控制系统的李雅普诺夫稳定性分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,预备知识,-,控制系统的李雅普诺夫,(Lyapunov),稳定性分析,Modern Control Theory,1,李雅普诺夫意义下的稳定性,平衡状态,稳定、渐近稳定、大范围稳定、不稳定的定义,李雅普诺夫稳定性理论,李雅普诺夫第一法,线性系统的稳定判据,非线性系统的稳定判据,李雅普诺夫第二法,预备知识,几个稳定判据,线性系统的李雅普诺夫稳定性分析,李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用,主要内容,2,引言,稳定性：,表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，,系统本身,仍有能力恢复到平衡状态的一种,“,顽性,”,，属于系统的,基本结构特性,，而,与输入作用无关,。,3,不同的稳定性概念：,（,1,）李雅普诺夫意义下的稳定性,内部稳定性；,（,2,）输入输出稳定性,外部稳定性,研究的目的和意义：,稳定性是一个自动控制系统正常工作的,首要、必要条件,，是一个重要特征。,要求：,在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。,引言,4,经典控制理论判别稳定性的方法：,劳斯判据 奈魁斯特判据 对数频率判据,根轨迹法,适用范围：线性定常系统，,不适用于非,线性和时变系统。,描述函数法,：,又称谐波平衡法，只适用于非线性程度较低的系统。,相平面法,：,只适合于一阶、二阶非线性系统。,引言,5,俄国学者,李雅普诺夫,Lyapunov,（18571918）,1892年在博士论文中提出稳定性理论,-,不仅适用于单变量线性系统，还适用于多变量、非线性、时变系统，是确定系统稳定性的,更一般性,理论。,1907（15年后）出版了法文版,1992（100年后）出版了英文版,当今任何一本控制期刊都有李雅普诺夫的名字,。,引言,6,Lyapunov,稳,定性方法,主要内容：,通过求解特征方程的,特征值,，利用其性质判断系统的稳定性,（,间接法,）,不求解微分方程，而利用经验和技巧构造,能量函数,-,李雅普诺夫函数,来判断系统的稳定性,（,直接法,）,其基本思路和分析方法与经典理论一致,特别适用于非线性系统和时变系统（因其状态方程求解困难）,对任意阶线性或非线性、定常或时变系统的稳定性分析均适用的一般性方法,引言,7,2,、初态：的解为,初态,一、李雅普诺夫意义下的稳定性,(,一,),几个基本概念,其解表示为：,1,、,自治系统,：不受外部影响即没有输入作用的一类动态系统。,其状态方程描述为：,只需考虑自治系统（因为稳定性是系统在自由运动下的特性）：,表示始于初态,x,0,的一个运动或一条状态轨迹,8,3,、,平衡状态,n,维状态,向量,变量,和,t,的,n,维向量函数,若对所有,t,，总存在 ，,则称,为系统的,平衡状态或平衡点,。,注意：,1,）如果系统是,线性定常,的，即：，则当,A,为非奇异矩阵,时，系统存在一个,唯一的,平衡状态即,原点,；,对系统,系统能维持在某状态不再变化,9,2,）对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这,些状态对应于系统的,常值解,（对所有,t,，总存在,）,当,A,为奇异矩阵,时，系统将存在,无穷多个平衡状态,。,无穷多个,三个平衡状态,如：,10,3,）线性系统在平衡点稳定，则系统稳定；,而非线性系统在平衡点稳定，则只是在该点稳定，,而不是整个系统稳定,-,可见，,稳定性问题是相对,于平衡状态而言的,。,4,）线性系统的稳定性,只取决于系统的结构和参数,，,而与系统的,初始条件及外界扰动的大小无关,；,但非线性系统的稳定性出了与系统的结构和参数有,关外，还与初始条件及外界扰动的大小有关。,11,5,）孤立的平衡状态：,在某一平衡状态的充分小的领域内不存,别的平衡状态，即称为孤立的平衡状态。,对于孤立的平衡状态，,总可以经过适当的,坐标变换，把它变换到状态空间的原点,。,因此，,仅仅需要讨论系统在 这个平衡状态处的稳定性即可。,-“,原点稳定性问题”,极大简化了研究，又不失一般性，是,Lyapunov,的重要贡献。,12,4,、状态向量,x,的范数,在,n,维状态空间，,向量,x,的长度,称为向量,x,的范数，表示为：,状态向量 到平衡点 的范数：,当范数 限制在某一范围之内时，可以表示为,且具有明确的几何意义。用此概念来分析系统的稳定性。,欧几里得范数,13,(,二,),稳定性的几个定义,表示状态矢量 与平衡状态,的,距离,点集,表示,以 为中心 为半径的超,球体（球域）,向量的,2,范数或欧几里得范数,1,、预备知识,当 很小时，称 为 的邻域。,14,表明齐次方程 由初态 或短暂扰动所引起的自由响应是有界的,15,设系统,如果对每个实数 都对应存在另一个实数 ，使得满足,的任意初始态 出发的运动轨迹,，在 都满足：,2,、李雅普诺夫,（,李氏）意义下的稳定性,向量范数,(,表示,空间距离,),16,则称,平衡状态 是李雅普诺夫意义下稳定，,常简称为,稳定,。,注意：通常实数 与 有关，一般情况下也与 有关,若 与 无关，则称这种平衡状态是,一致稳定,的。,时变：与 有关,定常系统,：与 无关，是,一致稳定,的。,17,平衡状态,即：如果对应于每一个 ，存在一个 ，使得当,t,趋于,无穷时，始于 的轨迹不脱离 ，则系统的平衡,状态称为在,Lyapunov,意义下稳定,。,状态轨迹,李氏意义下稳定性的几何表示,状态响应有界,18,3,、,渐近稳定,1,）渐近稳定必然是,Lyapunov,意义下的稳定,2,）,3,）,一致渐近稳定,如果平衡状态 是稳定的，并且始于域 的任一条轨迹当时间,t,趋于无穷时,，都不脱离 ，且,收敛于,，,则称系统的平衡状态 为,渐近稳定,的，,其中球域 被称为平衡状态 的,吸引域,。,19,平衡状态,状态轨迹,渐近稳定性的几何表示,状态轨迹具有：有界性和渐近性,说明：,渐近稳定性表明系统能完全消除扰动的影响；,但，只是一个,局部概念,，依赖系统的平衡状态。,20,对系统,任意,的状态，如果由该,状态出发的状态轨迹都保持渐近稳定性,，即随时间推移最终都收敛到平衡状态 ，则系统称为大范围渐近稳定。,或者说，如果系统的平衡状态 的渐近稳,定的,初始条件扩大为整个状态空间,，则称此时,系统的平衡状态 为,大范围渐近稳定,的。,4,、,大范围,(,全局,),渐近稳定,21,当 与 无关,一致大范围渐近稳定,。,必要条件,：在整个状态空间中,只有一个平衡状态,初始条件扩展到整个空间，且具渐近稳定性,。,即：对,都有,22,如果对于某个实数 和任一个实数 ，,不管这两个实数多么小,，在 内总,存在一,个状态,，使得,始于这一状态的轨迹最终会,脱离开,，那么平衡状态 称为,不稳,定,的。,5,、,不稳定性,23,线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。,非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局,部发散的轨迹。,状态轨迹,不稳定性的几何表示,平衡状态,24,几点说明：,1),、对于线性系统（严格）：渐近稳定等价于大范围渐近稳定,(,线性系统稳定性与初始条件的大小无关,),。,2),、但对于非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状态空间出发的轨迹都收敛 或其附近。,3),、稳定含义之间的区别,经典控制理论,(,线性系统）,不稳定,(Re(s)0),临界情况,(Re(s)=0),稳定,(Re(,s,)0),Lyapunov,意义下,不稳定,稳定,渐近稳定,25,4),、不同的稳定性概念,1,）外部稳定性：,若系统对所有,有界输入引起的零状态响应的输出,是有界的,，则称该系统是外部稳定的。,外部稳定性也称为,有界输入有界输出,BIBO,（,Bounded Input Bounded Output,）,稳定性,。,26,2,）内部稳定性（或称状态稳定性）：,系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而,与输入作用无关,。,系统的稳定性都是,相对具体的某个平衡状态,而言的,。,李雅普诺夫稳定性问题就是研究系统在其平衡状态附近自由运动的行为特征，指的正是内部稳定性。,4),、不同的稳定性概念,27,(,一,),李雅普诺夫第一法（间接法）,利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。,线性定常系统稳定性的,特征值判据,：,1,）线性定常系统,渐近稳定,的,充要条件,：,即系统矩阵,A,的全部特征值都具有负实部,。,二、李雅普诺夫稳定性理论,28,2,）线性定常系统,BIBO,稳定的,充要条件,：,传递函数 的,所有极点均位于,S,左半平面,。,注意！：,由于所有极点都是,A,的特征值，所以,渐近稳定的系统，必然也是输入输出稳定,的。,但是，,由于不是,A,的所有特征值都是传函的极点（,G(s),中可能存在零极点对消现象），所以,输入输出稳定的系统，不一定具有渐近稳定性,。,29,例,1,、试分析如下所示系统的渐近稳定和,BIBO,稳定。,解,:1,、,故系统,不是渐近稳定的,。,2,、,闭环极点,s,=-3,，位于,s,平面左半部分，所以系统为,输入输出稳定,。,结论：,BIBO,稳定 渐近稳定。,30,非线性系统的稳定性分析：,假定非线性系统在平衡状态附近可展开成泰勒级数，可用,线性化系统的特征值判据,判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。,设非线性系统状态方程：,在平衡状态 附近存在各阶偏导数，于是：,-,非线性函数,31,其中：,-,级数展开式中二阶及以上各项之和,32,上式为向量函数的,雅可比矩阵,。,若,忽略高阶项,则线性化状态方程为：,一次近似式,33,结论,(,李雅普诺夫第一法基本内容,),：,若 ，则非线性系统在 处是,渐近稳定,的，与,无关。,若,则系统的平衡状态总是,不稳定,的。,若 ，则稳定性与 有关，即,不能由其一次近似式来表征,。,34,一、李雅普诺夫第二法简介：,李氏第二法称为,直接法,，建立在用,能量观点,分析稳定性的基础上。,若系统的平衡状态是,渐近稳定,，则系统激励后其存储的,能量,将随着时间的推移而,衰减,，,当趋于,平衡状态,时，其,能量达到最小值,。,反之，若系统的平衡状态是,不稳定,的，则系统将不断从外界吸收能量，其存储的,能量将越来越大,。,(,二,),李雅普诺夫第二法,35,二、李雅普诺夫函数,-,虚构的能量函数：,定义在状态空间上，,满足李雅普诺夫定理的，,n,维状态向量和时间,t,的,正定标量函数，,可用,V(x,t),来表示,不显含,t,则记为,V(x),。,对非线性系统，尚未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法；,对线性系统，通常可用,二次型函数,作为能量函数。,李雅普诺夫第二法就是根据,能量函数,及其状态轨迹随时间的变化率的,定号性,来判断系统的稳定性。,若系统稳定，其总能量连续减小至平衡状态时为止，则能量函数对时间的导数必然负定。,36,三、二次型函数的一般概念,定义：,代数式中一种多项式函数，每一项的次数都是二次，则称该函数为二次型函数（标量函数）。,(2),二次型函数的表示形式,以三阶系统为例：,代数式：,矩阵式：,二次齐次多项式,37,对于线性系统，通常可用二次型函数 作,为李雅普诺夫函数。,二次型的矩阵表示（通式）：,通常,P,为实对称方阵,38,二次型函数的符号性质,正定,：,当,(,P,正定,),时，则函数 正定。,正半定：,当,(,P,正半定,),时，则函数,半正定。,负定：,当,(,P,负定,),时，则函数 负定。,39,(3),二次型函数的符号性质,负半定：,当 时，即系数矩阵,P,负半定,，则函数 半负定。,不定：,不满足上述任何一种条件的二次型函数，即对所有,x,，,V(x),可正也可负。,40,赛尔维斯特准则,（希尔维斯判据）,-,二次型的符号性质由其表示矩阵的符号性决定。,实,对称,矩阵,P,为,正定,的充分必要条件是,P,的各阶,主子式均大于零,，即：,实,对称,矩阵,P,为,负定,的充分必要条件是,P,的各阶,主子式满足,：,41,P,正半定,的充分必要条件,：,系数矩阵,P,的各阶主子行列式均大于或等于零,，即,P,负半定,的充分必要条件,：,系数矩阵,P,的各阶主,子行列式均满足下列条件，即,42,例,2,设,X,为二维向量，试判断下面二次型 函数的符号特性。,1),2),3),4),5),不定,负半定,负定,正半定,正定,43,稳定性定理：,设系统状态方程：,其平衡状态满足 ，考虑状态空间,原点,作为平衡状态,(),，并设在原点邻域,存在,一个对,x,具有连续一阶偏导数的,标量函数,。,四、李雅普诺夫主要的稳定性定理,44,定理,1,：若,(1),正定；,(2),负定；,则系统在原点平衡状态处是渐近稳定的。,说明：,负定,随时间增加，沿系统的任意轨迹运行时，系统的,能量是连续单调衰减,的。,若还满足：,则系统在平衡状态处是,大范围渐近稳定,的。,充分条件、苛刻条件！,45,例,3,、,已知非线性系统的状态方程为：,试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。,令,原点是唯一平衡点。,解：,46,设,原点是,渐近稳定,的；,有 ，该系统是,大范围渐近稳定,；,由于,V(x),与,t,无关，又是,大范围一致渐近稳定,。,定理,1,则,47,几何意义：,以原点为圆心、半径为,c,的一簇圆,系统状态运动时，能量逐渐减少，即在此二维状态空间中，系统运动的状态轨迹均由外向内穿过各,V,圆，最终收敛于原点。,-,表示系统的储能（能量越多，半径越大）。,48,定理,2,：若,(1),正定,；,(2),负半定,；,(3),在非零状态,不恒等于零,，则系统在原点处的平衡状态是,渐近稳定,的。,若还满足：,则系统在平衡状态处是,大范围渐近稳定,的。,说明：,不存在 ，,经历能量等于恒定，但不会维持在该状态，,而是继续运动到原点。,49,2,2,取,V,(,x,)=,x,1,+,x,2,x,1,x,2,x,1,x,2,V,增大的方向,若,V,(,x,),表示系统状态到状态空间原点的距离，,其几何意义为：,V(x),表示状态,x,沿系统轨迹趋于原点的速度,。,:,.,x,0,x,0,50,例,4,、,试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。,解：,1),令,即系统的平衡状态为原点。,设,51,则：,其它,负半定,令,只有全零解,非零状态时,原点 是,渐近稳定,的，且是,大范围一致渐近稳定,的。,定理,2,且,V(x),与,t,无关,52,定理,3,：若,(1),正定；,(2),负半定；,即 在非零状态,存在恒为零,；则原点是,李雅普诺夫意义下稳定,的（但非渐近稳定）。,说明：,系统维持,等能量运动,（稳定的等幅振荡状态），使,维持在非零状态而不运行至原点,。,53,x,2,x,1,二维非线性系统,-,运动于闭合轨线，称为,极限环,。,线性定常系统,-,表现为相平面上的一簇同心圆；,经典控制论中，称为,临界稳定,。,x,0,54,例,5,试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。,则原点是平衡状态,定理,3,设,则,故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。,解：由于,55,定理,4,：若,(1),正定；,(2),正定；,则原点是,不稳定,的。,说明：,正定 系统能量随时间不断增大，在 处发散，远离原点。,原点不稳定,线性系统不稳定,非线性系统不一定,56,推论,1,：当 正定，正半定，,且 在非零状态不恒为零时，,则,原点不稳定,(,同定理,4),。,推论,2,：正定，正半定，若,时，仍有 ，则原点,是,李雅普诺夫意义下稳定,(,同定理,3),。,57,几点说明：,选取不唯一,，但没有通用办法，,选取不当，会导致 不定的结果,。,这仅仅是,充分条件,。,-,单调衰减,(,实际上是衰减振荡,),58,小 结,李雅普诺夫第二法的步骤：,构造一个 二次型；,求 ，并代入状态方程；,判断 的定号性；,判断非零状态情况（即 ）下，是否恒为零。,？渐近稳定,？李雅普诺夫稳定,？不稳定,59,令,若 成立 李雅普诺夫意义下稳定,若仅 成立 渐近稳定,60,解,:,即,设 则,可见 与 无关，故非零状态,(,如,),有 ，而对其余任意状态,有,例,6,、,试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。,61,故,正半定,。,令,即,非零状态时,，,不恒为零,，则原点不稳定即系统不稳定。,推论,1,推论,1,：当 正定，正半定，,且 在非零状态不恒为零时，,则,原点不稳定,。,只有全零解,62,设系统状态方程为：,为唯一平衡状态。,-,非奇异矩阵,线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析,则：,将 代入 ：,设选取如下的正定二次型函数 为李雅普,诺夫函数,63,由渐近稳定性定理,1,，只要,Q,正定,(,即 负定,),，则系统是,大范围一致渐近稳定,。,定理,5,：系统 在原点处大范围渐近稳定的,充要条件,为：,给定一,任意,正定实对称矩阵,Q,，,存在,唯一的,正定实对称矩阵,P,使 成立，则 为系统的一个李雅普诺夫函数。,令,64,即,A,T,P,+,PA,=-,Q,-,李雅普诺夫方程,定理,6,：系统 在原点处大范围渐近稳定，给定一,任意,正半定矩阵,Q,，,存在,唯一的,正定实对称矩阵,P,使 成立的,充要条件,为：,且 为系统的一个李雅普诺夫函数。,正定对称阵,正定对称阵,65,解法,1,：（定理,5,）,给定正定,Q P,Q,常取为单位阵,I,P,的定号性,解法,2,：,Q,取正半定,(,定理,6),允许单位矩阵主对,角线上部分元素为零 校验：,则 有唯一正定实对称矩阵解,P P,的定号性,也可用原点外 不恒为零来校验有解性,!,66,例,5.,判断该系统的稳定性。,解：选取,67,68,P,正定,是大范围一致渐近稳定。,69,控制系统的李雅普诺夫稳定性分析,1,、稳定性是表征系统运动行为的一类重要结构特性，是系统正常运行的前提。本章学习了李雅普诺夫稳定的基本概念、间接法和直接法。偏重讨论了李雅普诺夫,直接法,，是现今控制理论研究稳定性问题的最基本工具。,2,、,外部稳定性,（,BIBO,稳定性,）；,内部稳定性,（状态空间描述的系统自治运动的稳定性）。对线性定常系统，前者为传递函数矩阵的所有极点具有负实部，后者为系统特征值具有负实部，若,系统能控且能观，则两者等价,。,小结,70,4,、构造能量函数的方法,(,直接法的关键和难点,),：对简单系统，可采用一些规则化方法构造（,李雅普诺夫方程,）；对复杂系统，至今仍采用基于实验的试凑方法。,3,、李氏第二法,-,直接法：给出了系统大范围渐近稳定的充分判据，其核心是构造一个,能量函数,，这一方法,适用于所有系统,。,71,理解李雅普诺夫意义下稳定性的定义及物理意义；,清楚李雅普诺夫意义下的稳定性与经典控制理论中稳定性的异同；,牢固理解和掌握李雅普诺夫第一方法和,第二方法,，并灵活应用。,要求,72,