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哈尔滨市第九中学 2024—2025 学年度高三上学期
期中考试数学学科试卷
满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
ì
3ü
ì
5
ü
M = íx x > - ý, N = íxÎZ - < x <1ý
î
2þ
î
2
þ
M I N =
，则
1
. 已知集合
（
）
ì
3
ü
x - < x <1ý
{-2,-1, 0}
{-1, 0}
D.
{0,1}
A.
í
B.
C.
î
2
þ
. 若复数 满足 zi2025 2 i ，则 的实部与虚部之和为（
z
= -
z
）
2
A. -1+ 2i
B. -1- 2i
C. 1
D. -3
. 已知等差数列{ }的前 6 项和为 60，且
a + a + a =15
（
）
a
n
a =
，则
3
1
2
3
5
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
æ
è
π ö
4 ø
. 在平面直角坐标系中，若 Ða 的终边经过点 ( )，则
P 2,1
cosça + ÷
的值为（
）
4
3
10
0
10
10
10
3 10
10
A. -
B. -
C.
D.
1
10
5
. 如图，四边形O¢A¢C¢B¢ 表示水平放置的四边形OACB 根据斜二测画法得到的直观图，O¢A¢ = 2，
B¢C¢ = 4，O¢B¢ = 2 ，O¢A¢//B¢C¢ ，则 AC = （
）
A.
. 若曲线
A. -2
6
B. 2 3
C. 6
D. 4 2
y = ex + a
的一条切线方程是 y = x -1，则 a =
6
（
）
B. 1
C. -1
D. e
4
4
π
7
. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 ，面积为
的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（
）
3
3
2
56π
9π
A
B. 4π
C.
D. 9π
6
3
2
8
. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项
-
a = n +1 ×2n = -n +1 ×2n - -n ×2n+1
(
)
(
)
( )
{a }
的前 项和
n
相消法”求解．例如
，故数列
n
n
S = a + a + a +L+ a = 0´21 -(-1)´22 + (-1)´22 -(-2)´23 +L+ (-n +1)×2n -(-n)×2n+1
n
1
2
3
n
n
2
=
n×2n+1 ．记数列{ }的前 n 项和为T ，利用上述方法求T - 6 = （
）
n
30
2
n
5
13
513
230
513
229
513
229
A.
B. -
C.
D. -
2
30
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
π
r
r
r
1
r
e = e =1
a = e1 - 2e b = e + e
，若 ，则下列结论正确的是
2
e
1
e
2
9
. 已知平面向量
，
的夹角为 ，且
3
，
1
2
2
（
）
r
A. a ^ b
B. a 与b 可以作为平面内向量的一组基底
1 r
ar = 2
D. a 在b 上的投影向量为
- b
C.
2
0. 在VABC 中，内角
A,B,C
所对的边分别为
）
a,b,c ，已知sinA: sinB : sinC = 4:5:6
，
D
为线段
AC
1
上一点，则下列判断正确的是（
A. VABC 为钝角三角形
B. VABC 的最大内角是最小内角的 2 倍
C. 若 D 为 AC 中点，则 BD : AC = 79 :10
D 若 ÐABD = ÐCBD ，则 BD : AC = 3 2 :5
Sn
n
1. 设数列{푎푛}的前 项和为 ，若
n
S
b =
n
，则称数列 푏 是数列 푎 的“均值数列”．已知数列 푏 是数
{ }
{ }
{ }
1
n
푛
푛
푛
2b + 4b +8b +L+ 2n bn = n2 + n
列{푎 }
的“均值数列”，且
，则下列结论正确的是（
）
푛
1
2
3
2
3
4
a7 = -
A.
6
B. 设数列{푎푛}的前 项积为T ，则T 有最大值，无最小值
n
n
n
C. 数列{ }中没有最大项
S
n
5
9
D. 若对任意 nÎN*，
m
2
- m - S ³ 0
成立，则
m £ -1或 m ³
n
4
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
3
12. 若sina =
，且a
为第二象限角，则sin 2a = ___________.
5
x = a
a =
_________．
f (x) = (x - a)(x2 - 2x)
在
处取得极大值，则
1
3. 已知函数
ì
2an ,n为奇数
4. 已知数列{푎푛}满足
a
n+1
= í
î
，
a = 0
1
，则
a =
10
______；设数列{푎 }的前 项和为
n
S
n
，
1
푛
an 2,n为偶数
+
S
=
则
______．（第二个空结果用指数幂表示）
2
024
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1
5. 已知函数 f (x)= cos2 x + sinxcosx -
1
．
2
（
（
1）求 ( )的最小正周期；
f x
π
2）将 ( )的图象向左平移 个单位长度，得到函数
f x
y = g (x)
g (x)… 0
的图象，求不等式 的解集．
4
1
6. 数列{ }满足
a
a = ,2a a + an+1 - an = 0
．
n+1
1
n
1
n
2
1）求数列{ }通项公式．
a
（
n
(
+ )
cos n 1 π
b =
n
+ 2
{b }
S
（
2）设
，求数列
的前 n 项和
．
n
n
an
2
b - c cosC
7. 在VABC 中，角
A,B,C
的对边分别是
a,b,c
，已知
=
,a = 3．
1
a
cosA
（
（
1）求角 A ；
2）若点 D 在边 AC 上，且
u
uur 1 uuur 2 uuur
BD = BA+ BC ，求△BCD
面积的最大值．
3
3
1
8. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量
的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角
垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6
个球……第 n +1层球数是第 n 层球数与 n +1的和，设各层球数构成一个数列{푎 }
．
푛
（
（
1）求数列{푎 }
的通项公式；
푛
x
2）证明：当 x > 0 时， ln(1+ x >
)
1
+ x
2
n
b =
n
b + b + b +L+ b < n´2n+1
，证明：
（
3）若数列{
푏 }
푛
满足
，对于
nÎN*
．
ln(2a ) 2lnn
-
1
2
3
n
n
9. 定义：如果函数 ( )在定义域内，存在极大值
和极小值
，且存在一个常数 ，使
k
f x
f (x )
f (x )
1
1
2
(
)- ( ) = ( - )成立，则称函数 ( )为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系
f x2 k x f x
f x1
x
k
1
2
1
f x = x - - aln x
数．已知函数 ( )
．
x
5
a =
f (x)
是否为极值可差比函数，若是求极值差比系数，若不是说明理由；
（
（
1）当
时，判断
2
f (x)
a
2-a
a
？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
2）是否存在
使
的极值差比系数为
3
2
5
( )
f x
£ a £ ，求
（
3）若
的极值差比系数的取值范围．
2
2
-
哈尔滨市第九中学 2024—2025 学年度高三上学期
期中考试数学学科试卷
满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
【
【
【
【
【
【
【
【
【
【
【
【
【
【
【
【
1 题答案】
答案】C
2 题答案】
答案】D
3 题答案】
答案】C
4 题答案】
答案】C
5 题答案】
答案】B
6 题答案】
答案】A
7 题答案】
答案】A
8 题答案】
答案】D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
【
【
【
【
【
【
9 题答案】
答案】BD
10 题答案】
答案】BCD
11 题答案】
答案】AD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
【
【
12 题答案】
2
4
5
答案】 -
## -0.96
2
【
【
【
13 题答案】
答案】0
14 题答案】
3(
②.
2
1013
-
2026)
【
答案】
①. 60
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【
【
15 题答案】
π
答案】（1）
é
ë
3π
π
ù
û
-
+ kπ, + kπ ,k ÎZ
（
2） ê
ú
8
8
【
【
16 题答案】
1
a =
n
答案】（1）
2
n
ì
3n +1,n为奇数
S = í
2）
（
n
în,n为偶数
【
【
17 题答案】
π
答案】（1）
3
3
3
（
【
【
2）
4
18 题答案】
(
+ )
n n 1
答案】（1） an =
2
（
【
2）证明见解析
（3）证明见解析
19 题答案】
k = 2 -1 ln 2
0
答案】（1） ( )是极值可差比函数，
；
f x
【
（
3
2）不存在，理由见解析；
é
ë
10
2 - ln 2,2 -3ln 2ú
ê
ù
û
（
3）
3
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