中,模糊集合及其运算,49,w,华,例：,模糊集合及其运算,50,w,华,三、隶属函数的确定,1,、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素：,（,1,）论域,U,；,（,2,）,U,中的一个固定元素,（,3,）,U,中的一个随机运动集合,（,4,）,U,中的一个以 作为弹性边界的模糊子集,A,，,制约着 的运动。可以覆盖 也可以不覆盖,致使 对,A,的隶属关系是不确定的。,模糊集合及其运算,51,w,华,特点：在各次试验中，是固定的，而 在随机变动。,模糊统计试验过程：,（,1,）做,n,次试验，计算出,（,2,）随着,n,的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为,对,A,的隶属度：,模糊集合及其运算,52,w,华,2,、指派方法,这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种,方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模,糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。,3,、其它方法,德尔菲法：专家评分法；,二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，,由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：,相对比较法、择优比较法和对比平均法等。,模糊集合及其运算,53,w,华,模糊聚类分析,一、基本概念及定理,54,w,华,模糊聚类分析,55,w,华,例：设对于模糊等价矩阵,模糊聚类分析,56,w,华,模糊聚类分析,57,w,华,例：设有模糊相似矩阵,模糊聚类分析,58,w,华,二、模糊聚类的一般步骤,、建立数据矩阵,模糊聚类分析,59,w,华,（,1,）标准差标准化,模糊聚类分析,60,w,华,（,2,）极差正规化,（,3,）极差标准化,（,4,）最大值规格化,其中：,模糊聚类分析,61,w,华,、建立模糊相似矩阵,（,1,）相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,模糊聚类分析,62,w,华,（,2,）距离法,Hamming,距离,Euclid,距离,Chebyshev,距离,模糊聚类分析,63,w,华,（,3,）贴近度法,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,模糊聚类分析,64,w,华,3,、聚类并画出动态聚类图,（,1,）模糊传递闭包法,步骤：,模糊聚类分析,65,w,华,模糊聚类分析,66,w,华,解：,由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,模糊聚类分析,67,w,华,用最大最小法构造,模糊相似矩阵得到,用平方法合,成传递闭包,模糊聚类分析,68,w,华,取 ，得,模糊聚类分析,69,w,华,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,70,w,华,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,71,w,华,画出动态聚类图如下：,0.7,0.63,0.62,0.53,1,模糊聚类分析,72,w,华,模糊聚类分析的简要流程,:,Y,N,73,w,华,模糊模式识别,模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，,称为标准模式库；二是有待识别的对象。,所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模,糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。,74,w,华,一最大隶属原则,最大隶属原则,：,最大隶属原则,：,模糊模式识别,75,w,华,按最大隶属原则，,该人属于老年。,解：,模糊模式识别,76,w,华,模糊模式识别,77,w,华,模糊模式识别,78,w,华,阈值原则：,模糊模式识别,79,w,华,二、择近原则,1,、贴近度,表示两个模糊集,A,，,B,之间的,贴近,程,度,。,模糊模式识别,80,w,华,C,=,C,=,故,B,比,A,更贴近于,.,模糊模式识别,81,w,华,模糊模式识别,82,w,华,模糊模式识别,83,w,华,2,、择近原则,模糊模式识别,84,w,华,模糊模式识别,85,w,华,模糊模式识别,86,w,华,模糊综合评判,一、一级模糊综合评判,87,w,华,模糊综合评判,88,w,华,根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：,模糊综合评判,89,w,华,模糊综合评判,90,w,华,模糊综合评判,91,w,华,其中：,模糊综合评判,92,w,华,模糊综合评判,93,w,华,模糊综合评判,94,w,华,模糊综合评判,95,w,华,二、多级模糊综合评判（以二级为例）,问题：,对高等学校的评估可以考虑如下方面,模糊综合评判,96,w,华,二级模糊综合评判的步骤：,模糊综合评判,97,w,华,模糊综合评判,98,w,华,模糊综合评判,99,w,华,模糊综合评判,100,w,华,模糊综合评判,101,w,华,模糊综合评判,102,w,华,模糊综合评判,103,w,华,模糊综合评判,104,w,华,模糊线性规划,105,w,华,模糊线性规划,106,w,华,解模糊线性规划的基思想：化为普通线性规划。,请注意模糊线性规划（,2,）与普通线性规划（,3,）,的区别与联系。,模糊线性规划,107,w,华,模糊线性规划,108,w,华,模糊线性规划,109,w,华,模糊线性规划,110,w,华,模糊线性规划,111,w,华,模糊线性规划,112,w,华,模糊线性规划,113,w,华,模糊线性规划,114,Thank You!,
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