大数定理与中心极限定理.doc

大数定理与中心极限定理（全面版）资料
新乡医学院理论课教案
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大数定理与中心极限定理
一、大数定理
概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列极限定理称为大数定理。
定理1 （bernoulli 定理）
设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意正数ε，总有

注: 定理说明, 当n很大时, 事件A发生的频率与概率有较大的差别的可能性很小, 因而在实际中便可以用频率来代替概率。
定理2
设随机变量相互独立且具有相同的数学期望和方差:

作n个随机变量的算术平均数对于任意正数ε ，总有

注: 定理说明, 当n充分大时，算术平均数必然接近于数学期望。
二、中心极限定理
在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立的随机变量之和的分布以正态分布为极限这一类定理称为中心极限定理。
定理3 如果随机变量独立同分布，且则

注: 无论各个随机变量具有怎样的分布，只要满足定理

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条件， 那么它们的和当n很大时，近似服从正态分布。
例1 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50kg，标准重为5kg.若用最大载重量为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。
解 设为装运第i箱的重量，n是所求的箱数。由题意可把看作独立同分布的随机变量，令则就是这n箱货物的总重量。
又

由中心极限定理，有

从而，有
故最多可以装98箱。
定理4 设随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则对于任意x，恒有

证 可将X看作是n个独立同服从（0-1）分布的随机变量之和，即，

所以由定理3得

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注 当n充分大时，二项分布近似于正态分布。
计算 应先进行连续性校正。离散型变量取值为k的概率与连续型变量在以k为中心、长为一个单位的区间内的概率相对应，即

当n充分大时， Poisson分布也近似于正态分布。
其连续性校正公式为

例2 某病的患病率为0.005，现对10000人进行检查，试求查出患病人数在[45,55]内的概率.
解 设患病人数为X,则X~B(10000,0.005). 由定理4得

例3 某公司生产的电子元件合格率为99.5% 。装箱出售时，（1）若每箱中装1000只，问不合格品在2到6只之间的概率是多少？（2）若要以99%的概率保证每箱合格品数不少于1000只，问每箱至少应该多装几只这种电子元件？
解：（1）这个公司生产的电子元件不合格率为1-0.995=0.005，设X表示“1000

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只电子元件中不合格的只数”，则X~B(1000,0.005)。

（2）设每箱中应多装k只元件，则不合格品数X~B(1000+k,0.005) ，由题设，应有，因而可得

于是k应满足
解之，有
这就是说，每箱应多装11只电子元件，才能以99%以上的概率保证合格品数不低于1000只。
本次课小结：
介绍了大数定律和中心极限定理。要求理解伯努利定理；理解独立同分布的中心极限定理和二项分布、Poisson分布的也正态近似的有关计算。

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第五章 大数定理及中心极限定理
2：题略。
解：以记第个产品的长度。以记10件产品的总长度：，
按题设由定理四可知近似的服从分布，故产品合格的概率为

4：题略。
解：以记第只零件的质量，以记5000只零件的总质量：
。按题设由定理四，可知，
近似的服从分布，故所求概率为：

7：题略。
解 （1）将观察一个部件是否正常工作看成是一次实验，由于各部件是否正常工作是相互独立的，因而观察100个部件是否正常工作，是100重伯努利实验，以 表示100个部件中正常工作的部件数，则，按题意需求概率，由棣莫佛——拉普拉斯定理知，近似的服从分布，故所求概率为：

（2）设正常工作的部件个数是，则时才可以正常工作，由题得

所以
从而解得
所以，至少为25才可以使系统的可靠性不低于。
9：题略。
解：由定理可知，当充分大时，，
即
由题设，即有，
于是，

所以，
故需要，
所以。
因为为正整数，故至少为1537。
第六章 大数定律和中心极限定理

研究随机变量序列的各种极限(或收敛性)的理论.我们知道,概率论是研究随机现象统计规律的学科,然而随机现象统计规律性只有在相同条件下进行大量重复的试验或观察才能显现出来,这就要用到极限去刻划.随机现象在大量重复试验中呈现明显的规律性,这只是一个信念,其确切含义和理论根据是什么？现在就来解决这些问题.
极限定理是概率论中最重要的理论.它在概率论与数理统计的理论研究与应用中起着十分重要的作用.

第一节 契比雪夫不等式

这里介绍一个重要的不等式--契比雪夫不等式,它是大数定律和中心极限定理的理论基础.

定理 设随机变量存在数学期望和方差,则对任意正数,
成立
,
此式称为契比雪夫不等式.
或等价地
.
证明 (1)当为离散型随机变量,
分布律为
,
则有

;
(2)当为连续型随机变量,
概率密度为,
则有

.
例

,
从上述证明方法中,还可以看出(类似可证),成立
,
;,
;
等形式的不等式.
(车贝谢夫,车贝晓夫,切比雪夫)
例 设随机序列和随机变量，如果，
则对任意,
有 。
证明 因为 对任意，成立，
利用条件，
即得成立。

定理 设随机变量的数学期望和方差均存在,且,
则有 .
证明 由车比谢夫不等式
,
得,
,
,,
又,

,
于是,
即.
(
,
,
).
第二节 大数定律

在第一章中我们指出,随机事件的频率,当时, 具有某种稳定性和统计概率的定义5.它们的真正含义,在当时无法说清楚,现在就来说清楚这个问题.对于这一点, 大数定理将给于理论上的依据.下面只介绍大数定理的最基本情形.
定理一(契比雪夫大数定律)
设是相互独立的随机变量序列,每一个都有有限的方差,且有公共的上界,即
,
则对任意,成立
,
.
证明 令
由数学期望的性质,有
,
因相互独立,
由方差的性质,得到
,
,
利用契比雪夫不等式,可得

,
在上式中,令,即得
.

定义 依次序列出的随机变量： 简记为,简称随机(变量)序列.

定义 对于随机(变量)序列和随机变量(或常数),若对任意,有

(或)
则称随机(变量)序列依概率收敛于(或常数).
(等价于)
简记为
(或)
推论 (辛钦大数定律)若随机变量序列独立同分布,且存在有限的数学期望和方差
,
则对任意,有
,
其中 .
证明 由数学期望和方差的性质及条件,有

,

,
对任意,有

,
于是成立
,
即依概率收敛于常数.
这个结论将在第八章中用到,是用样本均值作为总体均值的点估计的理论依据.
定理二(贝努里大数定律 ) 设是次独立重复试验中事件发生的次数,是事件在每次试验中发生的概率, 则对任意,成立
.
证明 引人随机变量
,

则次试验中事件发生的次数
,
由于是独立试验,所以相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即
于是
,
利用契比雪夫大数定律的推论,得

贝努里大数定律表明:事件发生的频率依概率收敛于事件

第三节 中心极限定理
在对大量随机现象的研究中发现,如果一个量是由大量相互独立的随机因素所造成,而每一个别因素在总影响中所起的作用较小,那么这种量通常都服从或近似服从正态分布.例如测量误差、炮弹的弹着点、人体体重等都服从正态分布,这种现象就是中心极限定理的客观背景.

设随机变量独立同分布,且,
记,,
称为的标准化, 则有

对任意实数,有

.
一般地，有下述结果。
定理三(同分布的中心极限定理)
设随机变量独立同分布,且存在有限的数学期望和方差
,
记,,
称为的标准化,
则对任意实数,有

.

定理表明,当充分大时,随机变量近似地服从标准正态分布.因此,近似地服从正态分布.由此可见,正态分布在概率论中占有重要的地位.

定理四(De Moivre-Laplace定理)
设是次独立重复试验中事件发生的次数,是事件在每次试验中发生的概率, 则对任意区间,成立

证明 引人随机变量
,
则次试验中事件发生的次数
,
由于是独立试验,所以相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即
于是
,

由定理三,即得

,
于是对任意区间,有

.

近似计算公式:
， .
例1 某计算机系统有120个终端,每个终端有5%的时间在使用,若各终端使用与否是相互独立的,试求有10个以上的终端在使用的概率.
解 以表示使用终端的个数,
引人随机变量
,
,
则
,
由于使用与否是独立的,所以相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即

于是,所求概率为

,
由中心极限定理得

.
例2 现有一大批种子,其中良种占.现从中任选6000粒,试问在这些种子中,良种所占的比例与之误差小于1%的概率是多少？
解 设表示良种个数,
则, ,
所求概率为

.

例3 设有30个电子器件,它们的使用情况如下: 损坏,接着使用; 损坏,接着使用等等.设器件的使用寿命服从参数(单位:)的指数分布.令
为30个器件使用的总时数,问超过350h的概率是多少？
解 设为 器件的使用寿命, 服从参数(单位:)的指数分布, 相互独立,
, ,
,
,
由中心极限定理得

.
例4 某单位设置一 总机,共有200架 分机. 设每个 分机有5%的时间要使用外线通话,假定每个 分机是否使用外线通话是相互独立的,问总机需要安装多少条外线才能以90%的概率保证每个分机都能即时使用.
解 依题意
设为同时使用的 分机个数,
则,
设安装了条外线,
引人随机变量
,
,
则
,
由于使用与否是独立的,所以相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即
,
保证每个分机都能即时使用, ,

,
查标准正态分布表
,
,
取 ,
答: 需要安装14条外线.

例5 设随机变量的概率密度为

其中为正整数，
证明
.
证明

,

,

,
利用车贝谢不等式,得

.
第四章 大数定理与中心极限定理典型题解
1．计算器在进行时，将每个加数舍入，最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在上服从均匀分布，将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
解 设第个加数的舍入误差为已知在上服从均匀分布，故知．记，由中心极限定理，当充分 时有近似公式
，
于是

即误差总和的绝对值超过的概率近似地为．
2．有一批建筑房屋用的木柱，其中的长度不小于，现在从这批木柱中地取根，求其中至少有根短于的概率．
解　以记被抽取的根木柱长度短于的根数，则．于是由中心极限定理得

3．将一枚硬币投掷49次，（I）求至多出现28次正面的概率；（II）求出现20-25次正面的概率．
解　以表示49次投掷中出现正面的次数，则有．
（I）由中心极限定理得
；
（II）由中心极限定理得

4．某厂有同号机器100台，且独立工作，在一段时间内每台正常工作的概率为．求正常工作的机器超过85台的概率．
解　设为100台中正常工作的机器数，则，且
．
由中心极限定理可得所求概率为

5．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重50kg，标准差5kg．若用最大载重量5t的汽车承运最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977．
解　设为每辆车所装的箱数，是装运的第箱的重量，且．箱的总重量 有，由中心极限定理近似服从正态分布．现求使下面不等式成立的

查正态分布表得 ，
从而，即最大可以装98箱．
6．设一大批产品中一级品率为，现从中任取500件，这500件中一件级品的比例与之差的绝对值小于的概率．
解　设为所取500件中的一级品数，则且

由中心极限定理得

7．设一袋味精的重量是随机变量，平均值100g,标准差2g．求100袋味精的重量超过10.05kg的概率．
解　设袋味精的重量，100袋的总重量
，
而，所以所求概率为
　　8．一本200页的书，每页上的错误数服从参数为0.1的泊松分布，求该书的错误数大于15个的概率．
解　设为该书的总错误数，则，,于是所求概率为

9．某射手打靶，得10分，9分，8分，7分，6分的概率分别为
0.5,0.3,0.1,0.05,0.05．现射击100次，求总分多于880分的概率．
解　设为100次射击的总分数，依题意，．根据中心极限定理得

10．一生产过程的次品率为，随机地自这一生产过程生产的产品中取出120只，求次品不多余15只的概率．
解　以．所需求的概率为

11．某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对100个病人进行这种手术，以记手术成功的人数．求．
解　依题意有

12．在一零件商店中，其结帐柜台替各顾客服务的时间（以分计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1.求对100位顾客的总服务时间不多余2小时的概率．
解　以记对第位顾客的服务时间．按题设需求概率为

13．某种电子元件的寿命服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立，随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率．
解　设为100只元件的寿命之和，则，则所求概率为

14．某工厂有200台同类型的机器，每台机的实际工作时间只占全部工作时间的，各台机器是否工作是相互独立的，求一时刻有144至160台机器正在工作的概率．
解　设随机变量表示任一时刻正在工作的机器的台数，则服从二项分布．所以所求概率为

15．在次品率为的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定理计算抽取的产品中次品书在40~60之间的概率．
解　设为300件产品中次品的件数，依题意知
，
利用中心极限定理得

第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律的概念
大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性，并论证了它成立的条件，即从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下、重复的随机现象呈现的规律性即稳定性。由于大数定律的作用，大量的随机因素的总体作用必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果。
§5.2 切比雪夫不等式§5.2 切比雪夫定理
1、切比雪夫不等式
设随机变量具有数学期望，方差，对于任意正数有
成立，这一不等式称为切比雪夫不等式。它也可以写成。
切比雪夫不等式的意义在于：当知道随机变量的数学期望和方差时，我们可以估计落在以为中心的某一区间内的概率；而且由不等式可以看出，方差越小，发生的概率也越小。切比雪夫不等式在理论研究中很有价值，作为一种出略的估计概率的方法在实际中应用也很广泛。
2、依概率收敛
设是一个随机变量序列，是一个常数。若对任意的正数，有，则称序列依概率收敛于，记为。
3、切比雪夫大数定律
设是相互独立的随机变量序列，且存在有限的常数，使得，则对任何的正数，皆有。
4、贝努利大数定律
设是n次重复独立试验中事件发生的次数，是事件在一次试验中发生的频率，则对任何的正数，皆有。
5、辛钦大数定律
设是相互独立且服从同一分布的随机变量序列，。若对任意的正数，有。
大数定律揭示了随机事件的概率与频率之间的关系，从大量的测量值的平均值出发，描述了算术平均值及频率的稳定性，用算术平均值代替均值，用频率代替概率。
§5.4 中心极限定理
6、独立同分布的中心极限定理（列维—林德博格定理）
设是相互独立同分布的随机变量序列，且有有限的期望和方差，则对任何的实数，随机变量
的分布函数满足
皆有。
7、李雅普诺夫定理
设是相互独立的随机变量序列，且数学期望和方差，记，则随机变量
的分布函数满足
皆有。
8、利莫佛—拉普拉斯定理
设随机变量，服从参数为的二项分布，则对任意的恒有
上述中心定理阐述了在一定条件下，当个数逐渐增多时，原来不属于正态分布的大量独立随机变量的总和其分布趋于正态分布。这些定理为极限分布的计算提供了方便，尤其对于二项分布，当n很大时近似服从于正态分布，使得求解过程大大简化。